分数型の漸化式と1次分数変換

$a_1=1$、$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{3a_n+1}$ とする。項を順に計算すると
$$ a_2=\frac{1}{3+1}=\frac14,\qquad a_3=\frac{1/4}{3/4+1}=\frac{1/4}{7/4}=\frac17,\qquad a_4=\frac{1/7}{3/7+1}=\frac{1/7}{10/7}=\frac1{10} $$
となる。分母が $1,4,7,10$ と $3$ ずつ増えている。
これを確かめるため、逆数 $b_n:=\dfrac1{a_n}$ を考える。$a_1>0$ で、$a_n>0$ なら $a_{n+1}=\frac{a_n}{3a_n+1}>0$ なので、帰納法ですべての項が正であり、逆数がとれる。漸化式の両辺の逆数をとると
$$ b_{n+1}=\frac{3a_n+1}{a_n}=3+\frac1{a_n}=b_n+3 $$
である。$\{b_n\}$ は初項 $b_1=1$、公差 $3$ の等差数列なので、$b_n=1+3(n-1)=3n-2$、すなわち
$$ a_n=\frac1{3n-2} $$
である。

$a_1=1$、$a_{n+1}=\dfrac{a_n+2}{a_n+1}$ とする。項を計算すると
$$ a_2=\frac{1+2}{1+1}=\frac32,\quad a_3=\frac{3/2+2}{3/2+1}=\frac{7/2}{5/2}=\frac75,\quad a_4=\frac{17}{12},\quad a_5=\frac{41}{29},\quad a_6=\frac{99}{70} $$
となる。小数では $1,\ 1.5,\ 1.4,\ 1.4166\cdots,\ 1.4137\cdots,\ 1.4142\cdots$ で、$\sqrt2=1.41421\cdots$ に近づいているように見える。実際、$\bigl(\frac{17}{12}\bigr)^2=\frac{289}{144}=2.0069\cdots$、$\bigl(\frac{41}{29}\bigr)^2=\frac{1681}{841}=1.9988\cdots$ で、2 乗が $2$ に近い。
分子を $x_n$、分母を $y_n$ とすると、$(x_n,y_n)$ は $(1,1),(3,2),(7,5),(17,12),(41,29),(99,70)$ である。どの隣り合う 2 組にも
$$ x_{n+1}=x_n+2y_n,\qquad y_{n+1}=x_n+y_n $$
という関係がある（たとえば $7+2\cdot5=17$、$7+5=12$）。$a_n=\frac{x_n}{y_n}$ を漸化式に代入し、分子と分母に $y_n$ を掛けると $\frac{x_n/y_n+2}{x_n/y_n+1}=\frac{x_n+2y_n}{x_n+y_n}$ となるからである。

1. 例 1 の $f(x)=\dfrac{x}{3x+1}$ は $p=1$、$q=0$、$r=3$、$s=1$ で、$ps-qr=1\cdot1-0\cdot3=1\ne0$ である。$f(1)=\frac14$ である。
2. 例 2 の $f(x)=\dfrac{x+2}{x+1}$ は $p=1$、$q=2$、$r=1$、$s=1$ で、$ps-qr=1-2=-1\ne0$ である。$f(1)=\frac32$、$f\bigl(\frac32\bigr)=\frac75$ である。
3. $\dfrac{2x+4}{x+2}$ は $ps-qr=2\cdot2-4\cdot1=0$ なので、1 次分数関数ではない。実際、$x\ne-2$ なら $\frac{2x+4}{x+2}=\frac{2(x+2)}{x+2}=2$ で、定数である（ex-flt-det-zero）。

1. $f(x)=\frac{x+2}{x+1}$、$x=1$、$y=3$ とする。$f(1)=\frac32$、$f(3)=\frac54$ なので $f(1)-f(3)=\frac14$ である。公式では $\frac{(-1)(1-3)}{(1+1)(3+1)}=\frac{2}{8}=\frac14$ で、一致する。
2. $f(x)=\frac{x}{3x+1}$、$x=1$、$y=\frac12$ とする。$f(1)=\frac14$、$f\bigl(\frac12\bigr)=\frac{1/2}{5/2}=\frac15$ なので差は $\frac1{20}$ である。公式では $\frac{1\cdot(1/2)}{4\cdot(5/2)}=\frac{1/2}{10}=\frac1{20}$ で、一致する。

