良い対

$A\ne\emptyset$ なので、被約ホモロジーの対の長完全列（相対ホモロジーと長完全列 の記事の命題（被約ホモロジーの対の長完全列））
$$ \cdots\to\tilde H_n(A)\xrightarrow{i_*}\tilde H_n(X)\xrightarrow{j_*}H_n(X,A)\xrightarrow{\partial}\tilde H_{n-1}(A)\to\cdots\to\tilde H_0(X)\xrightarrow{j_*}H_0(X,A)\to0 $$
がある。$j\colon(X,\emptyset)\to(X,A)$ は恒等写像を対の写像とみたものである。$H_n(X,A)$ を次の同型の合成 $\Theta$ で $\tilde H_n(X/A)$ に取り替える。
$$ \Theta\colon H_n(X,A)\xrightarrow{\ q_*\ }H_n(X/A,*)\xleftarrow{\ k_*\ }\tilde H_n(X/A) $$
ここで $q_*$ は thm-good-pair-quotient の同型、$k\colon(X/A,\emptyset)\to(X/A,*)$ は恒等写像で、$k_*$ は対 $(X/A,*)$ の被約ホモロジーの長完全列の写像であり、一点の被約ホモロジーが $0$ なので同型である（相対ホモロジーと長完全列 の記事の系（基点を法とする相対ホモロジー））。$\Theta:=k_*^{-1}\circ q_*$ とおく。
$\delta:=\partial\circ\Theta^{-1}$ とおくと、同型で項を取り替えても完全性は保たれるので、列
$$ \tilde H_n(A)\xrightarrow{i_*}\tilde H_n(X)\xrightarrow{\Theta\circ j_*}\tilde H_n(X/A)\xrightarrow{\delta}\tilde H_{n-1}(A)\to\cdots $$
は完全である。残るのは $\Theta\circ j_*=q_*$、すなわち $k_*\circ q_*=q_*\circ j_*$ を被約ホモロジーの写像として確かめることである。対の写像の合成として
$$ q\circ j=k\circ q\colon(X,\emptyset)\to(X/A,*) $$
（どちらも $x\mapsto q(x)$）が成り立つ。$\tilde H_n(X)\to H_n(X,A)$ と $\tilde H_n(X/A)\to H_n(X/A,*)$ は、添加された鎖複体から相対鎖複体への鎖写像（次数 $-1$ の $\mathbb{Z}$ を $0$ に送る）が誘導する写像であり、この鎖写像は $q_\sharp$ と可換である。よって $q_*\circ j_*=k_*\circ q_*$ であり、主張が従う。

1：$S^{n-1}$ は $D^n$ の閉集合で、$V:=\{y\in D^n\mid\|y\|>\tfrac12\}$ はその開近傍である。$H(y,s):=(1-s)y+s\,y/\|y\|$ は $V$ の中にとどまり（$\|H(y,s)\|$ は $\|y\|$ と $1$ の間にある）、$S^{n-1}$ の点を動かさず、$s=1$ で $V$ を $S^{n-1}$ に写すので、強変位レトラクションである。
2：$M$ は Hausdorff なので $\{x\}$ は閉集合である。$x$ の開近傍 $W$ と同相写像 $\varphi\colon W\to\mathbb{R}^n$（$\varphi(x)=0$）をとる。開球 $B:=\varphi^{-1}(\{\|y\|<1\})$ は $x$ の近傍で、$\varphi^{-1}((1-s)\varphi(z))$ は $B$ を $x$ に縮める強変位レトラクションである。$U\subset\mathbb{R}^n$ の場合は $x$ を中心とする $U$ の中の開球をとればよい。

$Y:=\bigsqcup_\lambda X_\lambda$ とする。
段 1（$(Y,B)$ は良い対）．$B\ne\emptyset$ である。$Y\setminus B$ の各 $X_\lambda$ との交わり $X_\lambda\setminus\{x_\lambda\}$ は開集合なので、$B$ は $Y$ の閉集合である。各 $\lambda$ で $x_\lambda$ の近傍 $V_\lambda$ と強変位レトラクション $H_\lambda\colon V_\lambda\times[0,1]\to V_\lambda$ をとると、$V:=\bigsqcup_\lambda V_\lambda$ は $B$ の近傍であり、$V\times[0,1]=\bigsqcup_\lambda(V_\lambda\times[0,1])$ の上で $H_\lambda$ を並べた写像は連続で、$B$ を動かさずに $V$ を $B$ へ縮める。
段 2（直和への分解）．特異単体の像は弧状連結なので、どれか 1 つの $X_\lambda$ に入る。よって $C_\bullet(Y)=\bigoplus_\lambda C_\bullet(X_\lambda)$、$C_\bullet(B)=\bigoplus_\lambda C_\bullet(\{x_\lambda\})$ であり、相対鎖複体も $C_\bullet(Y,B)=\bigoplus_\lambda C_\bullet(X_\lambda,\{x_\lambda\})$ と分かれる。鎖複体の直和のホモロジーは直和なので、包含が誘導する写像
$$ \bigoplus_\lambda H_n(X_\lambda,\{x_\lambda\})\to H_n(Y,B) $$
は同型である。
段 3（まとめ）．$Y/B=\bigvee_\lambda X_\lambda$ であり、次の図式は可換である。
$$ \xymatrix{ \bigoplus_\lambda\tilde H_n(X_\lambda) \ar[r]^-{\oplus(\iota_\lambda)_*} \ar[d] & \tilde H_n(Y/B) \ar[d]\\ \bigoplus_\lambda H_n(X_\lambda,\{x_\lambda\}) \ar[r] & H_n(Y/B,*) } $$
左の縦の矢印は各成分の同型 $\tilde H_n(X_\lambda)\cong H_n(X_\lambda,\{x_\lambda\})$（相対ホモロジーと長完全列 の記事の系（基点を法とする相対ホモロジー））、右の縦の矢印も同じ系による同型である。下の横の矢印は段 2 の同型と、段 1 と thm-good-pair-quotient による同型 $q_*\colon H_n(Y,B)\to H_n(Y/B,*)$ の合成である。可換性は、$\iota_\lambda$ が対の写像 $(X_\lambda,\{x_\lambda\})\to(Y,B)\xrightarrow{q}(Y/B,*)$ の合成であることから従う（prf-good-pair-les の最後と同じく、添加された鎖複体から相対鎖複体への鎖写像は $q_\sharp$ と可換）。3 本の矢印が同型なので、上の横の矢印も同型である。

