円周の回転
概要
円周の回転（circle rotation）とは、円周 $\mathbb{T}=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ を一定の量 $\alpha$ だけずらす写像 $R_\alpha(x)=x+\alpha\pmod 1$ で、最も基本的な力学系の一つである。$\alpha$ が有理数 $p/q$ ならすべての点が周期 $q$ で元に戻るが、$\alpha$ が無理数（無理回転）ならどの軌道も稠密で、Lebesgue 測度がただ 1 つの不変確率測度になり、連続関数の時間平均は出発点について一様に空間平均へ収束する。無理回転はエルゴード的だが混合的ではない。円周の向きを保つ同相写像には Poincaré の回転数が定まり、回転数は向きを保つ同相写像による位相共役で変わらず、有理数であることと周期点をもつことが同値である。
前提知識: 単位円周, 同相写像, Lebesgue測度, 力学系
円周の回転（circle rotation）は、円周を一定の角だけ回す写像である。円周を $\mathbb{T}:=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ と表すと、実数 $\alpha$ について $R_\alpha(x)=x+\alpha\pmod 1$ と書ける。回転角 $2\pi\alpha$ の $\alpha$ が無理数のとき 無理回転（irrational rotation）という。
回転は最も単純な力学系の一つだが、$\alpha$ が有理数か無理数かで振る舞いがまったく違う。$\alpha=p/q$ ならすべての点が $q$ 回で元に戻る。$\alpha$ が無理数なら、どの点の軌道も円周上に稠密に広がり、しかも偏りなく散らばる。この記事では無理回転について次を証明する。
- どの軌道も稠密である（極小性）。
- Lebesgue 測度が、回転で不変な唯一の確率測度である（一意エルゴード性）。とくにエルゴード的である。
- 連続関数の時間平均は、出発点について一様に空間平均へ収束する。
- エルゴード的だが、混合的ではない。
後半では、円周の向きを保つ同相写像に Poincaré の 回転数 を定義し、回転数が向きを保つ同相写像による位相共役で変わらないこと、回転数が有理数であることと周期点をもつことが同値であることを示す。これにより、回転 $R_\alpha$ と $R_\beta$ が、向きを保つか逆にする同相写像で位相共役になるのは $\beta\equiv\pm\alpha\pmod1$ のときに限ることが分かる。
定義
$\mathbb{T}=\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ は、実数を整数の差を無視して見たものである。$x\in\mathbb{R}$ の類も同じ文字 $x$ で書き、$[0,1)$ の代表で表すことが多い。2 点の距離を $d(x,y):=\min_{k\in\mathbb{Z}}\lvert x-y+k\rvert$ で定める。写像 $x\mapsto e^{2\pi ix}$ は $\mathbb{T}$ から 単位円周 への全単射で、距離 $d$ による位相と単位円周の位相を対応させる。
$\alpha\in\mathbb{R}$ について、$R_\alpha\colon\mathbb{T}\to\mathbb{T}$、$R_\alpha(x):=x+\alpha$ を 角 $\alpha$ の回転 という。単位円周の上では $z\mapsto e^{2\pi i\alpha}z$ である。$\alpha$ が無理数のとき、$R_\alpha$ を 無理回転 という。
$R_\alpha$ は $\alpha$ を $1$ を法として見たものだけで決まる。$d(R_\alpha x,R_\alpha y)=d(x,y)$ なので $R_\alpha$ は等長写像で、逆写像 $R_{-\alpha}$ をもつ同相写像である。$n$ 回の合成は $R_\alpha^n=R_{n\alpha}$ である。$\mathbb{T}$ 上の Lebesgue 測度 $\lambda$ を、$[0,1)$ 上の Lebesgue測度 を写したものとして定める。
力学系の言葉を用意する（力学系）。
$T\colon\mathbb{T}\to\mathbb{T}$ を連続写像とする。