1. $A=\begin{pmatrix}1&2\\ 1&1\end{pmatrix}$ とすると、$A\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+2\\ 1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\ 2\end{pmatrix}$、$A\begin{pmatrix}3\\ 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3+4\\ 3+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\ 5\end{pmatrix}$ である。したがって $A^2\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\ 5\end{pmatrix}$ である。これは例 2 の分子と分母の組 $(1,1)\to(3,2)\to(7,5)$ そのものである。
2. $A=\begin{pmatrix}1&0\\ 3&1\end{pmatrix}$ とすると、$A\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\ 3x+y\end{pmatrix}$ である。$\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}$ から始めると $\begin{pmatrix}1\\ 4\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ 7\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ 10\end{pmatrix}$ となり、例 1 の $a_n=\frac1{3n-2}$ の分子と分母が並ぶ。

1. 例 1：$A=\begin{pmatrix}1&0\\ 3&1\end{pmatrix}$ では $x_{n+1}=x_n$、$y_{n+1}=3x_n+y_n$ である。$x_1=1$ なので $x_n=1$、すると $y_{n+1}=y_n+3$ で $y_n=1+3(n-1)=3n-2$ である。$y_n\ne0$ なので、すべての項が定まり、$a_n=\frac1{3n-2}$ である。
2. 例 2：$A=\begin{pmatrix}1&2\\ 1&1\end{pmatrix}$ で、$(x_n,y_n)$ は $(1,1),(3,2),(7,5),(17,12),(41,29),(99,70),\dots$ である。$x_n,y_n$ はすべて正の整数なので（正の数どうしの和だから）、$y_n\ne0$ で、すべての項が定まる。$a_n=\frac{x_n}{y_n}$ である。

例 2 の $(x_n,y_n)$ について、$x_n^2-2y_n^2$ を計算すると
$$ 1-2=-1,\quad 9-8=1,\quad 49-50=-1,\quad 289-288=1,\quad 1681-1682=-1 $$
と、$-1$ と $1$ が交互に並ぶ。一般に、$x_{n+1}=x_n+2y_n$、$y_{n+1}=x_n+y_n$ を代入して展開すると
$$ x_{n+1}^2-2y_{n+1}^2=(x_n^2+4x_ny_n+4y_n^2)-2(x_n^2+2x_ny_n+y_n^2)=-(x_n^2-2y_n^2) $$
となるので、帰納法で $x_n^2-2y_n^2=(-1)^n$ である。両辺を $y_n^2$ で割ると
$$ a_n^2-2=\frac{(-1)^n}{y_n^2} $$
である。$y_{n+1}=x_n+y_n\ge y_n+1$ なので $y_n\ge n$ であり、$|a_n^2-2|\le\frac1{n^2}\to0$ となる。$a_n>0$ なので $|a_n-\sqrt2|=\frac{|a_n^2-2|}{a_n+\sqrt2}\le\frac{1}{\sqrt2\,n^2}$ となり、数列の極限の意味で $a_n\to\sqrt2$ である。

1. 例 2 の $f(x)=\frac{x+2}{x+1}$：特性方程式は $t^2+(1-1)t-2=t^2-2=0$ で、不動点は $\sqrt2$ と $-\sqrt2$ の 2 つである。実際 $f(\sqrt2)=\frac{\sqrt2+2}{\sqrt2+1}=\frac{\sqrt2(1+\sqrt2)}{\sqrt2+1}=\sqrt2$ である。
2. 例 1 の $f(x)=\frac{x}{3x+1}$：特性方程式は $3t^2+(1-1)t-0=3t^2=0$ で、不動点は $0$ だけ（重解）である。
3. $f(x)=\frac{3x-1}{x+1}$（$ps-qr=3+1=4$）：特性方程式は $t^2+(1-3)t+1=(t-1)^2=0$ で、不動点は $1$ だけ（重解）である。
4. $f(x)=\frac{x-1}{x}$（$ps-qr=0+1=1$）：特性方程式は $t^2-t+1=0$ で、判別式が $1-4=-3<0$ なので、実数の不動点はない。