段 1（$H_1(X,A)$ は可算）．$X$ は凸なので可縮であり、被約ホモロジーの対の長完全列の部分 $\tilde H_1(X)\to H_1(X,A)\xrightarrow{\partial}\tilde H_0(A)\to\tilde H_0(X)$ の両端は $0$ である。よって $H_1(X,A)\cong\tilde H_0(A)$ である。$A$ の弧状連結成分は 1 点ずつ（$A$ の連結な部分集合は 1 点）なので、$\tilde H_0(A)$ は可算個の生成元をもつ自由アーベル群であり（被約ホモロジー の節「基本性質」）、可算である。
段 2（$X/A$ はハワイの耳飾り）．ハワイの耳飾り $\mathcal{E}=\bigcup_{k\ge1}C_k\subset\mathbb{R}^2$（$C_k$ は中心 $(1/k,0)$、半径 $1/k$ の円周。ハワイの耳飾り の記事の定義（ハワイの耳飾り））を使う。$g\colon[0,1]\to\mathcal{E}$ を、$[1/(k+1),1/k]$ の上では原点 $o$ から出て $C_k$ を一周して $o$ に戻る写像（区間の一次の径数）とし、$g(0)=o$ と定める。$C_k$ の点のノルムは $2/k$ 以下なので $g$ は $0$ でも連続であり、$g$ は $A$ の点をすべて $o$ に送り、それ以外では単射で、像は $\mathcal{E}$ 全体である。よって $g$ は連続な全単射 $\bar g\colon X/A\to\mathcal{E}$ を誘導する。$X/A$ はコンパクト（$[0,1]$ の像）、$\mathcal{E}$ は Hausdorff なので $\bar g$ は同相写像である。
段 3（$\tilde H_1(X/A)$ は非可算）．$r_k\colon\mathcal{E}\to C_k$ を、$C_k$ 上で恒等写像、ほかでは $o$ とする連続なレトラクションとする（ハワイの耳飾り の記事の補題（各円周はレトラクトである））。基本群の準同型 $\varphi=((r_k)_*)_k\colon\pi_1(\mathcal{E},o)\to\prod_k\pi_1(C_k,o)\cong\prod_k\mathbb{Z}$ は全射である（同じ記事の定理（無限積への全射））。Hurewicz 準同型 $h\colon\pi_1\to H_1$ は自然であり（Hurewiczの定理 の記事の命題（準同型性と自然性））、円周では同型である（同じ記事の定理（1 次元の Hurewicz の定理）。$\pi_1(C_k)\cong\mathbb{Z}$ は可換）。よって
$$ \Bigl(\prod_kh_{C_k}\Bigr)\circ\varphi=\psi\circ h_{\mathcal{E}},\qquad\psi:=((r_k)_*)_k\colon H_1(\mathcal{E})\to\prod_kH_1(C_k) $$
であり、左辺が全射なので $\psi$ も全射である。$\prod_kH_1(C_k)\cong\prod_k\mathbb{Z}$ は $\{0,1\}$ に値をとる列全体を含むので非可算であり、$H_1(\mathcal{E})=\tilde H_1(\mathcal{E})$ も非可算である。段 2 より $\tilde H_1(X/A)$ も非可算である。
段 4（良い対でないこと）．良い対なら thm-good-pair-quotient で $H_1(X,A)\cong\tilde H_1(X/A)$ となるので、段 1・3 と矛盾する。直接にも確かめられる：$A$ の近傍 $V$ は、ある $\varepsilon>0$ について $[0,\varepsilon)$ を含む。$A$ が $V$ の強変位レトラクトなら包含 $A\hookrightarrow V$ はホモトピー同値で $H_0$ の同型を誘導するが、$1/k,1/(k+1)<\varepsilon$ となる 2 点は $V$ の中では区間で結ばれ、$A$ の中では別の弧状連結成分にあるので、$H_0(A)\to H_0(V)$ は単射でない（相対ホモロジーと長完全列 の記事の命題（0 次の相対ホモロジー）の最後の主張）。