付値環

$p$ を 素数 とする。$0$ でない整数 $n$ に対し、$n$ を割り切る $p$ の最高の冪の指数を $\operatorname{ord}_p(n)$ と書く。有理数 $q=n/m\neq0$（$n,m\in\mathbb{Z}$）に対し $\operatorname{ord}_p(q):=\operatorname{ord}_p(n)-\operatorname{ord}_p(m)$ とおくと、この値は表示 $n/m$ の取り方によらない。実際 $n/m=n'/m'$ なら $nm'=n'm$ で、$\operatorname{ord}_p$ は積について加法的なので $\operatorname{ord}_p(n)+\operatorname{ord}_p(m')=\operatorname{ord}_p(n')+\operatorname{ord}_p(m)$ である。$\operatorname{ord}_p(0):=\infty$ とおくと、$\operatorname{ord}_p\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Z}\cup\{\infty\}$ は付値である。条件 2 は積の加法性そのものであり、条件 3 は、$x=p^{a}n/m$、$y=p^{b}n'/m'$（$n,m,n',m'$ は $p$ で割り切れない整数、$a\le b$）と書くと $x+y=p^{a}(nm'+p^{b-a}n'm)/(mm')$ で分母が $p$ で割り切れないことから従う。
その付値環
$$\mathbb{Z}_{(p)}=\{q\in\mathbb{Q}\mid\operatorname{ord}_p(q)\ge0\}=\{n/m\mid n,m\in\mathbb{Z},\ p\nmid m\}$$
は 素イデアル $(p)$ における $\mathbb{Z}$ の 局所化 であり、$\operatorname{ord}_p(p)=1$ より値群は $\mathbb{Z}$ 全体なので、$\mathbb{Z}_{(p)}$ は離散付値環である。極大イデアル は $p\mathbb{Z}_{(p)}$、単元 は $\operatorname{ord}_p(q)=0$ を満たす有理数全体である。
同じ構成は任意の 単項イデアル整域 $A$ とその素元 $p$ に対して行え、$A_{(p)}$ は離散付値環である。例えば体 $k$ 上の 多項式環 $k[X]$ と 既約多項式 $X-a$ からは、$a$ における「零点の位数」を付値とする離散付値環 $k[X]_{(X-a)}$ が得られる。

$k$ を体とし、形式的冪級数 $k[\![t]\!]$ を考える。$0$ でない冪級数 $f=\sum_{n\ge0}a_nt^{n}$ に対し、$a_n\neq0$ となる最小の $n$ を $\operatorname{ord}_t(f)$ とおく。$f=t^{n}u$、$u=a_n+a_{n+1}t+\cdots$ と書け、$a_n\neq0$ なので $u$ は $k[\![t]\!]$ の単元である（$u$ の逆元は係数を順に決めることで構成できる）。したがって $k[\![t]\!]$ の $0$ でない元は $t^{n}u$（$n\ge0$、$u$ は単元）と一意に書け、商体 $k(\!(t)\!)$ の $0$ でない元は $t^{n}u$（$n\in\mathbb{Z}$、$u$ は $k[\![t]\!]$ の単元）と一意に書ける。$\operatorname{ord}_t(t^{n}u):=n$ とおくと、これは値群 $\mathbb{Z}$ の付値であり、その付値環は $k[\![t]\!]$ である。よって $k[\![t]\!]$ は離散付値環で、$t$ が一意化元である。同様に、複素平面 の点 $a$ における 収束冪級数 のなす環 $\mathbb{C}\{z-a\}$ も、$a$ での零点の位数を付値とする離散付値環である。

