脈体

前提知識: 圏, 関手, 単体的集合

小さな圏 $\mathcal C$ の脈体 $N(\mathcal C)$ は、$\mathcal C$ の対象を頂点、射を辺、合成可能な $2$ 本の射とその合成を三角形、合成可能な $n$ 本の射の列を $n$ 単体として並べた単体的集合である。圏の構造（合成と恒等射）は面写像と退化写像の中にそのまま書き込まれ、しかも失われない：脈体をとる操作 $N$ は圏の圏から単体的集合の圏への充満忠実な関手であり、どの単体的集合が脈体になるかは「内側のホーンがただ 1 通りに埋まる」という条件で判定できる。この条件から一意性を外したものが準圏（∞圏）であり、脈体は通常の圏を∞圏の中に置く入口になる。

定義

単体的集合の記号

単体圏 $\Delta$ は、対象を有限全順序集合 $[n]=\{0<1<\cdots< n\}$（$n\geq0$）、射を順序を保つ写像とする圏であり、単体的集合は関手 $X\colon\Delta^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$ である。$X_n=X([n])$ の元を $n$ 単体という。$i$ を飛ばす単射 $\delta^i\colon[n-1]\to[n]$ と、$i$ と $i+1$ を同じ値へ送る全射 $\sigma^i\colon[n+1]\to[n]$ から、面写像 $d_i=X(\delta^i)$ と退化写像 $s_i=X(\sigma^i)$ が定まる。単体的集合と単体的写像（自然変換）の圏を $\mathbf{sSet}$ と書く。

標準 $n$ 単体 $\Delta^n$ は $[n]$ が表現する単体的集合 $\operatorname{Hom}_{\Delta}(-,[n])$ であり、米田の補題により単体的写像 $\Delta^n\to X$ と $X$ の $n$ 単体が対応する。$0\leq j\leq n$ に対し、$j$ を値にとらない順序写像からなる部分単体的集合を $j$ 番目の面 $F_j\subseteq\Delta^n$ と書く（$F_j\cong\Delta^{n-1}$）。$n\geq1$、$0\leq k\leq n$ に対し、$F_k$ 以外の面の和

$$ \Lambda^n_k=\bigcup_{j\neq k}F_j\subseteq\Delta^n $$

を $k$ 番目のホーンといい、$0< k< n$ のとき内側のホーン、$k=0,n$ のとき外側のホーンという。すべての面の和を境界 $\partial\Delta^n$ と書く。単体的写像 $\Lambda^n_k\to X$ が $\Delta^n\to X$ へ延びるとき、そのホーンは埋まる（延長を充填という）という。

$a\leq b$ に対し、$0\mapsto a$、$1\mapsto b$ で定まる順序写像 $[1]\to[n]$ に沿った $n$ 単体 $\sigma$ の引き戻しを $\sigma|_{\{a,b\}}$ と書き、$\sigma$ の辺という。同じように $\sigma|_{\{a,b,c\}}$ は $a\leq b\leq c$ を頂点とする $2$ 単体である。隣り合う頂点を結ぶ辺 $\sigma|_{\{0,1\}},\sigma|_{\{1,2\}},\ldots,\sigma|_{\{n-1,n\}}$ を $\sigma$ の背骨という。

圏の脈体

$[n]$ は $i\leq j$ のときだけ $i$ から $j$ への射がちょうど $1$ 本ある圏とみなせる。順序を保つ写像 $\alpha\colon[m]\to[n]$ はこの圏の間の関手である。

関手 $u\colon[n]\to\mathcal C$ は、隣り合う $i-1\leq i$ の間の射 $f_i=u(i-1\to i)$ で決まる。したがって $n$ 単体は合成可能な $n$ 本の射の列

$$ c_0\xrightarrow{f_1}c_1\xrightarrow{f_2}\cdots\xrightarrow{f_n}c_n $$

と同じである（$0$ 単体は対象、$1$ 単体は射）。この書き方で、面写像 $d_i$ は $i=0$ なら $f_1$ を、$i=n$ なら $f_n$ を取り除き、$0< i< n$ なら $f_i,f_{i+1}$ を合成 $f_{i+1}\circ f_i$ に置き換える。退化写像 $s_i$ は $c_i$ の位置に恒等射 $\mathrm{id}_{c_i}$ を挿入する。恒等射を含む列は退化単体であり、恒等射を含まない列が非退化単体である。

$2$ 単体 $(f,g)$ の $3$ 本の辺は $d_2=f$、$d_0=g$、$d_1=g\circ f$ である。つまり脈体の $2$ 単体は、次の可換な三角形そのものである。

$$ \xymatrix{ & c_1 \ar[dr]^{g} & \\ c_0 \ar[ur]^{f} \ar[rr]_{g\circ f} & & c_2 } $$

