Drinfeld加群
概要
Drinfeld加群（Drinfeld module）とは、多項式環 $A=\mathbb{F}_q[T]$ から、$\tau c=c^q\tau$ で定まる Frobenius 捩れ多項式環 $K\{\tau\}$ への環準同型 $\phi$ で、定数項が構造写像の値に一致し $\phi_T$ が定数でないものである。$\phi_T$ の $\tau$ についての次数 $r$ を階数といい、$\phi_a$ の次数は $r\deg a$ となり、$a$ が標数イデアルに属さなければ $a$-トーション点は $q^{r\deg a}$ 個の $A/(a)$-加群をなす。基本例は $C_T=\theta+\tau$ で定まる階数 $1$ の Carlitz 加群であり、有限標数ではトーション点の個数が次数より少なくなりうる。トーション点や自己準同型の理論は楕円曲線の算術と平行する。
Drinfeld加群（Drinfeld module）とは、有限体上の関数体に対する加群構造をFrobenius作用素の捩れ多項式環へ写す環準同型である。Carlitz加群を階数1の基本例とし、トーション点や自己準同型が数体上の楕円曲線と平行する算術を与える。
本記事では係数環を $A=\mathbb F_q[T]$ に固定する。$K$ を $\mathbb F_q$-体、$\iota\colon A\to K$ を $\mathbb F_q$-代数準同型とし、$\theta:=\iota(T)$ と書く。一般の関数体に付随する定義には追加の幾何学的準備が必要なので扱わない。形式群との歴史的・類比的な関係は 形式群 に分ける。
定義
Frobenius捩れ多項式環 $K\{\tau\}$ とは、左 $K$-ベクトル空間として
$$
K\{\tau\}=\left\{c_0+c_1\tau+\cdots+c_n\tau^n\mid c_i\in K\right\}
$$
であり、乗法が
$$
\tau c=c^q\tau\qquad(c\in K)
$$
で定まる環である。$P=\sum c_i\tau^i$ は、加法多項式
$$
P(X)=\sum_i c_iX^{q^i}
$$
として $K$ の代数閉包に作用する。
$K$ 上の Drinfeld加群とは、$\mathbb F_q$-代数の準同型
$$
\phi:A\to K\{\tau\},
\qquad a\longmapsto\phi_a
$$
で次を満たすものである。
- $\phi_a$ の $\tau^0$ の係数は $\iota(a)$ である。
- $\phi_T$ は $K$ に属さない。
従って、ある $r\ge1$ と $g_1,\ldots,g_r\in K$（$g_r\ne0$）により
$$ \phi_T=\theta+g_1\tau+\cdots+g_r\tau^r $$
と書ける。この $r$ を $\phi$ の階数という。
構造準同型 $\iota\colon A\to K$ の核 $\mathfrak p=\ker\iota$ を $\phi$ の標数イデアルという。$\mathfrak p=(0)$ のとき $\phi$ は標数0または生成的標数（generic characteristic）をもつといい、$\mathfrak p\neq(0)$ のとき有限標数をもつという。これは体 $K$ 自身の標数が常に素数 $p$ であることとは別の概念である。
$0\ne a\in A$ とする。Drinfeld加群 $\phi$ の $a$-トーションを
$$
\phi[a]:=\{x\in \overline K\mid \phi_a(x)=0\}
$$
と定める。ここで $\overline K$ は $K$ の代数閉包であり、$\phi_a(x)$ は $\phi_a\in K\{\tau\}$ に対応する加法多項式の値である。
$\phi[a]$ は加法多項式 $\phi_a$ の核なので加法について閉じ、$A/(a)$-加群になる。$a$ が標数イデアルと互いに素な場合、後述の分離性により根の個数を次数から数えられる。標数イデアルに属する $a$ では $\iota(a)=0$ となり、非分離性が起こり得るため同じ結論を無条件には使えない。
二つのDrinfeld加群 $\phi,\psi\colon A\to K\{\tau\}$ のあいだの準同型とは、$u\in K\{\tau\}$ で
$$
u\phi_a=\psi_a u\qquad(a\in A)
$$
を満たすものをいう。$u\in K^\times$ であるとき同型という。自己準同型全体は合成と加法により環 $\operatorname{End}_K(\phi)$ をなす。$A$ 自身は $a\mapsto\phi_a$ によってこの自己準同型環へ作用する。
例と反例
$K=\mathbb F_q(\theta)$ とし、$\iota(T)=\theta$ とする。
$$
C_T=\theta+\tau
$$
で定まる階数1のDrinfeld加群 $C$ を Carlitz加群という。加法多項式としては
$$
C_T(X)=\theta X+X^q
$$
である。例えば $\tau\theta=\theta^q\tau$ に注意すると
$$
C_{T^2}=C_T\circ C_T
=\theta^2+(\theta+\theta^q)\tau+\tau^2.