- $x$ の 軌道 は $\{T^nx\mid n\ge0\}$ である。$T^qx=x$ となる $q\ge1$ があるとき $x$ を 周期点 といい、最小の $q$ を周期という。
- $T$ が 極小 であるとは、すべての $x$ の軌道が $\mathbb{T}$ で稠密であることをいう。
- $\mathbb{T}$ の Borel 集合の上の確率測度 $\mu$ が $T$-不変 であるとは、すべての Borel 集合 $A$ で $\mu(T^{-1}A)=\mu(A)$ となることをいう。$T$-不変な確率測度がちょうど 1 つのとき、$T$ は 一意エルゴード的（uniquely ergodic）であるという。
$\mu$ が $T$-不変なら、有界な Borel 関数 $f$ について $\int f\circ T\,d\mu=\int f\,d\mu$ である（エルゴード定理 の補題「積分は変換で変わらない」）。
すべての $\alpha$ について、$\lambda$ は $R_\alpha$-不変である。
$0\le\alpha< 1$ としてよい。$[0,1)$ の Borel 集合 $A$ について、$R_\alpha^{-1}A$ は $A\cap[\alpha,1)$ を $-\alpha$ だけずらしたものと、$A\cap[0,\alpha)$ を $1-\alpha$ だけずらしたものの、互いに交わらない和である。Lebesgue 測度は平行移動で変わらないので、$\lambda(R_\alpha^{-1}A)=\lambda(A\cap[\alpha,1))+\lambda(A\cap[0,\alpha))=\lambda(A)$ である。$\square$
有理数の回転
$\alpha=p/q$（$p,q$ は互いに素な整数、$q\ge1$）とする。すべての点は周期 $q$ の周期点で、$x$ の軌道は $q$ 個の点 $x,x+\frac1q,\dots,x+\frac{q-1}q$ からなる。とくに $R_\alpha$ は極小でなく、一意エルゴード的でもない。
$R_\alpha^nx=x$ は $\frac{np}q\in\mathbb{Z}$、つまり $q\mid np$ と同値で、$p,q$ が互いに素なので $q\mid n$ と同値である。よって周期は $q$ である。$jp$（$j=0,\dots,q-1$）を $q$ で割った余りはすべて異なるので、軌道 $\{x+\frac{jp}q\}$ は $\{x+\frac jq\mid 0\le j< q\}$ に等しい。軌道は有限集合なので、$q\ge1$ のとき稠密でない。また $\mu_x:=\frac1q\sum_{j=0}^{q-1}\delta_{x+j/q}$（$\delta_y$ は $y$ に置いた点の質量）は $R_\alpha$-不変で、$x$ を変えると異なる不変測度が得られ、$\lambda$ とも異なる。$\square$
左：α=2/5 の回転で点 0 の軌道は 5 点 0, 2/5, 4/5, 1/5, 3/5 を巡る。右：α=(√5−1)/2 の無理回転で点 0 の軌道の最初の 40 点。点は重ならず、円周に散らばっていく
無理回転の極小性
$\alpha$ が無理数なら、$R_\alpha$ は周期点をもたず、すべての点の軌道は $\mathbb{T}$ で稠密である。
要点：鳩の巣原理 により、軌道の中に距離が $\frac1N$ 以下の 2 点がある。その差の回転を繰り返すと、間隔 $\frac1N$ 以下で円周を一周する。
詳しい証明を開く
$R_\alpha^nx=x$ は $n\alpha\in\mathbb{Z}$ と同値で、$\alpha$ が無理数なら $n\ge1$ では成り立たないので、周期点はない。とくに軌道の点 $x+n\alpha$（$n\ge0$）はすべて異なる。
$N\ge1$ をとる。円周を長さ $\frac1N$ の $N$ 個の弧 $[\frac iN,\frac{i+1}N)$ に分けると、$N+1$ 個の点 $x+k\alpha$（$0\le k\le N$）のうち 2 つ $x+k\alpha$、$x+l\alpha$（$k< l$）が同じ弧に入る。$m:=l-k\ge1$ とおくと $\delta:=d(m\alpha,0)$ は $0< \delta\le\frac1N$ を満たす（$0$ でないのは $m\alpha\notin\mathbb{Z}$ だから）。$m\alpha$ に最も近い整数との差を $\beta$ とすると $\lvert\beta\rvert=\delta$ で、$R_\alpha^{jm}x=x+j\beta$（$j\ge0$）である。$j=0,1,\dots,\lceil1/\delta\rceil$ の点 $x+j\beta$ は、間隔 $\delta$ で円周を一周するので、円周のどの点からも距離 $\delta\le\frac1N$ 以内に軌道の点がある。$N$ は任意なので、軌道は稠密である。$\square$
