射影空間のBottの公式

前提知識: 複素射影空間, 層コホモロジー, Dolbeaultコホモロジー, Euler完全列, Serre双対性

定義と計算の対象

射影空間上の微分形式は、直線束を掛けてひねると、大域切断が現れたり、高次コホモロジーが消えたりする。どの次数に群が残るかは、形式の次数とひねりの符号によって決まる。このすべての場合を計算するのが、射影空間の Bott の公式である。位相的な Bott周期性定理 とは異なり、ここでは正則ベクトル束のコホモロジーを扱う。
$V$ を次元 $n+1$ の複素ベクトル空間とし、$n\ge1$ とする。$X=\mathbb P(V)$ は $V$ の一次元部分空間をパラメータ化する複素射影空間である。$\mathcal O(-1)$ は、点 $[\ell]$ のファイバーが直線 $\ell\subset V$ となる tautological 束とし、$\mathcal O(1)$ はその双対とする。整数 $k$ に対する $\mathcal O(k)$ はそのテンソル冪で、負の指数では双対を取る。この規約では一次斉次多項式が $\mathcal O(1)$ の大域切断となる。

以下の群は解析的な正則束の層コホモロジーとして計算する。$p$ は束の外積次数、$q$ はコホモロジーの次数、$k$ はひねりであり、三つは別の役割を持つ。例えば $\Omega_X^0(k)=\mathcal O(k)$ は直線束の場合に戻るが、$p>0$ では直線束の答えをそのまま使うことはできない。
答えを表すため、斉次多項式を係数に持つ形式の空間を定める。$W$ を有限次元複素ベクトル空間とし、
$$ C_{r,t}(W)=\Lambda^rW\otimes\operatorname{Sym}^{t-r}W $$
と置く。対称冪の次数が負なら零とする。$r< 0$ や $r>\dim W$ の場合も零である。$W=V^*$ のとき、座標 $z_0,\ldots,z_n$ を選べば、これは係数の多項式次数が $t-r$ の $r$ 形式の空間である。形式の次数を含めた全重みが $t$ になる。
Euler ベクトル場 $R=\sum_i z_i\partial/\partial z_i$ による収縮を $\gamma=\iota_R$ と書く。これは
$$ \gamma\colon C_{r,t}(V^*)\longrightarrow C_{r-1,t}(V^*) $$
を与え、外積次数を一つ減らし、多項式次数を一つ増やす。$\gamma^2=0$ である。一般の $W$ にも同じ線形代数的構成を用い、
$$ Z_{r,t}(W)=\ker\bigl(\gamma\colon C_{r,t}(W)\to C_{r-1,t}(W)\bigr) $$
と書く。これは Koszul サイクルの空間であり、任意の多項式係数形式の空間全体とは異なる。

定理からまず分かるのは、正のひねりでは高次群がすべて消え、負のひねりでは最高次以外が消えるという対称性である。しかし正のひねりを入れれば必ず切断ができるわけではない。$0< k\le p$ では全群が零になる。零のひねりだけは $q=p$ の対角上に一つずつ群が残るので、正のひねりの結論を $k=0$ へ連続的に外挿することもできない。

必要な直線束の計算

射影空間の Fubini–Study計量 は Kähler 計量であり、$\mathcal O(1)$ は正の直線束である。Euler 列の行列式を取ると標準束は
$$ K_X=\Omega_X^n\cong\det(V^*)\otimes\mathcal O(-n-1) $$
となる。$\det(V^*)$ は固定ベクトル空間をファイバーとする自明な直線束である。従って $m\ge-n$ なら
$$ \mathcal O(m)\cong K_X\otimes\det(V)\otimes\mathcal O(m+n+1) $$
であり、最後のひねりは正である。小平の消滅定理 から
$$ H^q(X,\mathcal O(m))=0\qquad(q>0,\ m\ge-n) $$
を得る。ここで必要な高次消滅はこの範囲だけである。小平消滅の証明自体は同記事に譲り、以下ではこの具体的な正線束への適用を使う。
また
$$ H^0(X,\mathcal O(m))\cong \begin{cases} \operatorname{Sym}^mV^*&m\ge0,\\ 0&m< 0 \end{cases} $$
である。解析的に確認するには、切断を $V\setminus\{0\}$ 上へ引き戻す。tautological な枠で表した係数は $F(\lambda z)=\lambda^mF(z)$ を満たす正則関数となり、逆にこの斉次関数は各アフィン座標で $\mathcal O(m)$ の切断を与える。$\dim V=n+1\ge2$ なので Hartogsの拡張定理 により原点へ延長できる。原点での収束 Taylor 展開へ斉次性を入れると、残る項は次数 $m$ のものだけである。$m\ge0$ なら斉次多項式、$m< 0$ なら該当する次数がなく零となる。延長の一意性により、この対応は逆同士である。
特に $1\le r\le n$ の $\mathcal O(-r)$ は、零次を含むすべてのコホモロジーが零である。一方、$\mathcal O$ は $H^0=\mathbb C$、高次零であり、この違いを零ひねりの計算で使う。代数的な直線束の全整数の計算は 射影空間上の直線束のコホモロジー で扱われる。ここでは解析的な群に必要な範囲を、上記の正線束の消滅と斉次関数から直接確認した。