$$
これは関数体の算術において乗法群に対応する階数1の基本例である。
Carlitz加群について
$$
C_T(X)=\theta X+X^q=X(\theta+X^{q-1})
$$
である。$\theta\neq0$ なら形式微分は $\theta$ であり、$C_T$ は分離的である。従って代数閉包中の $T$-トーション点はちょうど $q$ 個ある。非零トーション点は $x^{q-1}=-\theta$ を満たし、一つの非零解を $\lambda$ とすれば $\mathbb F_q^\times\lambda$ が非零解全体になる。
$\theta X+X^{q+1}$ を $T$ の作用として指定してもDrinfeld加群にはならない。実際、特性 $p$ で
$$
(X+Y)^{q+1}
=X^{q+1}+X^qY+XY^q+Y^{q+1}
$$
であり、交差項 $X^qY+XY^q$ が残る。したがって対応する写像は加法を保たず、$K\{\tau\}$ の元ではない。この反例は、「多項式で作用する」ことだけでは足りず、$q$ の冪を指数とする加法多項式である条件が必要なことを示す。
性質と証明
$P\in K\{\tau\}$ に対して
$$
P(x+y)=P(x)+P(y),
\qquad
P(\lambda x)=\lambda P(x)\qquad(\lambda\in\mathbb F_q)
$$
が成り立つ。また $P,Q\in K\{\tau\}$ に対して、捩れ多項式環の積 $PQ$ の作用は写像の合成 $P\circ Q$ に等しい。
特性 $p$ におけるFrobenius恒等式から
$$
(x+y)^{q^i}=x^{q^i}+y^{q^i}
$$
である。$\lambda\in\mathbb F_q$ なら $\lambda^{q^i}=\lambda$ なので、二つの加法性は各項ごとに従う。
積については、単項 $c\tau^i$ と $d\tau^j$ に対して
$$
(c\tau^i)(d\tau^j)=cd^{q^i}\tau^{i+j}
$$
であり、対応する写像の合成も
$$
c(dX^{q^j})^{q^i}=cd^{q^i}X^{q^{i+j}}
$$
となる。分配律により一般の $P,Q$ に対する主張が従う。$\blacksquare$
$P=\theta+g_1\tau+\cdots+g_r\tau^r\in K\{\tau\}$（$r\ge1$、$g_r\ne0$）を任意にとる。このとき
$$
\phi_T=P
$$
を満たす $K$ 上のDrinfeld加群 $\phi$ がただ一つ存在する。また $0\ne a\in A$ に対して
$$
\deg_\tau\phi_a=r\deg_Ta
$$
である。
$A=\mathbb F_q[T]$ は一元多項式環なので、$T\mapsto P$ はただ一つの $\mathbb F_q$-代数準同型
$$
\phi:\mathbb F_q[T]\to K\{\tau\}
$$
に延長する。$P$ の $\tau^0$ 係数は $\theta$ なので、$a(T)$ の $P$ への代入で得られる $\phi_a$ の $\tau^0$ 係数は $a(\theta)=\iota(a)$ である。また $r\ge1$ より $P\notin K$ である。
$a\in\mathbb F_q^\times$ なら $\phi_a=a$ なので次数公式は明らかである。以下 $n:=\deg_Ta\ge1$ とし、最高次係数を $c\in\mathbb F_q^\times$ とする。捩れ多項式の非零元に対して $\tau$-次数は積で加法的だから、$P^n$ の $\tau$-次数は $rn$ である。
$$
\phi_a=cP^n+\text{（$P$ の $n-1$ 次以下の項）}
$$
であり、後半の $\tau$-次数は $r(n-1)$ 以下なので最高次項は打ち消されない。よって $\deg_\tau\phi_a=rn$ である。$\blacksquare$
$\phi$ を階数 $r$ のDrinfeld加群とする。$0\ne a\in A$ が $\iota(a)\ne0$ を満たすなら、$\phi_a(X)$ は分離多項式で、
$$
\#\phi[a]=q^{r\deg_Ta}
$$
である。
prop-drinfeld-by-t から $\deg_\tau\phi_a=r\deg_Ta$ である。対応する通常の多項式 $\phi_a(X)$ の次数は従って $q^{r\deg_Ta}$ である。一方、
$$
\phi_a(X)=\iota(a)X+c_1X^q+\cdots+c_mX^{q^m}
$$
であるから、形式微分は
$$
\phi_a'(X)=\iota(a)\ne0
$$
となる。よって $\phi_a(X)$ は重根をもたず、分離閉包中に次数と同じ個数の異なる根をもつ。$\blacksquare$