1. 例 2（$a_1=1$、$a_{n+1}=\frac{a_n+2}{a_n+1}$）：$\alpha=\sqrt2$、$\beta=-\sqrt2$、$r=s=1$ なので
   $$ k=\frac{-\sqrt2+1}{\sqrt2+1}=\frac{(1-\sqrt2)^2}{(1+\sqrt2)(1-\sqrt2)}=-(3-2\sqrt2)=2\sqrt2-3=-0.1715\cdots $$
   である。$b_1=\frac{1-\sqrt2}{1+\sqrt2}$ はちょうど $k$ に等しいので $b_n=k^n$ であり、
   $$ a_n=\frac{\sqrt2+\sqrt2\,k^n}{1-k^n}=\sqrt2\cdot\frac{1+k^n}{1-k^n} $$
   である。$n=2$ で確かめる。$k^2=(2\sqrt2-3)^2=17-12\sqrt2$ なので、$\sqrt2\cdot\frac{18-12\sqrt2}{12\sqrt2-16}=\frac{18\sqrt2-24}{12\sqrt2-16}=\frac{6(3\sqrt2-4)}{4(3\sqrt2-4)}=\frac32$ で、$a_2$ と一致する。
2. $a_1=2$、$a_{n+1}=\frac{3a_n-1}{a_n+1}$：ex-flt-fixed-examples の 3 から重解 $\alpha=1$、公差は $\frac{2r}{p+s}=\frac{2}{3+1}=\frac12$ である。$c_1=\frac1{2-1}=1$ なので $c_n=1+\frac{n-1}2=\frac{n+1}2$、したがって $a_n=1+\frac2{n+1}=\frac{n+3}{n+1}$ である。実際 $a_2=\frac{6-1}{2+1}=\frac53$、$a_3=\frac{5-1}{5/3+1}=\frac{4}{8/3}=\frac32$ で、式の $\frac{2+3}{2+1}=\frac53$、$\frac{3+3}{3+1}=\frac32$ と一致する。
3. 例 1（$a_{n+1}=\frac{a_n}{3a_n+1}$）：重解 $\alpha=0$、公差 $\frac{2\cdot3}{1+1}=3$ で、$c_n=\frac1{a_n}$ は公差 $3$ の等差数列である。例 1 の「逆数をとる」は、不動点が $0$ だけの場合の段 5 そのものだった。

1. 例 2 では $|k|=3-2\sqrt2=0.17\cdots<1$ なので、$a_1\ne-\sqrt2$ から始めてすべての項が定まるなら $a_n\to\sqrt2$ である。$a_n-\sqrt2$ は $-0.414,\ 0.0858,\ -0.0142,\ 0.00245,\ -0.00042,\dots$ と、符号を変えながら 1 回ごとにほぼ $k$ 倍（約 $-0.17$ 倍）になる。$a_1=4$ から始めても $\sqrt2$ に近づく（図1）。
2. 逆向きの漸化式 $a_{n+1}=\frac{2-a_n}{a_n-1}$（$p=-1$、$q=2$、$r=1$、$s=-1$、$ps-qr=1-2=-1$）も、特性方程式は $t^2-2=0$ で不動点は同じ $\pm\sqrt2$ である。しかし $\alpha=\sqrt2$、$\beta=-\sqrt2$ とすると $k=\frac{-\sqrt2-1}{\sqrt2-1}=-(3+2\sqrt2)$ で $|k|>1$ なので、$a_n\to-\sqrt2$ である。$a_1=0$ から $0,\ -2,\ -\frac43,\ -\frac{10}7,\ -\frac{24}{17},\ -\frac{58}{41},\dots$ となり、小数で $-1.4285\cdots$、$-1.4117\cdots$、$-1.4146\cdots$ と $-\sqrt2=-1.4142\cdots$ に近づく。どちらの不動点に近づくかは $|k|$ で決まる。
3. ex-flt-fixed-use の 2 の $a_n=\frac{n+3}{n+1}$ は、重解 $1$ に近づく。

1. $a_{n+1}=\frac{a_n-1}{a_n}$、$a_1=2$：$a_2=\frac12$、$a_3=\frac{1/2-1}{1/2}=-1$、$a_4=\frac{-2}{-1}=2$ で、$2,\ \frac12,\ -1$ の 3 つをくり返す（図2）。$a_1=3$ なら $3,\ \frac23,\ -\frac12,\ 3,\dots$ である。実際、$f(x)=\frac{x-1}x$ を 2 回、3 回合成すると $f(f(x))=-\frac1{x-1}$、$f(f(f(x)))=x$ である。行列では $A=\begin{pmatrix}1&-1\\ 1&0\end{pmatrix}$ について $A^3\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-x\\ -y\end{pmatrix}$ で、分子と分母がそろって $-1$ 倍になるので、比は元に戻る。特性方程式 $t^2-t+1=0$ は実数解をもたない（ex-flt-fixed-examples の 4）。
2. $a_{n+1}=\frac{a_n+1}{1-a_n}$、$a_1=2$：$2,\ -3,\ -\frac12,\ \frac13,\ 2,\dots$ と周期 $4$ でくり返す。$A=\begin{pmatrix}1&1\\ -1&1\end{pmatrix}$ について $A^4\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4x\\ -4y\end{pmatrix}$ である。正接の加法定理 $\tan\bigl(\theta+\frac\pi4\bigr)=\frac{\tan\theta+1}{1-\tan\theta}$ から、$a_1=\tan\theta$ なら $a_n=\tan\bigl(\theta+\frac{(n-1)\pi}4\bigr)$ で、角が $\frac\pi4$ ずつ回るので $4$ 回で $\pi$ 進み、$\tan$ の値が元に戻る（加法定理から積和・和積・合成・正接の公式を導く）。
3. $a_{n+1}=\frac{a_n+3}{a_n-1}$、$a_1=0$：$0,\ -3,\ 0,\ -3,\dots$ と周期 $2$ でくり返す。$a_1=5$ なら $5,\ 2,\ 5,\dots$ である。こちらは特性方程式 $t^2-2t-3=(t-3)(t+1)=0$ が実数解 $3,-1$ をもつが、$k=\frac{-1-1}{3-1}=-1$ で $|k|=1$ である。$b_n=\frac{a_n-3}{a_n+1}$ は $a_1=0$ のとき $-3,\ 3,\ -3,\dots$ と $-1$ 倍ずつ変わる。