Euler 完全列の外冪

余接束の Euler 完全列は
$$ 0\longrightarrow\Omega_X^1\longrightarrow V^*\otimes\mathcal O(-1)\xrightarrow{\tau}\mathcal O \longrightarrow0 $$
である。写像 $\tau$ は点 $[z]$ で、線形形式と直線上のベクトルを評価する写像である。これを外積の上へ収縮として延ばすことで、次の短完全列を得る。

この列を $r=1,2,\ldots,p$ と組み合わせれば、$\Omega_X^p(k)$ を直線束の有限和で計算できる。重要なのは、中項のコホモロジーだけでなく、零次群の間の写像も知ることである。群の次元だけを並べても、長完全列の境界写像が零か全射かは決まらない。次の Koszul 計算が、その写像を具体的に制御する。

斉次 Koszul 複体の完全性

多項式係数形式の外微分を $d$ とすると、$d$ は係数の次数を一つ下げ、外積次数を一つ上げるので、全重み $t$ を保つ。$\gamma$ と $d$ は逆向きの写像である。例えば一次形式では $\gamma(dz_i)=z_i$、$d(z_i)=dz_i$ であり、一般の形式では収縮・外微分の次数付き Leibniz 則で計算する。

$t=r\ge1$ の場合、$C_{r,r}$ の係数は定数なので $d\alpha=0$ である。さらに $\gamma\alpha=0$ なら恒等式から $r\alpha=0$、従って $\alpha=0$ となる。$t< r$ なら元の空間が零であるから
$$ Z_{r,t}(W)=0\qquad(0< t\le r) $$
が分かる。一方、$\dim W\ge r+1$、$t>r$ なら $Z_{r,t}(W)\ne0$ である。例えば独立な座標 $z_0,\ldots,z_r$ を用いて
$$ \alpha=\gamma\bigl(z_0^{t-r-1}dz_0\wedge\cdots\wedge dz_r\bigr) $$
とすればよい。$\gamma^2=0$ からサイクルであり、$dz_0\wedge\cdots\wedge dz_{r-1}$ の係数は $(-1)^r z_0^{t-r-1}z_r$ で非零となる。$r=0$ の場合も $\gamma(z_0^{t-1}dz_0)=z_0^t\ne0$ である。

正と零のひねりの証明

正のひねりでは多項式の全重み $k$ で割れることが零次写像の全射性を与えた。零のひねりではその割算ができず、しかも $\mathcal O$ の定数切断が消えない。この二つの事実が、$k=0$ だけ対角上に群が残るという違いに対応する。

双線形双対と負のひねり

サイクル空間の双対

Serre 双対性では複素線形双対を取る。そのため、Hermitian 内積からの反線形同一視を用いず、サイクルの双線形の対を準備する。

負のひねりの証明

小さな次元で使う

次元を実際に数えるには

$k>0$ では Koszul 完全性から短完全列 $0\to Z_{r,k}\to C_{r,k}\to Z_{r-1,k}\to0$ が得られる。$Z_{0,k}=\operatorname{Sym}^kV^*$ を基点として次元を帰納すれば
$$ \dim Z_{p,k}(V^*) =\sum_{j=0}^p(-1)^{p-j}\binom{n+1}{j}\binom{n+k-j}{n} $$
となる。ここでは $k-j< 0$ の対称冪の次元を零とする。各項は外積の次元と斉次多項式の個数の積であり、上の等式は短完全列の次元の差を繰り返したものである。負の枝は同じ次元の双対空間なので、$p$ を $n-p$、$k$ を $-k$ に置き換えて数えられる。

仮定と境界の場合

零ひねりでは $H^p(X,\Omega_X^p)\cong\mathbb C$ が残る。例えば $\mathbb P^2$ の $H^1(\Omega_X^1)$ は零ではないので、正のひねりの高次消滅を $k=0$ にまで延長する主張は偽である。Euler ホモトピーでも $k=0$ の割算はできず、零ひねりの証明では別に定数切断を基点とした。
また $n=0$ は別に確認する。$\mathbb P(V)$ が一点なら、すべての $k$ で $\mathcal O(k)$ は一次元のファイバーを持ち、$H^0\cong\mathbb C$ である。従って $n\ge1$ で得た「$k< 0$ なら零次群が零」という含意を一点へ移すことはできない。次元零の群は、この一点の計算で別に指定する。

最後の行は、任意の標数におけるすべてのコホモロジー公式を否定するものではない。本記事の複素数上の証明で使った割算を、標数の条件を確認せず移してはいけないという区別である。$\mathcal O(1)$ を直線の tautological 束と呼ぶ逆の規約を採る文献と比較する場合にも、ひねりの符号を先に合わせる必要がある。
この計算は、束の完全列によって未知のコホモロジーを既知の直線束へ帰着させる例になっている。曲率による高次消滅、Euler 列の代数的な写像、Serre の双線形双対がそれぞれ別の役割を担う。三つを組み合わせることで、個々の消滅だけでなく、消えない群の具体的な表示まで得られる。

関連項目

• 前提: 複素射影空間, 層コホモロジー, Dolbeaultコホモロジー, Euler完全列
• 証明の基礎: 小平の消滅定理, Serre双対性, Hartogsの拡張定理, Fubini–Study計量
• 比較: 射影空間上の直線束のコホモロジー, Koszul複体, Bott周期性定理