$0\neq a\in A$ が $\iota(a)\neq0$ を満たすとする。このとき $\phi[a]$ は有限な $A/(a)$-加群であり、その元数は $|A/(a)|^r=q^{r\deg_Ta}$ である。
$x\in\phi[a]$ と $b\in A$ に対し $b\cdot x:=\phi_b(x)$ と定める。$\phi$ が環準同型であることから、これは $A$-加群作用である。また
$$
\phi_a(\phi_b(x))=\phi_{ab}(x)=\phi_b(\phi_a(x))=0
$$
なので作用は $\phi[a]$ を保つ。$a$ はすべての元を零化するから作用は $A/(a)$ を通る。有限性と元数は直前の分離性の命題から従い、$|A/(a)|=q^{\deg_Ta}$ なので所望の式を得る。$\square$
$\phi_T=\theta$ と置くだけでも $\mathbb F_q$-代数準同型 $A\to K\subset K\{\tau\}$ は得られるが、これは単なるスカラー作用である。定義の $\phi_T\notin K$ という条件を破り、正の階数をもたないため、Drinfeld加群とは呼ばない。
$a\in\ker\iota$ なら $\phi_a(X)$ の一次係数は0であるため、形式微分も0になる。従って prop-drinfeld-torsion-separable の仮定を外して根の個数を次数と等置してはいけない。この相違は、生成的標数と有限標数のDrinfeld加群のトーション論を分ける。
楕円曲線との類比と相違
Drinfeld加群では、環 $A$ が加法群 $\mathbb G_a$ 上に捩れ多項式を通じて作用する。$a$-トーション、Tate加群、自己準同型環、良い還元といった構成は楕円曲線の算術と平行する。ただしDrinfeld加群の基礎となる代数群は一次元加法群であり、作用を与える多項式は一般に非可換な環 $K\{\tau\}$ に属する。従って「Drinfeld加群は楕円曲線そのもの」であるという意味ではない。
階数 $r$ は、$a$ と標数イデアルが互いに素なときのトーションの大きさ $q^{r\deg a}$ を支配する。階数1のCarlitz加群は、関数体算術において乗法群に相当する最初の例として働く。
Drinfeld加群とCarlitz加群の定義、および関数体の算術との関係は BP20 §2.2–2.3に記述されている。
同型と係数の変化
準同型 $u:\phi\to\psi$ は、各 $a\in A$ に対して次の図式を可換にする加法多項式である。
$$
\xymatrix{
\overline K \ar[r]^{\phi_a} \ar[d]_u & \overline K \ar[d]^u \\
\overline K \ar[r]_{\psi_a} & \overline K
}
$$
可換性の等式は $u\circ\phi_a=\psi_a\circ u$ である。上段と下段は同じ加法群を用いるが、その $A$ の作用がそれぞれ $\phi,\psi$ である。この区別を含めて、準同型は二つの作用の間の写像となる。
捩れ多項式を通常の多項式のように交換してはいけない。例えば $K=\mathbb F_q(\theta)$ では $\tau\theta=\theta^q\tau$ であり、$\theta^q\ne\theta$ だから $\tau\theta\ne\theta\tau$ である。Carlitz加群の $T^2$ の式に現れる $\theta+\theta^q$ は、この非可換性を反映している。通常の二項展開で $(\theta+\tau)^2$ を $\theta^2+2\theta\tau+\tau^2$ と計算すると、誤った作用を得る。
しかし $\mathbb F_q$ の元は $K\{\tau\}$ の中心に属する。$c\in\mathbb F_q$ なら $c^q=c$ であり、$\tau c=c\tau$ だからである。これにより、$T$ の像として一つの捩れ多項式を指定したとき、$\mathbb F_q[T]$ の各多項式をその像へ代入することは矛盾なく定まる。非可換環への多項式の代入でも、係数と代入する元が可換であることを確認すればよい。
$u\in K^\times$ とし、$\phi_T=\theta+\sum_{i=1}^r g_i\tau^i$ とする。$u\phi_a=\psi_a u$ をすべての $a\in A$ で満たす $\psi$ は
$$
\psi_T=\theta+\sum_{i=1}^r g_i u^{1-q^i}\tau^i
$$
で与えられる。特にスカラー同型は階数と標数イデアルを保つ。