閉集合 $F$ が $R_\alpha(F)\subset F$ を満たし空でなければ、$F$ は自分の点の軌道を含むので、thm-cr-minimal により $F=\mathbb{T}$ である。無理回転には、空集合と全体以外に閉じた不変集合がない。
稠密性は、無理数の倍数の小数部分が $[0,1]$ で稠密であるという事実の言い換えでもある（Diophantus近似 の定理「Kronecker の定理（1 次元）」）。
一意エルゴード性
$\alpha$ が無理数なら、$R_\alpha$-不変な Borel 確率測度は $\lambda$ だけである。
要点：不変測度 $\mu$ の Fourier 係数 $\int e^{-2\pi ikx}\,d\mu$ は、$k\ne0$ では $e^{2\pi ik\alpha}$ 倍しても変わらないので $0$ である。よって三角多項式の積分が $\lambda$ と一致し、三角多項式で連続関数を近似し、連続関数で閉集合の指示関数を近似して $\mu=\lambda$ を得る。
詳しい証明を開く
$\lambda$ が不変であることは prop-cr-lebesgue である。$\mu$ を $R_\alpha$-不変な Borel 確率測度とし、$e_k(x):=e^{2\pi ikx}$（$k\in\mathbb{Z}$）とおく。
段 1（Fourier 係数）． $e_k\circ R_\alpha=e^{2\pi ik\alpha}e_k$ なので、不変性から $\int e_k\,d\mu=\int e_k\circ R_\alpha\,d\mu=e^{2\pi ik\alpha}\int e_k\,d\mu$ である（実部と虚部に分けて使う）。$k\ne0$ なら $k\alpha$ は整数でないので $e^{2\pi ik\alpha}\ne1$ で、$\int e_k\,d\mu=0=\int e_k\,d\lambda$ である。$k=0$ ではどちらも $1$ である。線形性により、すべての三角多項式 $P=\sum_{\lvert k\rvert\le K}c_ke_k$ で $\int P\,d\mu=\int P\,d\lambda$ となる。
段 2（連続関数）． $f\colon\mathbb{T}\to\mathbb{C}$ が連続なら、$g(\theta):=f(\theta/2\pi)$ は $2\pi$ 周期の連続関数で、Fejérの定理 の定理「Fejér の定理」の 2 により、その Fejér 平均（三角多項式）が $g$ に一様収束する。変数を戻すと、三角多項式 $P_N$ で $\sup\lvert f-P_N\rvert\to0$ となるものがある。$\mu,\lambda$ は確率測度なので $\lvert\int f\,d\mu-\int P_N\,d\mu\rvert\le\sup\lvert f-P_N\rvert$ で、$\lambda$ でも同じだから、$\int f\,d\mu=\int f\,d\lambda$ である。
段 3（Borel 集合）． 閉集合 $F$ について $f_j(x):=\max\{0,1-j\,d(x,F)\}$ とおくと、$f_j$ は連続で $0\le f_j\le1$、$j\to\infty$ で各点で $\mathbf{1}_F$ に近づく（$F$ が閉なので $x\notin F$ なら $d(x,F)>0$）。有界収束定理により $\mu(F)=\lim\int f_j\,d\mu=\lim\int f_j\,d\lambda=\lambda(F)$ である。閉集合の全体は共通部分で閉じていて Borel 集合全体を生成するので、Dynkinのπ-λ定理 により $\mu=\lambda$ が Borel 集合全体で成り立つ。$\square$
一意エルゴード性からエルゴード性が出る。エルゴード性の定義は エルゴード定理 の定義「不変集合とエルゴード性」で、$R_\alpha^{-1}A=A$ を満たす Borel 集合 $A$ の測度が $0$ か $1$ であることをいう。