$k$ を体とし、$\Gamma=\mathbb{Z}^2$ に 辞書式順序（$(a,b)<(a',b')$ とは、$a< a'$ であるか、または $a=a'$ かつ $b< b'$ であること）を入れる。これは全順序アーベル群である。$0$ でない多項式 $f=\sum c_{ab}X^{a}Y^{b}\in k[X,Y]$ に対し
$$v(f):=\min\{(a,b)\mid c_{ab}\neq0\}\in\mathbb{Z}^2$$
とおく（最小は辞書式順序に関する）。$v(fg)=v(f)+v(g)$ が成り立つ。実際 $v(f)=(a,b)$、$v(g)=(a',b')$ とすると、$fg$ の $X^{a+a'}Y^{b+b'}$ の係数は $c_{ab}c'_{a'b'}\neq0$ であり、$fg$ の他の単項式 $X^{i+i'}Y^{j+j'}$（$(i,j)\ge(a,b)$、$(i',j')\ge(a',b')$、少なくとも一方は等号でない）は辞書式順序が加法と両立するので $(a+a',b+b')$ より真に大きい。また $v(f+g)\ge\min\{v(f),v(g)\}$ は、$f+g$ の単項式が $f$ か $g$ の単項式であることから明らかである。$v(f/g):=v(f)-v(g)$ と定めると（$v(fg)=v(f)+v(g)$ により表示によらない）、$v$ は 有理関数体 $K=k(X,Y)$ の付値に延び、値群は $\mathbb{Z}^2$ である。
その付値環 $R:=R_v$ について、次を確かめる。まず $\mathfrak{m}:=\{f\in K\mid v(f)>(0,0)\}$ は極大イデアルであり、$(0,1)$ が $\mathbb{Z}^2$ の最小の正の元なので $\mathfrak{m}=(Y)$ である（$v(f)\ge(0,1)$ ならば $v(f/Y)\ge(0,0)$）。次に
$$\mathfrak{p}:=\{f\in K\mid v(f)\ge(1,n)\ \text{となる整数 } n \text{ が存在する}\}\cup\{0\}$$
とおく。$\mathfrak{p}$ が $R$ の真のイデアルであることを確認する。$0\in\mathfrak{p}$ であり、$f,g\in\mathfrak{p}$ なら付値不等式により $v(f+g)$ の第 1 成分も $1$ 以上である（$f+g=0$ の場合もよい）。また $r\in R$ の値の第 1 成分は非負なので、$f\in\mathfrak{p}$ なら $v(rf)=v(r)+v(f)$ の第 1 成分は $1$ 以上であり、$rf\in\mathfrak{p}$ である。さらに $v(1)=(0,0)$ だから $1\notin\mathfrak{p}$ である。したがって $\mathfrak{p}$ は真のイデアルである。積について第 1 成分は加法的なので、$f,g\in R$ の積 $fg$ の第 1 成分が $1$ 以上なら $f$ か $g$ の第 1 成分が $1$ 以上である。よって $\mathfrak{p}$ は素イデアルである。
$\mathfrak{p}$ は 有限生成 でない。もし有限生成なら、後の系「有限生成イデアルは単項」により $\mathfrak{p}=(g)$ と書け、$v(g)=(a,n)$（$a\ge1$、$n\in\mathbb{Z}$）とおく。$m>|n|$ をとると $v(X/Y^{m})=(1,-m)<(a,n)$（辞書式順序で第 1 成分は $1\le a$ であり、$a=1$ なら $-m< n$）なので $X/Y^{m}\in\mathfrak{p}$ であるが、$v(X/Y^{m})< v(g)$ より $X/Y^{m}\notin(g)$ であり、矛盾する。よって $R$ は Noether 環でない付値環である。また $0\subsetneq\mathfrak{p}\subsetneq\mathfrak{m}$（$Y\notin\mathfrak{p}$）は素イデアルの真の鎖なので、$R$ の Krull次元 は $2$ 以上である。値群が $\mathbb{Z}$ でない付値環がこのように豊富に存在し、その多くは Noether 環でない。