$\psi_T=u\phi_Tu^{-1}$ と置くと、$\tau^i u^{-1}=u^{-q^i}\tau^i$ より表示した係数公式を得る。$T$ についての共役関係は加法と積と $\mathbb F_q$ 係数の作用を保つので、すべての多項式 $a(T)$ に対して同じ関係が成り立つ。逆に $a=T$ の関係から $\psi_T$ はこの式以外にない。最高係数は非零のスカラー倍なので階数は変わらず、定数係数も $a(\theta)$ のままだから標数イデアルを保つ。$\square$
例えば階数1の $\phi_T=\theta+g\tau$ をCarlitzの係数1へ直すには、$u^{q-1}=g$ が必要となる。代数閉包ではこの方程式は解をもつが、基礎体 $K$ では解をもつとは限らない。したがって「階数1の加群は代数閉包上で同じ標数のCarlitz型へ直る」ことと「$K$ 上で同型である」ことは違う。係数の変換は、この区別を具体的な冪方程式へ翻訳する。
準同型の確認は $T$ で足りる
$u\in K\{\tau\}$ に対して $u\phi_a=\psi_a u$ がすべての $a\in A$ で成り立つための必要十分条件は、$u\phi_T=\psi_Tu$ である。
必要性は $a=T$ と置けばよい。十分性は帰納法による。$u\phi_T^n=\psi_T^nu$ が成り立つとき、右から $\phi_T$ を掛けて $u\phi_T^{n+1}=\psi_T^nu\phi_T=\psi_T^{n+1}u$ を得る。$n=0$ は恒等式である。$u$ は $\mathbb F_q$ のスカラーと可換なので、各冪の関係に $a$ の係数を掛けて足せば $u\phi_a=\psi_a u$ となる。$\square$
準同型の式は、加法群への作用と両立することを表している。例えば $x\in\phi[a]$ なら $\psi_a(u(x))=u(\phi_a(x))=0$ なので、$u$ は $\phi[a]$ から $\psi[a]$ への写像を誘導する。この等式は捩れ環の積と加法多項式の合成が一致することを使う。単に通常の多項式の積として式を読んでは、トーションの保存の理由を得られない。
有限標数の具体的な反例
有限標数では、トーション点の個数に一次係数の消滅が影響する。$\iota(T)=0$ とし、$\phi_T=\tau$ と置くと、定義を満たす階数1のDrinfeld加群になる。対応する多項式は $X^q$ である。その次数は $q$ だが、代数閉包での根は $0$ だけであり、重複度が $q$ である。したがって $\#\phi[T]=1$ となる。階数も $\tau$-次数も失われていないのに、根の数を次数で数える結論だけが失敗する。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $\phi_T\notin K$ | $\phi_T=\theta$ | 正の階数をもつDrinfeld加群であること |
| $q$ 加法多項式による作用 | $\theta X+X^{q+1}$ | 加法の保存 |
| $\iota(a)\ne0$ | $\theta=0,\phi_T=\tau,a=T$ | 根の個数 $q^{r\deg a}$ |
| スカラーが基礎体に存在する | $u^{q-1}=g$ が $K$ に解をもたない階数1の作用 | $K$ 上で係数1へ正規化できること |
最後の行を具体化するには $q=3,K=\mathbb F_3(\theta),g=\theta$ と取ればよい。$u^2=\theta$ は $K$ に解をもたない。実際、$u=f(\theta)/h(\theta)$ と既約分数で書けるなら $f^2=\theta h^2$ であり、素因子 $\theta$ の指数が左辺では偶数、右辺では奇数になって矛盾する。代数閉包で同型になっても、$K$ 上の同型にはこの障害が残る。
体の拡大と点の集合
体を $K\subset L$ と拡大しても、同じ係数の $\phi_T$ は $L\{\tau\}$ の元として読めるため、同じ階数のDrinfeld加群を与える。ここでは完全性を仮定する必要はない。係数のFrobeniusが環準同型であることだけで捩れ多項式の積を定義できる。ただし、$L$ に含まれるトーション点が増えることはある。定義でトーションを代数閉包中に取ったのは、基礎体に根がすべてあることを仮定せず、分離多項式の次数から根の全体を数えるためである。
Carlitz加群の $T$-トーションであれば、非零点が $x^{q-1}=-\theta$ を満たす。これらの点を基礎体へ加える拡大が、作用から得られる算術の最初の例になる。どの点が基礎体に属するか、どの拡大で全トーションが現れるか、自己準同型がどれだけあるかは、その後の算術的研究の問いである。ここで証明したのは、加法多項式の作用、階数の次数公式、分離性による点の個数、そして同型と準同型の係数条件である。
関連項目
参考文献
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