$\alpha$ が無理数なら、$R_\alpha$ は $\lambda$ に関してエルゴード的である。
$R_\alpha^{-1}A=A$、$0<\lambda(A)< 1$ となる Borel 集合 $A$ があったとする。$\nu(B):=\lambda(B\cap A)/\lambda(A)$ は Borel 確率測度で、$\nu(R_\alpha^{-1}B)=\lambda(R_\alpha^{-1}B\cap R_\alpha^{-1}A)/\lambda(A)=\lambda(R_\alpha^{-1}(B\cap A))/\lambda(A)=\nu(B)$ なので $R_\alpha$-不変である。$\nu(\mathbb{T}\setminus A)=0\ne\lambda(\mathbb{T}\setminus A)$ なので $\nu\ne\lambda$ となり、thm-cr-unique に反する。$\square$
エルゴード定理 の命題「無理数回転と 2 倍写像のエルゴード性」は、不変集合の指示関数の Fourier 係数を直接調べる別の証明を与えている。
時間平均の一様収束
$f\colon\mathbb{T}\to\mathbb{C}$ について、時間平均を $A_Nf(x):=\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}f(x+n\alpha)$ と書く。Birkhoff の個別エルゴード定理（エルゴード定理）は、可積分な $f$ について、ほとんどすべての $x$ で $A_Nf(x)\to\int f\,d\lambda$ となることを述べる。無理回転では、連続な $f$ について「ほとんどすべての $x$」を「すべての $x$ で一様に」に強められる。
$\alpha$ が無理数で $f\colon\mathbb{T}\to\mathbb{C}$ が連続なら、$N\to\infty$ で
$$
\sup_{x\in\mathbb{T}}\Bigl\lvert\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}f(x+n\alpha)-\int_{\mathbb{T}}f\,d\lambda\Bigr\rvert\to0
$$
である。
要点：$e_k$（$k\ne0$）では等比数列の和が $x$ によらず押さえられる。三角多項式で $f$ を一様に近似する。
詳しい証明を開く
$k\ne0$ とし $z:=e^{2\pi ik\alpha}$ とおくと、$z\ne1$、$\lvert z\rvert=1$ で、$A_Ne_k(x)=e_k(x)\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}z^n=e_k(x)\frac{z^N-1}{N(z-1)}$ なので $\sup_x\lvert A_Ne_k(x)\rvert\le\frac{2}{N\lvert z-1\rvert}\to0$ である。$\int e_k\,d\lambda=0$ で、$k=0$ では $A_Ne_0=1=\int e_0\,d\lambda$ である。線形性により、三角多項式 $P$ について $\sup_x\lvert A_NP(x)-\int P\,d\lambda\rvert\to0$ である。
$\varepsilon>0$ とし、prf-cr-unique の段 2 のように三角多項式 $P$ で $\sup\lvert f-P\rvert< \varepsilon/3$ となるものをとる。$\lvert A_Nf(x)-A_NP(x)\rvert\le\sup\lvert f-P\rvert$、$\lvert\int P\,d\lambda-\int f\,d\lambda\rvert\le\sup\lvert f-P\rvert$ なので、$N$ を大きくとって $\sup_x\lvert A_NP(x)-\int P\,d\lambda\rvert< \varepsilon/3$ とすれば、すべての $x$ で $\lvert A_Nf(x)-\int f\,d\lambda\rvert< \varepsilon$ である。$\square$
$\alpha$ が無理数とし、$J\subset\mathbb{T}$ を長さ $\ell$ の弧（$[0,1)$ の区間を写したもの）とする。$x+n\alpha$（$0\le n< N$）のうち $J$ に入るものの割合は、$N\to\infty$ で $x$ について一様に $\ell$ に近づく。