関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ は後合成 $u\mapsto F\circ u$ で単体的写像 $N(F)\colon N(\mathcal C)\to N(\mathcal D)$ を与え、$N(G\circ F)=N(G)\circ N(F)$、$N(\mathrm{id})=\mathrm{id}$ が成り立つ。

「脈体」という語は、位相空間の開被覆から作る単体的複体（被覆の脈体）にも使われる。ここで扱うのは圏の脈体であり、被覆の脈体は別の構成である。

例

$2$ 対象の圏でも、$x\to y$ の射が $1$ 本だけなら脈体は $\Delta^1$ であり、穴はない。逆に $\mathcal K$ に対象 $w$ と射 $a\colon w\to x$ を加え、$f\circ a=g\circ a$（$=h$ とおく）とすると、$2$ 単体 $(a,f)$ と $(a,g)$ が辺 $a,h$ を共有して貼り合わさり、$f$ と $g$ がつくる円周をふさぐ円板ができる。脈体の形は射の本数だけでなく合成の関係で決まる。

脈体の単体は辺で決まる

脈体の単体は関手 $[n]\to\mathcal C$ であり、関手は「頂点ごとの対象」と「$a< b$ ごとの射」で、三角形ごとの合成の関係を満たすものとして決まる。この見方で、ホーンや境界からの写像を調べる。まず、一般の単体的集合について、ホーンからの写像を面の族として書く。

脈体への写像では、さらに各面の単体が辺で決まる。有限全順序集合 $S$ から圏 $\mathcal C$ への関手は、各 $a\in S$ への対象 $c_a$ と、$a< b$ ごとの射 $e_{ab}\colon c_a\to c_b$ で、$a< b< c$ のとき $e_{bc}\circ e_{ab}=e_{ac}$ を満たすものと同じである（恒等射の行き先は $\mathrm{id}_{c_a}$ に決まる）。

$\Lambda^n_k$ に含まれない辺と三角形は、頂点を数えると分かる。辺 $\{a,b\}$ がどの $F_j$（$j\neq k$）にも入らないのは、$\{a,b\}$ の外の頂点が $k$ だけのとき、つまり $n=2$ で $\{a,b\}=[2]\setminus\{k\}$ のときに限る。三角形 $\{a,b,c\}$ が入らないのは、$n=2$ のとき、または $n=3$ で $\{a,b,c\}=[3]\setminus\{k\}$ のときに限る。境界 $\partial\Delta^n$ は、$n\geq2$ ならすべての辺を、$n\geq3$ ならすべての三角形を含む。

外側のホーンは $n=2,3$ で埋まらないことがある。$n=2$、$k=0$ のホーンは射 $e_{01}\colon c_0\to c_1$ と $e_{02}\colon c_0\to c_2$ で、延長には $e_{12}\circ e_{01}=e_{02}$ となる $e_{12}$ が要る。これは一般には存在しない（下の反例）。すべての射が可逆な圏では $e_{12}=e_{02}\circ e_{01}^{-1}$ で埋まる。

脈体であるための条件

prop-nerve-horn-filling の条件 (i) は、脈体を特徴づける。

この定理は HTT09 Proposition 1.1.2.2 であり、証明もそれに沿っている。脈体の $2$ 単体は合成を記録し、$3$ 次元以上の単体は境界だけで決まって新しい情報をもたない（prop-nerve-horn-filling の条件 (iii)、RV22 Remark 1.1.5 の「脈体は $2$ 余骨格的」）。条件 (ii) から「ただ 1 通り」を外し、延長の存在だけを求めたものが準圏であり、準圏を $(\infty,1)$ 圏のモデルとして使うのが ∞圏 の立場である。

脈体関手の性質

充満忠実性

したがって $\mathbf{Cat}$ は $\mathbf{sSet}$ の充満部分圏とみなせる。圏とその脈体を同一視し、圏論の概念を単体的集合の言葉で述べ直せるのはこのためである（RV22 Definition 1.1.4）。

積と自然変換

関手 $F,G\colon\mathcal C\to\mathcal D$ の間の自然変換 $\theta\colon F\Rightarrow G$ は、各対象 $c$ の射 $\theta_c\colon Fc\to Gc$ で、すべての射 $f\colon c\to c'$ について次の図式が可換、つまり $\theta_{c'}\circ F(f)=G(f)\circ\theta_c$ となるものである。

$$ \xymatrix{ Fc \ar[r]^{\theta_c} \ar[d]_{F(f)} & Gc \ar[d]^{G(f)} \\ Fc' \ar[r]_{\theta_{c'}} & Gc' } $$

