Nevanlinna理論

調和関数の平均値．$\Omega\subset\mathbb{C}$ を開集合、$g$ を $\Omega$ 上の正則関数で零点をもたないものとすると、$\log\lvert g\rvert$ は $\Omega$ 上で調和である。実際、$z_0\in\Omega$ の近くでは $g$ の値は $0$ を含まない小さな円板に入るので、そこで $\log g$ の分枝がとれ、$\log\lvert g\rvert=\operatorname{Re}\log g$ は正則関数の実部として調和である（調和関数 の命題「正則関数の実部と虚部」）。調和性は局所的な性質なので、$\log\lvert g\rvert$ は $\Omega$ 全体で調和である。したがって、$\Omega$ が閉円板 $\lvert z-z_0\rvert\le\rho$ を含めば、$\log\lvert g\rvert$ の円周 $\lvert z-z_0\rvert=\rho$ 上の平均は $\log\lvert g(z_0)\rvert$ に等しい（調和関数 の定理「平均値の性質」の平面の場合）。
$\lvert a\rvert>r$ の場合．$g(z)=z-a$ は開円板 $\lvert z\rvert<\lvert a\rvert$ で零点をもたず、この円板は閉円板 $\lvert z\rvert\le r$ を含む。よって平均は $\log\lvert g(0)\rvert=\log\lvert a\rvert$ である。
$\lvert a\rvert< r$ の場合．$w:=\bar a/r$ とおくと $\lvert w\rvert<1$ で、$\lvert re^{i\theta}-a\rvert=r\lvert e^{i\theta}-a/r\rvert=r\lvert 1-w e^{i\theta}\rvert$ である（$\lvert e^{i\theta}-a/r\rvert=\lvert 1-(a/r)e^{-i\theta}\rvert$ の共役をとった）。$g(z)=1-wz$ は開円板 $\lvert z\rvert<1/\lvert w\rvert$（$w=0$ なら $\mathbb{C}$）で零点をもたず、この円板は閉単位円板を含む。よって $\log\lvert1-we^{i\theta}\rvert$ の平均は $\log\lvert g(0)\rvert=0$ で、求める平均は $\log r$ である。
$\lvert a\rvert=r$ の場合．$a=re^{i\varphi}$ と書くと $\lvert re^{i\theta}-a\rvert=r\lvert1-e^{i(\varphi-\theta)}\rvert$ なので、$I:=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\lvert1-e^{it}\rvert\,dt=0$ を示せばよい。$1/2\le\rho<1$ について、前段により $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\lvert1-\rho e^{it}\rvert\,dt=0$ である。$\lvert1-\rho e^{it}\rvert\le2$ であり、虚部を見て $\lvert1-\rho e^{it}\rvert\ge\rho\lvert\sin t\rvert\ge\lvert\sin t\rvert/2$ なので
$$ \bigl\lvert\log\lvert1-\rho e^{it}\rvert\bigr\rvert\le\log2+\bigl\lvert\log\lvert\sin t\rvert\bigr\rvert $$
である。右辺は $[0,2\pi]$ で積分可能である（$\lvert t\rvert\le\pi/2$ で $\lvert\sin t\rvert\ge2\lvert t\rvert/\pi$ なので、$t=0,\pi,2\pi$ の近くで $\lvert\log\lvert t-t_0\rvert\rvert$ 程度に抑えられる）。$t\notin\{0,2\pi\}$ では $\rho\to1$ で $\log\lvert1-\rho e^{it}\rvert\to\log\lvert1-e^{it}\rvert$ なので、優収束定理により $I=\lim_{\rho\to1}0=0$ である。同じ評価から $\log\lvert1-e^{it}\rvert$ は積分可能である。$\square$