$\varepsilon>0$ とする。弧の端の近くで 1 次式につなぐと、連続関数 $0\le g\le\mathbf{1}_J\le h\le1$ で $\int h\,d\lambda-\int g\,d\lambda< \varepsilon$、$\ell-\varepsilon< \int g\,d\lambda$、$\int h\,d\lambda< \ell+\varepsilon$ となるものがとれる（$\ell=0$ や $\ell=1$ でも同様）。割合は $A_N\mathbf{1}_J(x)$ で、$A_Ng(x)\le A_N\mathbf{1}_J(x)\le A_Nh(x)$ である。thm-cr-uniform により、$N$ が大きければすべての $x$ で $A_Ng(x)>\int g\,d\lambda-\varepsilon>\ell-2\varepsilon$、$A_Nh(x)< \ell+2\varepsilon$ となる。$\square$
$x=0$ の場合が、Weyl の一様分布定理「$(n\alpha)$ は 1 を法として一様分布する」である（一様分布(mod 1) の定理「1 次式の列の一様分布」）。cor-cr-arcs は、出発点 $x$ について一様であることまで含む。同じ議論の確率論の側からの扱いは Dur19 Example 6.2.5・Theorem 6.2.6 にある。
混合的でないこと
$\lambda$ を保つ写像 $T$ が 混合的（mixing）であるとは、すべての Borel 集合 $A,B$ について $\lambda(T^{-n}A\cap B)\to\lambda(A)\lambda(B)$（$n\to\infty$）となることをいう。十分先の時刻では、$A$ に入ることと $B$ にいることが独立に近づく、という性質である。
どの $\alpha$ についても、$R_\alpha$ は混合的でない。
$I:=[0,\frac12)$ とする。$t\in\mathbb{R}$ について、$d(t,0)$ は $t$ と最も近い整数との距離である。$R_\alpha^{-n}I=I-n\alpha$ で、長さ $\frac12$ の 2 つの弧を $d(n\alpha,0)\le\frac12$ だけずらした重なりの長さは $\frac12-d(n\alpha,0)$ なので、$\lambda(R_\alpha^{-n}I\cap I)=\frac12-d(n\alpha,0)$ である。混合的なら、これは $\lambda(I)^2=\frac14$ に近づき、十分大きいすべての $n$ で $d(n\alpha,0)>\frac18$ となるはずである。しかし $\alpha=p/q$ なら $q$ の倍数の $n$ で $d(n\alpha,0)=0$ であり、$\alpha$ が無理数なら、thm-cr-minimal により $0$ の軌道は稠密で点はすべて異なるので、弧 $(0,\frac18)$ に入る $n\alpha$ が無限個ある。どちらの場合も矛盾する。$\square$
こうして無理回転は、エルゴード的だが混合的でない例になる。$e_k$ は $f\mapsto f\circ R_\alpha$ の固有関数（固有値 $e^{2\pi ik\alpha}$）で、回転による時間発展は、これらの固有関数の振動の重ね合わせで、相関が減衰しない。
回転数
ここからは、回転に限らず、円周の向きを保つ同相写像を考える。
$\mathbb{R}$ から $\mathbb{R}$ への狭義単調増加な同相写像 $F$ で、すべての $x$ で $F(x+1)=F(x)+1$ を満たすものを考える。$F$ は $\mathbb{T}$ の同相写像 $f(x):=F(x)\pmod1$ を定める。この形の $f$ を 向きを保つ同相写像、$F$ を $f$ の 持ち上げ という。
$R_\alpha$ の持ち上げは $x\mapsto x+\alpha$ である。同じ $f$ の 2 つの持ち上げ $F,F'$ の差 $F'-F$ は整数に値をとる連続関数なので定数の整数である。持ち上げの存在は被覆写像 $\mathbb{R}\to\mathbb{T}$ による道の持ち上げの問題で（被覆空間）、ここでは持ち上げをもつものを定義として扱う。$F$ と $G$ が持ち上げなら、合成 $F\circ G$ と逆写像 $F^{-1}$ も持ち上げの条件を満たす。
$F$ を持ち上げとする。極限
$$