こうして、関手は脈体の間の単体的写像、自然変換は $\Delta^1$ でパラメーター付けられた単体的写像（ホモトピー）になる。∞圏の関手・自然変換（関手(∞圏)、自然変換(∞圏)）は、この形をそのまま準圏へ広げたものである。

左随伴：基本圏

脈体関手には左随伴がある。単体的集合 $X$ の基本圏（ホモトピー圏）$hX$ を、次のように定める。対象は $X_0$ の元とし、射は $X_1$ の各元 $f$ を $d_1f$ から $d_0f$ への射とみなして生成される自由圏（射は辺の有限列）を、関係

$$ [s_0x]=\mathrm{id}_x\quad(x\in X_0),\qquad [d_1\sigma]=[d_0\sigma]\circ[d_2\sigma]\quad(\sigma\in X_2) $$

が生成する合同関係で割ったものとする。$X$ が準圏なら、$hX$ の射は辺のホモトピー類として簡単に書ける（∞圏のホモトピー圏、RV22 Lemma 1.1.12）。

随伴の単位 $\eta_X\colon X\to N(hX)$ は各単体をその背骨の類の列へ送る写像、余単位は $\varepsilon_{\mathcal C}\colon hN(\mathcal C)\to\mathcal C$ であり、三角恒等式は次の $2$ つの図式が可換であることである。

$$ \xymatrix{ N(\mathcal C) \ar[r]^{\eta_{N(\mathcal C)}} \ar@{=}[dr] & N(hN(\mathcal C)) \ar[d]^{N(\varepsilon_{\mathcal C})} & & hX \ar[r]^{h(\eta_X)} \ar@{=}[dr] & hN(hX) \ar[d]^{\varepsilon_{hX}} \\ & N(\mathcal C) & & & hX } $$

つまり

$$ N(\varepsilon_{\mathcal C})\circ\eta_{N(\mathcal C)}=\mathrm{id}_{N(\mathcal C)},\qquad \varepsilon_{hX}\circ h(\eta_X)=\mathrm{id}_{hX} $$

である。

余単位が同型であることからも、右随伴 $N$ が充満忠実であることが従う（Rie14 Lemma 15.3.8 の証明はこの形で述べている）。prop-nerve-fully-faithful はその直接の証明である。$h$ は Rie14 Example 1.5.5 で米田埋め込みに沿った左 Kan 拡張として作られ、RV22 Proposition 1.1.11 でも同じ随伴が示されている。通常の圏 $\mathcal C$ を準圏とみなしてホモトピー圏をとると $\mathcal C$ に戻ること（∞圏 の命題「通常の圏の脈体のホモトピー圏」）は、余単位が同型であることの言い換えである。

反例

脈体であるための条件 thm-nerve-characterization の (ii) の一部を満たさない単体的集合を並べる。最後の行は、脈体がもたなくてよい性質の例である。

注意：単体的豊穣圏の脈体と幾何学的実現

射の集合が単体的集合になっている圏（単体的豊穣圏）では、各射の単体的集合の $0$ 単体だけを見た通常の圏の脈体をとると、高次の単体の情報が捨てられる。そこで $[n]$ を、合成が「ホモトピーを込めて」結合的になるよう太らせた単体的豊穣圏 $\mathfrak C[\Delta^n]$ に取り替え、$n$ 単体を $\mathfrak C[\Delta^n]$ からの単体的関手とする構成を使う。これをホモトピー整合的脈体（単体的脈体）という。通常の圏を射の集合が定値な単体的豊穣圏とみなすと、ホモトピー整合的脈体は通常の脈体に一致する（HTT09 Example 1.1.5.8）。記号 $N$ は両方に使われることがあるので、どちらの脈体か区別する必要がある（HTT09 Warning 1.1.5.7）。

脈体の単体を位相的標準単体に置き換えて貼り合わせた空間（幾何学的実現）$\lvert N(\mathcal C)\rvert$ を圏 $\mathcal C$ の分類空間という。群 $G$ に対する $\lvert BG\rvert$ は、離散群 $G$ の分類空間（分類空間）の模型を与える。

関連項目

• 前提: 圏, 関手, 単体的集合
• 比較: ∞圏, ∞圏のホモトピー圏
• 直後に読む: 関手(∞圏), 自然変換(∞圏), Kan複体, 単体的豊穣圏
• 発展: 空間の∞圏, 分類空間, 随伴関手