閉円板 $\lvert z\rvert\le r+1$ は有界なので、そこに含まれる $f$ の零点と極は有限個である。$0<\lvert z\rvert\le r$ にある零点を重複度だけ並べて $a_1,\dots,a_p$、極を重複度だけ並べて $b_1,\dots,b_q$ とする。$r<\lvert z\rvert< R$ に零点も極もないような $R\in(r,r+1]$ がとれる。
$$ g(z):=f(z)\,z^{-k}\,\frac{\prod_{j=1}^q(z-b_j)}{\prod_{i=1}^p(z-a_i)} $$
とおくと、$g$ は開円板 $\lvert z\rvert< R$ で（除去可能な特異点を除いて）正則で、零点をもたない。$g(0)=c_f\prod_j(-b_j)/\prod_i(-a_i)$ なので
$$ \log\lvert g(0)\rvert=\log\lvert c_f\rvert+\sum_{j=1}^q\log\lvert b_j\rvert-\sum_{i=1}^p\log\lvert a_i\rvert $$
である。
$\lvert z\rvert=r$ で $f$ の零点・極でない点では
$$ \log\lvert f(z)\rvert=k\log r+\sum_{i=1}^p\log\lvert z-a_i\rvert-\sum_{j=1}^q\log\lvert z-b_j\rvert+\log\lvert g(z)\rvert $$
である。右辺の各項の円周上の平均を求める。lem-nev-circle-mean により $\log\lvert z-a_i\rvert$ の平均は $\log r$（$\lvert a_i\rvert\le r$ だから）、$\log\lvert z-b_j\rvert$ の平均も $\log r$ である。$\log\lvert g\rvert$ は $\lvert z\rvert< R$ で調和なので、lem-nev-circle-mean の証明の第 1 段により平均は $\log\lvert g(0)\rvert$ である。よって
$$ \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\lvert f(re^{i\theta})\rvert\,d\theta=\log\lvert c_f\rvert+k\log r+\sum_{i=1}^p\log\frac{r}{\lvert a_i\rvert}-\sum_{j=1}^q\log\frac{r}{\lvert b_j\rvert} $$
である。円周 $\lvert z\rvert=r$ 上にある零点・極の項は $\log(r/\lvert z\rvert)=0$ なので、和は開円板 $0<\lvert z\rvert< r$ の零点・極にわたると考えてよい。$k>0$ なら $\nu_0(f,0)=k$、$k< 0$ なら $\nu_0(f,\infty)=-k$ なので、$k\log r$ と 2 つの和を合わせたものは $N_f(0,r)-N_f(\infty,r)$ に等しい。$\square$

$g:=f-a$ とおく。$f$ は定数でないので $g$ は恒等的に $0$ でない。thm-nev-jensen を $g$ に当てると
$$ \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\lvert g(re^{i\theta})\rvert\,d\theta=\log\lvert c_{f-a}\rvert+N_g(0,r)-N_g(\infty,r) $$
である。左辺の被積分関数に $\log u=\log^+u-\log^+(1/u)$ を当てると、左辺は $m_g(\infty,r)-m_f(a,r)$ に等しい（$\log^+(1/\lvert g\rvert)=\log^+(1/\lvert f-a\rvert)$ だから）。右辺では、$g$ の零点は $f$ の $a$ 点と重複度込みで一致するので $N_g(0,r)=N_f(a,r)$、$g$ の極は $f$ の極と位数込みで一致するので $N_g(\infty,r)=N_f(\infty,r)$ である。移項して
$$ m_g(\infty,r)+N_f(\infty,r)=m_f(a,r)+N_f(a,r)+\log\lvert c_{f-a}\rvert $$
を得る。
最後に $m_g(\infty,r)$ と $m_f(\infty,r)$ を比べる。(1) を $\lvert f\rvert\le\lvert f-a\rvert+\lvert a\rvert$ と $\lvert f-a\rvert\le\lvert f\rvert+\lvert a\rvert$ に当てると
$$ \bigl\lvert\log^+\lvert f(z)-a\rvert-\log^+\lvert f(z)\rvert\bigr\rvert\le\log^+\lvert a\rvert+\log2 $$
なので、円周上で平均して $\lvert m_g(\infty,r)-m_f(\infty,r)\rvert\le\log^+\lvert a\rvert+\log2$ である。$T_f(r)=m_f(\infty,r)+N_f(\infty,r)$ なので、前式と合わせて主張を得る。$\square$

極でない点 $z_0$ を 1 つとり、$a:=f(z_0)\in\mathbb{C}$ とおく。$f$ は定数でないので $f\ne a$（恒等的に）であり、$\nu_{z_0}(f,a)\ge1$ である。$z_0\ne0$ なら $r>\lvert z_0\rvert$ で $N_f(a,r)\ge\log(r/\lvert z_0\rvert)$、$z_0=0$ なら $N_f(a,r)\ge\log r$ である。$m_f(a,r)\ge0$ なので、thm-nev-first-main により $r>\lvert z_0\rvert$ で
$$ T_f(r)\ge N_f(a,r)+\log\lvert c_{f-a}\rvert-\log^+\lvert a\rvert-\log2\ge\log r-C_0 $$
である（$C_0$ は $r$ によらない定数）。$1\le r\le\lvert z_0\rvert$ では $T_f(r)\ge0$ なので、$C:=\max(C_0,\log\lvert z_0\rvert)$ とすれば $r\ge1$ の全体で主張が成り立つ。$\square$