\rho(F):=\lim_{n\to\infty}\frac{F^n(x)-x}{n}
$$
は存在して $x$ によらず、すべての $n\ge1$ と $x$ で $\lvert F^n(x)-x-n\rho(F)\rvert< 1$ である。整数 $k$ について $\rho(F+k)=\rho(F)+k$ なので、$\rho(f):=\rho(F)\pmod1\in\mathbb{T}$ は $f$ だけで決まる。これを $f$ の 回転数 という。
要点：$g_n:=F^n-\mathrm{id}$ は周期 $1$ で、値の幅が $1$ 未満である。最小値 $m_n$ と最大値 $M_n$ は優加法的・劣加法的で、区間 $[\frac{m_n}n,\frac{M_n}n]$ はどの 2 つも交わり、長さが $0$ に近づくので、ただ 1 点を共有する。
詳しい証明を開く
段 1． $F^n$ も持ち上げなので $g_n(x+1)=g_n(x)$ である。$x< y< x+1$ なら $F^n(x)< F^n(y)< F^n(x+1)=F^n(x)+1$ なので、$F^n(y)-F^n(x)$ と $y-x$ はどちらも $(0,1)$ にあり、$\lvert g_n(y)-g_n(x)\rvert< 1$ である。周期性からすべての $x,y$ で $\lvert g_n(y)-g_n(x)\rvert< 1$ となる。$g_n$ は連続で周期的なので最小値 $m_n$ と最大値 $M_n$ をとり、$M_n-m_n< 1$ である。
段 2． $F^{n+l}(x)-x=g_n(F^l(x))+g_l(x)$ なので、$m_n+m_l\le m_{n+l}$、$M_{n+l}\le M_n+M_l$ である。とくに $k\ge1$ で $k\,m_n\le m_{kn}$、$M_{kn}\le k\,M_n$ となり、閉区間 $I_n:=[\frac{m_n}n,\frac{M_n}n]$ について $I_{kn}\subset I_n$ である。
段 3． どの $n,l$ でも $I_{nl}\subset I_n\cap I_l$ なので、$I_n$ と $I_l$ は交わる。どの 2 つも交わる閉区間の族では、左端の上限が右端の下限以下なので、すべての $I_n$ に共通な点がある。$I_n$ の長さは $\frac{M_n-m_n}n< \frac1n$ なので、共通な点はただ 1 つで、それを $\rho$ とする。$\frac{g_n(x)}n\in I_n$ なので $\lvert\frac{F^n(x)-x}n-\rho\rvert< \frac1n$、つまり $\lvert F^n(x)-x-n\rho\rvert< 1$ である。$n\to\infty$ で極限が $\rho$ になる。
段 4． $F$ は整数 $k$ について $F(x+k)=F(x)+k$ を満たすので、$(F+k)^n=F^n+nk$ であり、$\rho(F+k)=\rho(F)+k$ である。$\square$
- $R_\alpha$ の持ち上げ $x+\alpha$ では $F^n(x)-x=n\alpha$ なので、$\rho(R_\alpha)=\alpha\pmod1$ である。
- $0<\lvert\varepsilon\rvert< 1$ と $\alpha\in\mathbb{R}$ について $F(x):=x+\alpha+\frac{\varepsilon}{2\pi}\sin(2\pi x)$ とおくと、$F'(x)=1+\varepsilon\cos(2\pi x)\ge1-\lvert\varepsilon\rvert>0$ で $F(x+1)=F(x)+1$ なので、$F$ は持ち上げである。$\alpha=0$ なら $F(0)=0$ なので $F^n(0)=0$ で、$\rho=0$ である。このとき $f$ の不動点は $\sin(2\pi x)=0$ の解 $x=0,\frac12$ のちょうど 2 つである。
Arnold の族 x+α+(ε/2π)sin 2πx（ε=0.9）の回転数を α の関数として数値計算したグラフ。α とともに単調に増え、有理数の値 0、1/3、1/2、2/3 などで平らな段になる
図 2 のように、族 $F_\alpha=F_0+\alpha$ の回転数は $\alpha$ について連続かつ単調に増え、有理数の値ごとに、その値をとる $\alpha$ の全体は閉区間（1 点のこともある）になる（Mil91 Lemma 12.3、p. 12-1。この記事では証明しない。図は数値計算による）。
