二等辺三角形の底角定理

$A(0,0)$、$B(5,0)$、$C(3,4)$ とする。$AB=5$、$AC=\sqrt{3^2+4^2}=5$ で、$AB=AC$ の二等辺三角形である。$BC=\sqrt{(5-3)^2+4^2}=2\sqrt5$ である。

• $B$ の角：$\overrightarrow{BA}=(-5,0)$、$\overrightarrow{BC}=(-2,4)$ で、$\cos B=\dfrac{10}{5\cdot2\sqrt5}=\dfrac1{\sqrt5}$。
• $C$ の角：$\overrightarrow{CA}=(-3,-4)$、$\overrightarrow{CB}=(2,-4)$ で、$\cos C=\dfrac{-6+16}{5\cdot2\sqrt5}=\dfrac1{\sqrt5}$。
  $\cos B=\cos C$ なので $B=C$（約 $63.43^\circ$）である。残りの角は $\cos A=\dfrac{15}{25}=\dfrac35$ から約 $53.13^\circ$ で、和は $53.13^\circ+2\times63.43^\circ\approx180^\circ$ である。

1. $AB=AC$ で頂角 $A=100^\circ$ の三角形では、底角は等しいので $x$ とおくと、$100^\circ+2x=180^\circ$ から $x=40^\circ$ である。
2. $AB=AC$ で底角 $B=75^\circ$ なら、$C=75^\circ$ で、頂角は $180^\circ-150^\circ=30^\circ$ である。
   どちらも、底角が等しいことと、内角の和が $180^\circ$ であること（三角形の内角の和）を組み合わせた。

1. 三角形 $ABC$ で $\angle A=40^\circ$、$\angle B=70^\circ$、$AB=6$ とする。$\angle C=180^\circ-110^\circ=70^\circ=\angle B$ なので、thm-bat-converse により $AB=AC=6$ である。
2. 座標で確かめる。$B(0,0)$、$C(4,0)$ とし、$B$ と $C$ から $x$ 軸と $60^\circ$ をなす半直線を上向きに引く（$y=\sqrt3x$ と $y=-\sqrt3(x-4)$）。交点は $A(2,2\sqrt3)$ で、$AB=AC=\sqrt{4+12}=4$ である。3 辺がすべて $4$ になり、3 つの角がすべて $60^\circ$ の三角形は正三角形である（cor-bat-equilateral）。

ex-bat-start の $A(0,0)$、$B(5,0)$、$C(3,4)$ では、辺 $BC$ の中点は $M(4,2)$ である。$\overrightarrow{AM}=(4,2)$、$\overrightarrow{BC}=(-2,4)$ で、内積は $-8+8=0$ なので $AM\perp BC$ である。
頂角の二等分線の向きは、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ の向きの単位ベクトルの和 $(1,0)+\left(\dfrac35,\dfrac45\right)=\left(\dfrac85,\dfrac45\right)$ で、これは $\overrightarrow{AM}=(4,2)$ と同じ向き（$\dfrac25$ 倍）である。3 本の線が 1 本に重なっている。

円の中心を $O$、円の上の 2 点を $P$、$Q$ とすると、$OP=OQ$（半径）なので三角形 $OPQ$ は二等辺三角形で、$\angle OPQ=\angle OQP$ である。たとえば $O(0,0)$、$P(5,0)$、$Q(3,4)$（半径 $5$）は ex-bat-start の三角形そのもので、中心角 $\angle POQ\approx53.13^\circ$ に対して $\angle OPQ=\angle OQP\approx63.43^\circ$ である。
この事実は、円周角が中心角の半分であることの証明（円周角の定理（高校数学））や、直径に対する円周角が直角であることの証明（直径に対する円周角）で使われる。正五角形の対角線と黄金比の関係も、頂角 $36^\circ$・底角 $72^\circ$ の二等辺三角形を追いかけて示される（正五角形と黄金比）。

2 点 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$ の「長さ」を、碁盤の目の道を通る道のり $\lvert x_1-x_2\rvert+\lvert y_1-y_2\rvert$ で測ることにする（角は普通の角のまま）。$A(0,0)$、$B(2,0)$、$C(1,1)$ では、この長さで $AB=2+0=2$、$AC=1+1=2$ で、2 辺が等しい。
しかし角は、$\overrightarrow{BA}=(-2,0)$、$\overrightarrow{BC}=(-1,1)$ から $\cos B=\dfrac{2}{2\sqrt2}=\dfrac1{\sqrt2}$ で $B=45^\circ$、$\overrightarrow{CA}=(-1,-1)$、$\overrightarrow{CB}=(1,-1)$ から $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=0$ で $C=90^\circ$ である。底角は等しくない。
prf-bat-pappus は (i) しか使っていないので、この測り方では (i)（2 辺とその間の角による合同）が成り立っていないことも分かる。底角定理は、長さと角の測り方が (i) を満たすようにかみ合っていることに支えられている。

$AB=AC$、頂角 $A=100^\circ$ の二等辺三角形では、底角は $B=C=40^\circ$ である（ex-bat-start-use の (1)）。等しい辺 $AB$ の両端の角は $A=100^\circ$ と $B=40^\circ$ で、等しくない。等しいのは、等しい 2 辺 $AB$、$AC$ のそれぞれの「向かいの」角 $C$ と $B$ である。

凸四角形 $ABCD$ で $A(0,0)$、$B(2,0)$、$C(4,3)$、$D(0,2)$ とすると、$AB=AD=2$ である。等しい 2 辺 $AB$、$AD$ の、$A$ でない端の角を測ると
$$ \cos\angle ABC=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}}{\lvert\overrightarrow{BA}\rvert\,\lvert\overrightarrow{BC}\rvert}=\frac{-4}{2\sqrt{13}},\qquad \cos\angle ADC=\frac{\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DC}}{\lvert\overrightarrow{DA}\rvert\,\lvert\overrightarrow{DC}\rvert}=\frac{-2}{2\sqrt{17}} $$
で、$\angle ABC\approx123.69^\circ$、$\angle ADC\approx104.04^\circ$ と等しくない。三角形では、等しい 2 辺の残りの端どうしが 1 本の辺 $BC$ で直接結ばれているので、prf-bat-pappus の「裏返して重ねる」が使えた。四角形では、残りの端 $B$、$D$ の間に別の頂点 $C$ があり、$CB\ne CD$ なら折り返しても重ならない。