$f(x)=\frac{2x+4}{x+2}$（$ps-qr=0$）を考える。$x\ne-2$ では $f(x)=2$ である。$a_1=5$ なら $5,\ 2,\ 2,\ 2,\dots$ となる。特性方程式は $t^2+(2-2)t-4=t^2-4=0$ で、解は $2$ と $-2$ である。$2$ は不動点だが、$-2$ では $f(-2)$ の分母が $0$ になり、不動点ではない。また $f(5)=f\bigl(-\frac73\bigr)=2$ なので、$f$ は単射でない。
満たす性質：分数の形の漸化式。満たさない性質：$ps-qr\ne0$。破る主張：prop-flt-fixed-eq の「特性方程式の解なら不動点」と、lem-flt-difference の単射性。崩れるのは prop-flt-fixed-eq の証明の段 2 である。

例 2 の漸化式 $a_{n+1}=\frac{a_n+2}{a_n+1}$ で $a_1=-\frac32$ とすると、$a_2=\frac{1/2}{-1/2}=-1$ で、$a_3$ は分母が $0$ になって定まらない。行列で追うと $\begin{pmatrix}-3/2\\ 1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1/2\\ -1/2\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}-1/2\\ 0\end{pmatrix}$ で、thm-flt-matrix のとおり $y_3=0$ となる。同じように止まってしまう初項は、$f(x)=-1$ を逆にたどって $-1,\ -\frac32,\ -\frac75,\ -\frac{17}{12},\ -\frac{41}{29},\dots$ と無限にある（例 2 の項に $-1$ を掛けたものが並ぶ）。
満たす性質：$ps-qr\ne0$。満たさない性質：すべての項が定まる。破る主張：thm-flt-fixed の一般項の式がすべての $n$ で意味をもつこと。$a_1=-\frac32$ で $b_n$ の式を形式的に使っても、$n=3$ 以降の $a_n$ は存在しない。

例 2 の漸化式で $a_1=-\sqrt2$ とすると、$f(-\sqrt2)=-\sqrt2$ なので、すべての $n$ で $a_n=-\sqrt2$ である。$|k|<1$ だが、$\sqrt2$ には近づかない。$b_1=\frac{a_1-\sqrt2}{a_1+\sqrt2}$ は分母が $0$ で定まらない。
満たす性質：$ps-qr\ne0$、$|k|<1$、すべての項が定まる。満たさない性質：$a_1\ne\beta$。破る主張：cor-flt-limit の「$|k|<1$ なら $a_n\to\alpha$」。

1. $A=\begin{pmatrix}1&2\\ 1&1\end{pmatrix}$ では $A^2=\begin{pmatrix}1+2&2+2\\ 1+1&2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&4\\ 2&3\end{pmatrix}$ なので、$f(f(x))=\frac{3x+4}{2x+3}$ である。$x=1$ で $\frac75$ となり、例 2 の $a_3$ と一致する。
2. $A=\begin{pmatrix}1&-1\\ 1&0\end{pmatrix}$ では $A^2=\begin{pmatrix}0&-1\\ 1&-1\end{pmatrix}$、$A^3=A^2A=\begin{pmatrix}-1&0\\ 0&-1\end{pmatrix}$ である。$f_{A^2}(x)=\frac{-1}{x-1}$、$f_{A^3}(x)=\frac{-x}{-1}=x$ で、ex-flt-periodic の 1 の計算と一致する。