$f,h$ を向きを保つ同相写像とすると、$\rho(h^{-1}\circ f\circ h)=\rho(f)$ である。
$f,h$ の持ち上げを $F,H$ とすると、$G:=H^{-1}\circ F\circ H$ は $h^{-1}fh$ の持ち上げで、$G^n=H^{-1}\circ F^n\circ H$ である。$H-\mathrm{id}$ と $H^{-1}-\mathrm{id}$ は周期 $1$ の連続関数なので、ある $M$ で $\lvert H(x)-x\rvert\le M$、$\lvert H^{-1}(y)-y\rvert\le M$ である。
$$
G^n(x)-x=\bigl(H^{-1}(y_n)-y_n\bigr)+\bigl(F^n(H(x))-H(x)\bigr)+\bigl(H(x)-x\bigr),\qquad y_n:=F^n(H(x))
$$
と分けて $n$ で割ると、第 1 項と第 3 項は $\frac Mn$ 以下で、第 2 項は $\rho(F)$ に近づく。よって $\rho(G)=\rho(F)$ である。$\square$
$R_\alpha$ と $R_\beta$ について、次が成り立つ。
- 向きを保つ同相写像 $h$ で $h^{-1}R_\alpha h=R_\beta$ となるものがあるのは、$\beta\equiv\alpha\pmod1$ のときに限る。
- $s(x):=-x$ は $s^{-1}R_\alpha s=R_{-\alpha}$ を満たす。持ち上げが狭義単調減少で $H(x+1)=H(x)-1$ を満たす同相写像（向きを逆にする同相写像）$h$ で $h^{-1}R_\alpha h=R_\beta$ となるのは、$\beta\equiv-\alpha\pmod1$ のときに限る。
1 は thm-cr-conjugacy と ex-cr-arnold の (1) から $\beta\equiv\rho(R_\beta)=\rho(R_\alpha)\equiv\alpha$。2 の前半は $-(-x+\alpha)=x-\alpha$ による。後半は、$k:=h\circ s$ の持ち上げ $x\mapsto H(-x)$ が狭義単調増加で $H(-x-1)=H(-x)+1$ を満たし、$k^{-1}R_\alpha k=s^{-1}R_\beta s=R_{-\beta}$ なので、1 から $-\beta\equiv\alpha$ である。$\square$
向きを保つ同相写像 $f$ が周期点をもつことと、$\rho(f)$ が有理数（の類）であることは同値である。
要点：周期点があれば $F^q(x)=x+p$ から $\rho=\frac pq$。逆に $\rho=\frac pq$ なら $G:=F^q-p$ の回転数は $0$ で、$G$ が不動点をもたなければ $G-\mathrm{id}$ の符号が一定になり、回転数が $0$ でなくなる。
詳しい証明を開く
$F$ を持ち上げとする。$f^q(x)=x$（$q\ge1$）なら $F^q(x)=x+p$ となる整数 $p$ があり、$F^{qj}(x)=x+jp$ なので $\rho(F)=\lim_j\frac{jp}{qj}=\frac pq$ である。
逆に $\rho(F)=\frac pq$（$q\ge1$）とする。$\frac{F^{qn}(x)-x}{n}=q\frac{F^{qn}(x)-x}{qn}\to q\rho(F)$ なので $\rho(F^q)=q\rho(F)=p$ で、$G:=F^q-p$ は持ち上げで $\rho(G)=0$ である。$G(x)\ne x$ がすべての $x$ で成り立つと仮定する。$G-\mathrm{id}$ は周期 $1$ の連続関数で $0$ にならないので、中間値の定理により符号が一定で、最小値の絶対値 $\varepsilon>0$ をもつ。正の場合は $G(y)\ge y+\varepsilon$ がすべての $y$ で成り立つので $G^n(x)\ge x+n\varepsilon$、よって $\rho(G)\ge\varepsilon>0$ となり矛盾する。負の場合も同じである。したがって $G(x)=x$ となる $x$ があり、$F^q(x)=x+p$、つまり $f^q(x)=x$ である。$\square$
回転数が無理数の場合については、次の定理がある。