$k$ を体とする。整数 $n\ge1$ について、$t^{1/n}$ を変数とする形式的冪級数環 $k[\![t^{1/n}]\!]$ を考え、$t^{1/n}=(t^{1/nm})^{m}$ によって $k[\![t^{1/n}]\!]$ を $k[\![t^{1/nm}]\!]$ の部分環とみなす。すなわち形式的な和 $f=\sum_{q}a_qt^{q}$（$a_q\in k$）であって、ある $n\ge1$ について台 $\{q\mid a_q\neq0\}$ が $\frac1n\mathbb{Z}_{\ge0}$ に含まれるもの全体を
$$R:=\bigcup_{n\ge1}k[\![t^{1/n}]\!]$$
とおく。$R$ の 2 元は共通の $N$ について $k[\![t^{1/N}]\!]$ に入るので、そこで和と積をとることで $R$ は整域になる。同様に $K:=\bigcup_{n\ge1}k(\!(t^{1/n})\!)$（台が $\frac1n\mathbb{Z}$ に含まれ下に有界な和の全体）は、$k(\!(t^{1/n})\!)\subset k(\!(t^{1/n!})\!)$ により体の増大列 $k(\!(t^{1/n!})\!)$（$n\ge1$）の和集合なので体であり、$f\in k(\!(t^{1/n})\!)$ は十分大きい $m$ について $f=(t^{m/n}f)/t^{m/n}$ と $R$ の元の商に書けるので、$K$ は $R$ の商体である。
$0\neq f\in K$ に対し $v(f):=\min\{q\mid a_q\neq0\}\in\mathbb{Q}$ とおく。$f,g$ を共通の $k(\!(t^{1/N})\!)$ の元とみると、$v$ は $t^{1/N}$ に関する位数の $1/N$ 倍であり、上の例「形式冪級数環の付値」により $v(fg)=v(f)+v(g)$、$v(f+g)\ge\min\{v(f),v(g)\}$ を満たす。よって $v$ は $K$ の付値で、$v(t^{1/n})=1/n$ と $v(t^{m/n})=m/n$ から値群は $\mathbb{Q}$ 全体である。$v(f)\ge0$ なら $f$ の台は $\frac1N\mathbb{Z}_{\ge0}$ に入るので $R=R_v$ であり、後の命題「付値と付値環の対応」により $R$ は付値環で、極大イデアルは $\mathfrak{m}=\{f\in K\mid v(f)>0\}$ である。この $R$ について次が成り立つ。

1. $\mathfrak{m}$ は単項イデアルでない。$\mathfrak{m}=(g)$ と仮定し、$\gamma:=v(g)>0$ とおく。$t^{\gamma/2}\in\mathfrak{m}$ なので $t^{\gamma/2}=gh$（$h\in R$）と書けるが、すると $\gamma/2=\gamma+v(h)\ge\gamma$ となり、$\gamma>0$ に反する。後の系「有限生成イデアルは単項」により、$\mathfrak{m}$ は有限生成でもない。実際、単項イデアルの列 $(t)\subsetneq(t^{1/2})\subsetneq(t^{1/4})\subsetneq\cdots$（$t^{1/2^{i}}=(t^{1/2^{i+1}})^2$ で、値が真に減るので包含は真）は止まらない。よって $R$ は Noether 環でない。
2. $\mathfrak{m}=\mathfrak{m}^2$ である。$x\in\mathfrak{m}$、$\gamma=v(x)$ について $x=t^{\gamma/2}\cdot(t^{-\gamma/2}x)$ で、2 つの因子の値はどちらも $\gamma/2>0$ なので、ともに $\mathfrak{m}$ に入る。
3. $R$ の素イデアルは $0$ と $\mathfrak{m}$ だけであり、Krull 次元は $1$ である。$\mathfrak{p}\neq0$ を素イデアルとし、$0\neq x\in\mathfrak{p}$ をとる。任意の $y\in\mathfrak{m}$、$y\neq0$ について、$Nv(y)\ge v(x)$ となる整数 $N\ge1$ をとると $v(y^N/x)\ge0$ なので $y^N=x\cdot(y^N/x)\in\mathfrak{p}$、よって $y\in\mathfrak{p}$ である。したがって $\mathfrak{p}=\mathfrak{m}$ である。
   $R$ は体でない付値環なので局所整域で、後の命題「付値環は整閉」により整閉であり、Krull 次元は $1$ である。それでも値群が $\mathbb{Z}$ でないので離散付値環でなく、後の定理「離散付値環の特徴づけ」の条件 2 の「Noether 環である」も、後の定理「離散付値環の整閉性による特徴づけ」の仮定「Noether」も外せない。また、互いに含み合わない有限個の付値環の交わりは半局所環で、各成分が離散付値環ならば単項イデアル整域になる（Mat86 Theorem 12.2。証明は 有限個の付値環の交わり の定理「有限個の付値環の交わりの構造」と定理「離散付値環の交わりは単項イデアル整域」にある）。この例（交わりが $R$ 1 個の場合）は、そこで離散付値環を一般の付値環に弱めると単項イデアル整域という結論が成り立たないことを示している。