chronological時空

1・2・4 の同値は定義そのものである。3 $\Rightarrow$ 4：$p\ll p$ なら $p\in I^+(p)\cap I^-(p)$ である。4 $\Rightarrow$ 3：$q\in I^+(p)\cap I^-(p)$ なら $p\ll q\ll p$ であり、$\ll$ の推移性（時空 の記事の命題「因果的順序は前順序である」）から $p\ll p$ となる。推移性はつねに成り立つので、非反射的なら狭義の半順序である。$\square$

1。 $p\in\mathcal{V}$ なら $p\ll p\ll p$ なので $p\sim p$ である。対称性は定義から明らかで、推移性は $\ll$ の推移性から従う。$q\in I^+(p)\cap I^-(p)$ とすると $p\ll q\ll p$ であり、$q\ll p\ll q$ から $q\ll q$、すなわち $q\in\mathcal{V}$ で $q\sim p$ である。逆に $q\sim p$ なら $q\in I^+(p)\cap I^-(p)$ である。よって $[p]=I^+(p)\cap I^-(p)$ である。
2。 $I^\pm(p)$ は開集合なので $[p]$ は開集合であり、$p\in[p]$ なので空でない。連結性を示す。$q\in[p]$ とし、$p$ から $q$ への未来向き時間的曲線 $\alpha$ をとる。$\alpha$ 上の点 $r\neq p$ について、$\alpha$ の $p$ から $r$ までの部分は時間的なので $p\ll r$ であり、$r$ から $q$ までの部分と $q\ll p$ をつないで $r\ll p$ である（$r=q$ なら $q\ll p$ そのもの）。よって $\alpha$ は $[p]$ に含まれ、$[p]$ の各点は $[p]$ の中で $p$ と曲線で結べる。したがって $[p]$ は弧状連結である。$\mathcal{V}$ は同値類の和なので開集合であり、異なる同値類は交わらない。
3。 $([p],g)$ は連結な開部分多様体に $g$ と時間的向き付けを制限したものなので時空である。$q,r\in[p]$ を任意にとる。$q\ll p$ を実現する時間的曲線 $\beta$ と $p\ll r$ を実現する時間的曲線 $\gamma$ をつなぐと $q$ から $r$ への未来向き時間的曲線ができる。$\beta$ 上の点 $z$ は $z\ll p$ かつ $p\ll q\ll z$（$z=q$ なら $p\ll q$）を満たすので $z\in[p]$ であり、$\gamma$ 上の点も同様に $[p]$ に属する。したがってこの曲線は $[p]$ に含まれ、$([p],g)$ の中で $q\ll r$ が成り立つ。$q,r$ は任意なので、$([p],g)$ の任意の 2 点は互いに時間的曲線で結べ、Totally Vicious時空 の記事の定義「Totally Vicious時空」の条件を満たす。$\square$

Totally Vicious時空 の記事の命題「コンパクト時空はCTCを持つ」による。$\square$

2 $\Rightarrow$ 1：$p\ll p$ となる点があれば、2 から $t^-(p)< t^-(p)$ となって矛盾する。
1 $\Rightarrow$ 2：$p\ll q$ かつ $t^-(p)=t^-(q)$ と仮定する。押し上げにより $I^-(p)\subset I^-(q)$ なので、$\mu(I^-(q)\setminus I^-(p))=t^-(q)-t^-(p)=0$ である。$p$ から $q$ への未来向き時間的曲線の途中の点 $r$ は $p\ll r\ll q$ を満たすので、$W:=I^+(p)\cap I^-(q)$ は空でない開集合であり、$\mu(W)>0$ である。$W\subset I^-(q)$ なので $W\cap I^-(p)\neq\emptyset$ であり、その点 $s$ は $p\ll s\ll p$ を満たす。推移性から $p\ll p$ となり、chronological であることに反する。$\square$