$f$ が定数でないとして矛盾を導く。
3 つの値を有限にすること．$\infty$ が $a_1,a_2,a_3$ に含まれるなら、たとえば $a_3=\infty$ とし、$a_1,a_2$ と異なる $b\in\mathbb{C}$ をとって $g:=1/(f-b)$ とおく。$f$ は $b$ をとる点で $g$ が極、$f$ の極で $g$ が $0$ になるので、$g$ は $\mathbb{C}$ 上の有理型関数で定数でない。$f\ne\infty$ なので $g\ne0$、$f\ne a_i$ なので $g\ne1/(a_i-b)$（$i=1,2$）である。$0$、$1/(a_1-b)$、$1/(a_2-b)$ は互いに異なる複素数なので、$f$ を $g$ に替えて、$a_1,a_2,a_3\in\mathbb{C}$ としてよい。
第二主要定理を当てる．$f$ は $a_1,a_2,a_3$ をとらないので $N_f(a_j,r)=0$ である。(3) を $q=3$ で当てると、例外集合 $E$ を除いて
$$ T_f(r)\le C_1\log^+T_f(r)+C_2'+\eta(r)\log r $$
である。$T_f(r)\to\infty$（prop-nev-growth）なので、$r$ が大きければ $C_1\log^+T_f(r)+C_2'\le T_f(r)/4$、また $\eta(r)\le1/2$ となる。そのような $r\notin E$ では $\tfrac34T_f(r)\le\tfrac12\log r$、すなわち $T_f(r)\le\tfrac23\log r$ である。一方 prop-nev-growth により $T_f(r)\ge\log r-C$ なので、$\tfrac13\log r\le C$ となる。$r\notin E$ はいくらでも大きくとれるので、これは矛盾である。
整関数の場合．定数でない整関数 $f$ が 2 つの複素数 $a_1\ne a_2$ をとらなければ、$f$ は $\infty$ もとらないので、3 つの値 $a_1,a_2,\infty$ を除外することになり、前段に反する。$\square$

$\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ の有限部分集合 $A$ について $\sum_{a\in A}\delta_f(a)\le2$ を示せば十分である。実際そうなら、各 $n\ge1$ について $\delta_f(a)>1/n$ となる $a$ は $2n$ 個未満なので、$\delta_f(a)>0$ となる $a$ は高々可算個で、和は $2$ 以下である。
$A\subset\mathbb{C}$ の場合．$A=\{a_1,\dots,a_q\}$ とする。thm-nev-second-main を $T_f(r)$ で割ると、例外集合 $E$ を除いて
$$ \sum_{j=1}^q\frac{m_f(a_j,r)}{T_f(r)}\le2+\frac{C_1\log^+T_f(r)+C_2+\eta(r)\log r}{T_f(r)} $$
である。$r\to\infty$ で $T_f(r)\to\infty$ なので $\log^+T_f(r)/T_f(r)\to0$ であり、prop-nev-growth により $r$ が大きいとき $T_f(r)\ge\tfrac12\log r$ なので $\eta(r)\log r/T_f(r)\le2\eta(r)\to0$ である。よって右辺は $r\to\infty$ で $2$ に収束する。$\liminf$ を $r\notin E$ に制限すると値は小さくならず、また下極限の和は和の下極限以下なので
$$ \sum_{j=1}^q\delta_f(a_j)\le\sum_{j=1}^q\liminf_{r\to\infty,\ r\notin E}\frac{m_f(a_j,r)}{T_f(r)}\le\liminf_{r\to\infty,\ r\notin E}\sum_{j=1}^q\frac{m_f(a_j,r)}{T_f(r)}\le2 $$
である。
$\infty\in A$ の場合．$A$ に属さない $b\in\mathbb{C}$ をとり、$g:=1/(f-b)$ とおく。lem-nev-mobius により、$A$ の各点 $a$ に対応する $g$ の値 $a^\ast$（$a\in\mathbb{C}$ なら $1/(a-b)$、$a=\infty$ なら $0$）は互いに異なる複素数で、$\delta_g(a^\ast)=\delta_f(a)$ である。前段を $g$ と $\{a^\ast\mid a\in A\}$ に当てればよい。$\square$

要点：$g$ の極は $f$ の $b$ 点と一致し、$1/(g-c)$ は $1/(f-a)$ の 1 次式なので、近接関数の差は有界である。