重積分

$f(x,y)=xy$ は $[0,1]\times[0,2]$ 上で連続なので積分可能であり（thm-mi-integrable）、各 $x$ で $y\mapsto xy$ も連続である。thm-mi-fubini により
$$ \iint_{[0,1]\times[0,2]}xy\,dx\,dy=\int_0^1\Bigl(\int_0^2xy\,dy\Bigr)dx=\int_0^12x\,dx=1 $$
である。順序を入れ替えて $\int_0^2\bigl(\int_0^1xy\,dx\bigr)dy=\int_0^2\frac y2\,dy=1$ としても同じ値になる。

$I=\int_0^1\bigl(\int_x^1e^{y^2}\,dy\bigr)dx$ をこのまま計算するには、内側で $e^{y^2}$ の原始関数が要る。順序を入れ替えると原始関数の要らない形になる。三角形 $T=\{(x,y)\mid0\le x\le1,\ x\le y\le1\}$ は $\{(x,y)\mid0\le y\le1,\ 0\le x\le y\}$ とも書けるので、thm-mi-region を 2 通りに使うと
$$ I=\iint_Te^{y^2}\,dx\,dy=\int_0^1\Bigl(\int_0^ye^{y^2}\,dx\Bigr)dy=\int_0^1ye^{y^2}\,dy=\Bigl[\frac{e^{y^2}}2\Bigr]_0^1=\frac{e-1}2 $$
である。

$r>0$ とし、閉円板 $K=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le r^2\}$ を考える。$K$ は $[-r,r]$ 上の 2 つのグラフ $y=\pm\sqrt{r^2-x^2}$ の間の集合なので、thm-mi-region（$n=1$）によりコンパクトな Jordan 可測集合である。閉球 $B=\{x^2+y^2+z^2\le r^2\}$ は $K$ 上のグラフ $z=\pm\sqrt{r^2-x^2-y^2}$ の間の集合なので、thm-mi-region を $n=2$（$V(B)$ を $K$ 上の積分に直す）と $n=1$（$K$ 上の積分を累次積分に直す）で使い、$\rho:=\sqrt{r^2-x^2}$ とおくと
$$ V(B)=\iint_K2\sqrt{r^2-x^2-y^2}\,dx\,dy=\int_{-r}^r\Bigl(\int_{-\rho}^{\rho}2\sqrt{\rho^2-y^2}\,dy\Bigr)dx=\int_{-r}^r\pi\bigl(r^2-x^2\bigr)\,dx=\frac43\pi r^3 $$
である。内側の積分は、$y=\rho\sin t$ と置換すると $\int_{-\rho}^\rho\sqrt{\rho^2-y^2}\,dy=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\rho^2\cos^2t\,dt=\frac\pi2\rho^2$ となる（置換積分）。

1 行目：$\frac{\partial}{\partial y}\frac{y}{x^2+y^2}=f(x,y)$ なので、$x\in(0,1]$ を固定すると $\int_0^1f(x,y)\,dy=\frac1{1+x^2}$、その積分は $\frac\pi4$ である。$f(y,x)=-f(x,y)$ なので逆の順序では $-\frac\pi4$ になる。$f(x,x/2)=\frac{12}{25x^2}$ は $x\to0$ で有界でないので、$f$ はどう延ばしても $[0,1]^2$ 上で積分可能でない（Fubiniの定理 の例「反例：原点の近くで絶対可積分でない関数」と同じ関数である）。
2 行目：$x=\frac jp$（$p$ は素数、$1\le j\le p-1$）と書ける $x$ は $p$ を 1 つに決めるので、縦線 $\{x\}\times[0,1]$ と $E$ の共通部分は高々 $p-1$ 点であり、それ以外の $x$ では空である。よって各 $x$ で $y\mapsto\chi_E(x,y)$ は有限個の点を除いて $0$ で、積分は $0$（prf-mi-region の詳細）、累次積分は $0$ である。順序を入れ替えても同じである。一方、$[0,1]^2$ のどの小直方体も、大きな素数 $p$ について格子点 $(\frac jp,\frac kp)$ を含み、また $E$ に属さない点（座標が無理数の点）も含む。よって任意の分割で $U(P,\chi_E)=1$、$L(P,\chi_E)=0$ であり、$\chi_E$ は積分可能でない。
3 行目：$f$ は線分 $\{\frac12\}\times[0,1]$ の外で $0$ なので、この線分（体積 $0$）の外で連続であり、thm-mi-integrable により積分可能で、どの分割でも $L(P,f)=0$ だから積分は $0$ である。しかし $x=\frac12$ では $y\mapsto f(\frac12,y)$ は有理数で $1$、無理数で $0$ の関数で、Riemann積分 の例「反例：至るところ不連続な関数」のとおり積分可能でない。thm-mi-fubini はこの $x$ で $g(\frac12)=0$、$h(\frac12)=1$ として成り立っている。
4・5 行目：5 行目の集合は $D=([0,1]\times\{0\})\cup\{(x,y)\mid x\in\mathbb{Q}\cap[0,1],\ 0\le y\le1\}$ である。$S$ も $D$ も、$[0,1]^2$ に含まれる内部をもつどの小直方体も、その集合の点（有理数の座標の点）とその集合の外の点（$x$ 座標が無理数で $y>0$ の点）を両方含む。$[0,1]^2$ を含む閉直方体の分割を $0,1$ が分点になるように細分すると（細分で上限和と下限和の差は増えない）、$[0,1]^2$ に含まれる小直方体の体積の和は $1$ で、その上で指示関数の上限は $1$、下限は $0$ である。よって上限和と下限和の差はつねに $1$ 以上で、指示関数は積分可能でない。境界はどちらも $[0,1]^2$ 全体である。