$\gamma\colon[0,1]\to M$ を $\gamma(0)=\gamma(1)$ となる未来向き因果曲線とし、周期 $1$ で延ばした曲線 $\sigma\colon\mathbb{R}\to M$、$\sigma(s):=\gamma(s-\lfloor s\rfloor)$ を考える。$\sigma$ は区分的に滑らかな未来向き因果曲線である（整数点は区分点になりうる）。
$s_0\in\mathbb{R}$ を任意にとる。$\sigma(s_0)$ のまわりの座標 $(x^0,\dots,x^{n-1})$ を、$\sigma(s_0)$ で $g$ が $-(dx^0)^2+\sum_{i\ge1}(dx^i)^2$ となり $\partial_0$ が未来向きになるようにとる。このとき $\sigma(s_0)$ で $0$ でない未来向き因果ベクトル $v$ は $dx^0(v)>0$ を満たし、光円錐の連続性からこれは $\sigma(s_0)$ の近傍でも成り立つ。したがって $\delta\in(0,1/2)$ を十分小さくとると、$x^0\circ\sigma$ は $[s_0-\delta,s_0+\delta]$ で狭義に増加し、$x:=\sigma(s_0-\delta)$ と $y:=\sigma(s_0+\delta)$ は相異なる。$\sigma$ の $[s_0-\delta,s_0+\delta]$ の部分が光的測地線のパラメータを取り替えたものでないとすると、rem-chr-non-geodesic-causal により $x\ll y$ である。一方、$\sigma$ の $[s_0+\delta,s_0-\delta+1]$ の部分は $y$ から $\sigma(s_0-\delta+1)=x$ への未来向き因果曲線なので $y\le x$ である。押し上げにより $x\ll x$ となり、chronological であることに反する。
よって $\sigma$ は各点の近くで光的測地線のパラメータを取り替えたものであり、区分点でも折れていない。すなわち各 $s_0$ について、光的測地線 $c_{s_0}$ と狭義増加の連続関数 $\varphi_{s_0}$ で、$[s_0-\delta,s_0+\delta]$ の上で $\sigma=c_{s_0}\circ\varphi_{s_0}$ となるものがある。このような 2 つの区間が重なるとき、重なりの中の点 $s$ をとると、$c_{s_0}$ と $c_{s_1}$ はどちらも $\sigma(s)$ の近くで $\sigma$ の同じ小区間の像を同じ向きにたどるので、$\sigma(s)$ での両者の速度は一方が他方の正の数倍である。測地線は 1 点での速度で決まるので、$c_{s_1}$ は $c_{s_0}$ のパラメータを $u\mapsto\alpha u+\beta$（$\alpha>0$）と取り替えたものと一致し、両者は 1 本の光的測地線にまとまる。$[-1,2]$ を、隣どうしが重なる有限個のこのような区間で覆って順につなげると、光的測地線 $c$ と狭義増加の連続関数 $\varphi$ で $[-1,2]$ の上で $\sigma=c\circ\varphi$ となるものが得られる。$\sigma(1+h)=\sigma(h)$ なので、$c$ は $\varphi(1)$ の近くで $\varphi(0)$ の近くと同じ点を同じ向きにたどる。測地線の速度は $0$ にならず、パラメータの取り替えは向きを保つので、$c'(\varphi(1))$ は $c'(\varphi(0))$ の正の数倍である。$a=\varphi(0)$、$b=\varphi(1)$ とすればよい。$\square$

$v=(L,\xi)=L\partial_t+\xi\partial_x$ について
$$ g(v,v)=\cos^2x\,(\xi^2-L^2)+2L\xi\sin x,\qquad g(v,V)=-L+\xi\sin^3x $$
である（$g(\partial_t,\partial_t)=-\cos^2x$、$g(\partial_t,\partial_x)=\sin x$、$g(\partial_x,\partial_x)=\cos^2x$ から計算する）。
$\mathcal{V}\supset\{\cos x\neq0\}$ で、各帯が 1 つの同値類であること：$x_1,x_2$ が同じ帯 $\{\lvert x\rvert<\pi/2\}$（または $\{\pi/2< x< 3\pi/2\}$）にあるとし、$q_i=(t_i,x_i)$ とおく。$\mathbb{R}^2$ への持ち上げで、曲線 $s\mapsto(t_1+Ls,\ x_1+(x_2-x_1)s)$（$0\le s\le1$）を考えると、$x$ はこの帯の閉区間に収まるので、そこで $\cos^2x\ge c>0$ となる定数 $c$ がある。$\xi=x_2-x_1$ を固定して $L\to\infty$ とすると $g(v,v)\le-cL^2+O(L)< 0$、$g(v,V)=-L+O(1)< 0$ なので、十分大きな $L$ で曲線は未来向き時間的である。$t$ は $1$ を法として考えるので、$L\equiv t_2-t_1\pmod 1$ を満たす大きな $L$ をとれば、曲線は $q_1$ から $q_2$ に達する。よって同じ帯の任意の 2 点について $q_1\ll q_2$ であり、とくに $q_1\ll q_1$ である。
$x=\pm\pi/2$ の点は $\mathcal{V}$ に属さないこと：$x=\pi/2$ では $g(v,v)=2L\xi$、$g(v,V)=\xi-L$ なので、未来向き時間的なら $L\xi< 0$ かつ $\xi< L$、したがって $\xi< 0< L$ である。$x=-\pi/2$ では同様に $\xi>0$ である。$p$ を $x=\pi/2$ の点とし、$p$ から出る未来向き時間的曲線 $\gamma(s)=(t(s),x(s))$ を、$x(0)=\pi/2$ となるように $\mathbb{R}^2$ へ持ち上げる。出発点での右側の接ベクトルは $\xi< 0$ を満たすので、小さい $s>0$ で $x(s)\in(-\pi/2,\pi/2)$ である。ある $s_1>0$ で初めて $x(s_1)=\pi/2$ になるなら、そこでの左側の接ベクトルは $\xi\ge0$ を満たして矛盾し、初めて $x(s_1)=-\pi/2$ になるなら $\xi\le0$ を満たして矛盾する。よって $s>0$ では $x(s)\in(-\pi/2,\pi/2)$ であり、$\gamma$ は $x\equiv\pi/2\pmod{2\pi}$ の点に戻らない。とくに $p\notin\mathcal{V}$ である。$x=-\pi/2$ の点から出る未来向き時間的曲線も、出発点で $\xi>0$ なので小さい $s>0$ で $x(s)\in(-\pi/2,\pi/2)$ となり、同じ議論でその後は帯 $(-\pi/2,\pi/2)$ にとどまるので、$\mathcal{V}$ に属さない。
以上より $\mathcal{V}=\{\cos x\neq0\}$ であり、$\mathcal{V}$ は交わらない 2 つの開集合である帯の和である。thm-chr-violating-set の 2 により各同値類は連結なので、どちらか一方の帯に含まれる。一方、上で示したとおり各帯は 1 つの同値類に含まれるので、同値類はちょうど 2 つの帯である。最後に、$\{x=\pm\pi/2\}$ は $g(\partial_t,\partial_t)=-\cos^2x=0$ なので光的な閉曲線である。$\square$