付値環

$2\Rightarrow3$ は明らかであり、$3\Leftrightarrow4$ は「$a$ が $b$ を割り切る」ことと $(b)\subset(a)$ が同値であることから従う。
$4\Rightarrow1$。$x\in K$、$x\neq0$ を取り、$a,b\in R$、$b\neq0$ により $x=a/b$ と書く。$b$ が $a$ を割り切れば $a=bc$（$c\in R$）より $x=c\in R$ であり、$a$ が $b$ を割り切れば $b=ac$ より $x^{-1}=c\in R$ である。
$1\Rightarrow2$。$I,J$ を $R$ のイデアルとし、$I\not\subset J$ とする。$x\in I\setminus J$ を取る。任意の $y\in J$ について $y\in I$ を示せばよい。$y=0$ なら明らかなので $y\neq0$ とする。$x/y\in R$ と仮定すると $x=(x/y)y\in J$ となり矛盾するので、付値環の条件から $y/x\in R$ である。よって $y=(y/x)x\in(x)\subset I$ である。$\square$

$\mathfrak{m}$ がイデアルであることを示せばよい。イデアルであれば、$R$ の真のイデアルは単元を含まないので $\mathfrak{m}$ に含まれ、$\mathfrak{m}$ は唯一の極大イデアルになる。$x\in\mathfrak{m}$、$r\in R$ について、$rx$ が単元なら $x$ も単元になるので $rx\in\mathfrak{m}$ である。$x,y\in\mathfrak{m}$ を取る。valuation-ring-prop-totally-ordered の条件 4 により、$x$ と $y$ の一方が他方を割り切る。$y$ が $x$ を割り切るとして一般性を失わない。$x=cy$（$c\in R$）と書くと $x+y=(c+1)y\in(y)$ であり、もし $x+y$ が単元なら $(y)=R$ となって $y$ が単元になり矛盾する。よって $x+y\in\mathfrak{m}$ である。$0\in\mathfrak{m}$ は明らかである。$\square$

$x\in K$ が $R$ 上整であるとし、$x^{n}+c_{n-1}x^{n-1}+\cdots+c_1x+c_0=0$（$c_i\in R$、$n\ge1$）とする。$x\notin R$ と仮定すると $x\neq0$ であり、付値環の条件から $x^{-1}\in R$ である。等式の両辺に $x^{-(n-1)}$ を掛けて整理すると
$$x=-(c_{n-1}+c_{n-2}x^{-1}+\cdots+c_0x^{-(n-1)})$$
となり、右辺は $R$ の元なので $x\in R$ となって矛盾する。$\square$

まず付値の基本的な等式を確かめる。$v(1)=v(1\cdot1)=2v(1)$ より $v(1)=0$、同様に $2v(-1)=v(1)=0$ で $\Gamma$ には $0$ 以外に $2\gamma=0$ を満たす元がない（$\gamma>0$ なら $2\gamma>\gamma>0$）ので $v(-1)=0$、よって $v(-x)=v(x)$ である。また $x\neq0$ について $v(x)+v(x^{-1})=v(1)=0$ である。
1。$v(1)=0$、$v(-x)=v(x)$ と条件 2・3 により $R_v$ は $K$ の部分環である。$x\in K$、$x\neq0$ について、$v(x)\ge0$ なら $x\in R_v$、そうでなければ $v(x^{-1})=-v(x)>0$ なので $x^{-1}\in R_v$ である。$x\in R_v$ が単元であることは $v(x)\ge0$ かつ $v(x^{-1})=-v(x)\ge0$、すなわち $v(x)=0$ と同値である。極大イデアルは非単元全体（valuation-ring-prop-local）なので $\{v>0\}$ である。
2。順序が代表元によらないことは、$a'=ua$、$b'=u'b$（$u,u'\in R^{\times}$）なら $b'/a'=(u'/u)(b/a)$ で $u'/u\in R^{\times}$ であることから従う。反射律は $1\in R$、推移律は $c/a=(c/b)(b/a)$ から従う。反対称律：$b/a\in R$ かつ $a/b\in R$ なら $b/a\in R^{\times}$ なので $[a]=[b]$ である。全順序性は付値環の定義そのものである。加法との両立：$[a]\le[b]$ なら $bc/(ac)=b/a\in R$ より $[ac]\le[bc]$ である。よって $\Gamma_R$ は全順序アーベル群である。
$v_R$ が付値であること。条件 1 は定義から、条件 2 は $[xy]=[x]+[y]$（群の演算）から従う。条件 3 を示す。$x,y\neq0$、$x+y\neq0$ とし、$[x]\le[y]$ すなわち $y/x\in R$ としてよい。すると $(x+y)/x=1+y/x\in R$ なので $[x]\le[x+y]$、すなわち $v_R(x+y)\ge v_R(x)=\min\{v_R(x),v_R(y)\}$ である。$x$、$y$、$x+y$ のいずれかが $0$ の場合は明らかである。最後に $x\neq0$ について $v_R(x)\ge0=[1]$ は $x/1=x\in R$ と同値なので $R_{v_R}=R$ である。
3。$x\mapsto v(x)$ は 群準同型 $K^{\times}\to v(K^{\times})$ で、1 により核は $R_v^{\times}$ だから、同型 $\Gamma_{R_v}\to v(K^{\times})$ を誘導する。$[a]\le[b]$ が $v(b/a)\ge0$ すなわち $v(a)\le v(b)$ と同値なので、これは順序を保つ。$\square$