Denjoy の定理と thm-cr-conjugacy により、$C^2$ 級で回転数が無理数の向きを保つ微分同相写像は、向きを保つ同相写像による位相共役で分類すると、回転数だけで類が決まる。回転数が有理数の場合は、回転数だけでは決まらない（ex-cr-counterexamples の 5 行目）。
反例：条件を外すと崩れること
| 反例 | 満たす性質 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $R_{1/3}$ | $\lambda$ を保つ等長な同相写像 | 極小性・一意エルゴード性（$\alpha$ が無理数であることを外す） |
| 2 倍写像 $D(x)=2x\pmod1$ | $\lambda$ を保つ連続写像で、$\lambda$ に関してエルゴード的 | 一意エルゴード性と時間平均の一様収束（「エルゴード的なら一意エルゴード的」） |
| 無理回転 $R_\alpha$ | $\lambda$ に関してエルゴード的 | 混合性（「エルゴード的なら混合的」） |
| 無理回転と、$0$ の両側の軌道の指示関数 | 有界な Borel 関数 | すべての点で時間平均が空間平均に近づくこと（連続性を外す） |
| $x+\frac1{4\pi}\sin(2\pi x)$ が定める $f$ | 向きを保つ同相写像で、回転数は恒等写像と同じ $0$ | 恒等写像と位相共役であること（「回転数が等しいなら位相共役」） |
1 行目：prop-cr-rational により、軌道は 3 点で稠密でなく、$\frac13(\delta_0+\delta_{1/3}+\delta_{2/3})$ も不変測度である。
2 行目：$D$ が $\lambda$ を保ちエルゴード的であることは エルゴード定理 の命題「無理数回転と 2 倍写像のエルゴード性」とその前の計算による。$D(0)=0$ なので、Borel 集合 $A$ について $0\in D^{-1}A$ と $0\in A$ は同値で、点の質量 $\delta_0$ も $D$-不変である。よって一意エルゴード的でない。連続関数 $f(x)=\cos^2(\pi x)$ では、$x=0$ の時間平均はつねに $f(0)=1$ だが、$\int f\,d\lambda=\frac12$ なので、thm-cr-uniform の結論は成り立たない。
3 行目：cor-cr-ergodic と prop-cr-not-mixing による。
4 行目：$S:=\{n\alpha\pmod1\mid n\in\mathbb{Z}\}$ は可算集合なので $\lambda(S)=0$ で、$f:=\mathbf{1}_S$ の積分は $0$ である。$x=0$ では $x+n\alpha\in S$ がすべての $n$ で成り立つので、時間平均はつねに $1$ で、$0$ に近づかない（$x\notin S$ では時間平均はつねに $0$ である）。Birkhoff の定理が保証するのは「ほとんどすべての点」での収束で、thm-cr-uniform の連続性の仮定は外せない。
5 行目：ex-cr-arnold の (2) の $\alpha=0$、$\varepsilon=\frac12$ の場合で、回転数は $0$ である。恒等写像 $\mathrm{id}$ と位相共役なら $f=h\circ\mathrm{id}\circ h^{-1}=\mathrm{id}$ となるが、$f(\frac14)=\frac14+\frac1{4\pi}\ne\frac14$ なので $f\ne\mathrm{id}$ である。回転数が有理数のとき、回転数は位相共役類を決めない。
補足
- $\lambda$ は群 $\mathbb{T}$ の Haar測度 で、回転は群の元による平行移動である。回転で不変な Lebesgue 測度をすべての部分集合に広げられないことは、Vitali集合 の例「円周の回転と非可測集合」で回転を使って示される。
- 回転ではすべての点が自分の近くに戻ってくる。測度を保つ変換一般での「ほとんどすべての点が戻る」という主張との比較は、Poincaréの再帰定理 の例「回転では全部の点が戻る」にある。
関連項目
- 前提: 単位円周, 同相写像, Lebesgue測度, 力学系
- 比較: 一様分布(mod 1), Diophantus近似
- 関連: エルゴード定理, Poincaréの再帰定理, Vitali集合
- 発展: Haar測度
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