1。$x\in K$、$x\neq0$ について $x\in R\subset S$ または $x^{-1}\in R\subset S$ である。$R_{\mathfrak{p}}$ は $K$ の中で $R$ を含む部分環なので付値環である。
2。$\mathfrak{p}$ は素イデアルなので $R/\mathfrak{p}$ は整域である。$\bar a,\bar b\in R/\mathfrak{p}$ の代表元 $a,b\in R$ を取ると、valuation-ring-prop-totally-ordered の条件 4 により $a$ と $b$ の一方が他方を割り切り、剰余環に移しても割り切る関係は保たれる。よって $R/\mathfrak{p}$ は条件 4 を満たし、付値環である。
3。valuation-ring-prop-totally-ordered の条件 2 の特別な場合である。$\square$

$1\Rightarrow2$。$R=R_v$、$v(K^{\times})=\mathbb{Z}$ とし、$v(\pi)=1$ となる $\pi\in R$ を取る。$R$ は valuation-ring-prop-correspondence により付値環である。$I\neq0$ を $R$ のイデアルとすると、$\{v(x)\mid x\in I,\ x\neq0\}$ は $\mathbb{Z}_{\ge0}$ の空でない部分集合なので最小値 $n$ をもち、$v(x)=n$ となる $x\in I$ を取る。任意の $y\in I$ について $v(y/x)=v(y)-n\ge0$ なので $y\in(x)$、よって $I=(x)$ である。さらに $v(x/\pi^{n})=0$ より $x/\pi^{n}\in R^{\times}$ で $(x)=(\pi^{n})$ である。すべてのイデアルが単項なので $R$ は Noether 環である。
$2\Rightarrow3$。valuation-ring-prop-local により局所環であり、Noether 環なのですべてのイデアルが有限生成、valuation-ring-cor-fg-principal によりすべて単項である。
$3\Rightarrow4$。単項イデアル整域は Noether 環であり（Noether環 の記事の例「体と単項イデアル整域」）、極大イデアルは単項、体でないので $0$ でない。
$4\Rightarrow1$。$\mathfrak{m}=(\pi)$、$\pi\neq0$ とする。まず $R$ の $0$ でない元 $x$ が $x=\pi^{n}u$（$n\ge0$、$u\in R^{\times}$）と書けることを示す。$x$ が単元なら $n=0$ でよい。単元でなければ $x\in\mathfrak{m}$ なので $x=\pi x_1$ と書ける。$x_1$ が単元でなければ $x_1=\pi x_2$、以下同様に続ける。$x_i=\pi x_{i+1}$ で $(x_i)=(x_{i+1})$ とすると $x_{i+1}=rx_i=r\pi x_{i+1}$ より（整域で $x_{i+1}\neq0$）$r\pi=1$ となり $\pi$ が単元になって矛盾するので、$(x)\subsetneq(x_1)\subsetneq(x_2)\subsetneq\cdots$ は真の昇鎖である。$R$ は Noether 環なのでこの手続きは有限回で止まり、それは $x_n$ が単元になるときである。よって $x=\pi^{n}x_n$ である。表示の一意性：$\pi^{n}u=\pi^{m}u'$、$n< m$ とすると約分して $u=\pi^{m-n}u'\in\mathfrak{m}$ となり $u$ が単元であることに反する。よって $n=m$、$u=u'$ である。
$K^{\times}$ の元は $x/y=\pi^{n-m}(u/u')$ と書けるので、$K^{\times}$ の任意の元は $\pi^{k}u$（$k\in\mathbb{Z}$、$u\in R^{\times}$）と書け、この表示も一意である（$\pi^{k}u=\pi^{l}u'$ の両辺に十分大きな $\pi^{N}$ を掛けて $R$ での一意性に帰着する）。$v(\pi^{k}u):=k$、$v(0):=\infty$ と定める。$v(xy)=v(x)+v(y)$ は明らかである。$x=\pi^{k}u$、$y=\pi^{l}u'$、$k\le l$ のとき $x+y=\pi^{k}(u+\pi^{l-k}u')$ で $u+\pi^{l-k}u'\in R$ は $0$ か $\pi^{j}u''$（$j\ge0$）の形なので $v(x+y)\ge k=\min\{v(x),v(y)\}$ である。よって $v$ は付値で、$v(\pi)=1$ より値群は $\mathbb{Z}$ であり、$R_v=\{\pi^{k}u\mid k\ge0\}\cup\{0\}=R$ である。
最後の主張は、$1\Rightarrow2$ の証明でイデアルが $(\pi^{n})$ に限ることを示したこと、および $(\pi^{n})$ が素イデアルであるのは $n=1$ のときに限ること（$n\ge2$ なら $\pi\cdot\pi^{n-1}\in(\pi^{n})$ だが $\pi,\pi^{n-1}\notin(\pi^{n})$）から従う。$\square$