T1空間

距離空間 $(X,d)$ は $T_1$ 空間である。相異なる $x,y$ に対し $r:=d(x,y)>0$ とおくと、開球 $B(x,r)=\{z\in X\mid d(x,z)< r\}$ は $x$ を含み、$d(x,y)=r$ なので $y$ を含まない。より強く距離空間は Hausdorff 空間である（Hausdorff空間 の記事の例「距離空間の Hausdorff 性」）。たとえば実数直線 $\mathbb{R}$、Euclid 空間 $\mathbb{R}^n$ は $T_1$ である。

無限集合 $X$ に、空集合と補集合が有限な部分集合を開集合とする余有限位相を入れる。$x\neq y$ なら $X\setminus\{y\}$ は補集合 $\{y\}$ が有限なので開集合であり、$x$ を含み $y$ を含まない。よってこの空間は $T_1$ である。しかし空でない 2 つの開集合は、補集合がともに有限で $X$ が無限なので必ず交わり、この空間は Hausdorff 空間でない（余有限位相 の記事の命題「空でない開集合の交わり」）。
この空間は「$T_1$」を満たすが「$T_2$」を満たさず、含意「$T_1$ 空間は Hausdorff 空間である」を破る。さらに $X=\mathbb{N}$ のとき、点列 $x_n:=n$ は $\mathbb{N}$ のすべての点に収束するので、含意「$T_1$ 空間では収束する点列の極限は一意である」も破る（余有限位相 の記事の例「自然数上の余有限位相と点列」）。
余有限位相は、集合 $X$ 上の $T_1$ な位相のうちで最も粗いものである（余有限位相 の記事の命題「T1 位相の特徴づけ」）。すなわち $X$ 上の位相 $\mathcal O$ が $T_1$ であることと、$\mathcal O$ が余有限位相を含むことは同値である。

2 点集合 $S=\{0,1\}$ に開集合系 $\{\emptyset,\{1\},S\}$ を入れた空間を Sierpinski空間という。開集合 $\{1\}$ は $1$ を含み $0$ を含まないので、$S$ は $T_0$ 空間である。しかし $0$ を含む開集合は $S$ だけで、これは $1$ を含むので、$0$ を含み $1$ を含まない開集合は存在しない。よって $S$ は $T_1$ でない。この空間は「$T_0$」を満たすが「$T_1$」を満たさず、含意「$T_0$ 空間は $T_1$ 空間である」を破る。閉集合で言えば、$\{0\}=S\setminus\{1\}$ は閉集合であるが、$\{1\}$ は閉集合でなく、その閉包は $S$ である。

2 点以上をもつ集合 $X$ に密着位相（開集合は $\emptyset$ と $X$ だけ）を入れると、空でない開集合は $X$ だけなので、相異なる 2 点のどちらも他方を含まない開集合をもたない。よって $X$ は $T_0$ でも $T_1$ でもない（密着位相 の記事の命題「密着空間の分離と収束」）。一方、どの集合の離散位相も、1 点集合 $\{x\}$ が開集合なので $T_1$ である。

体 $k$ と $n\ge1$ について、$k^n$ に、多項式の集合 $S\subset k[x_1,\dots,x_n]$ の共通零点の集合 $V(S)$ を閉集合とする Zariski位相を入れる。点 $a=(a_1,\dots,a_n)$ は $V(\{x_1-a_1,\dots,x_n-a_n\})=\{a\}$ なので閉集合であり、後の prop-t1-space-characterizations により $k^n$ は $T_1$ 空間である。$k$ が無限体なら、$n=1$ の場合は余有限位相に一致するので Hausdorff でない（余有限位相 の記事の例「無限体上の直線の Zariski 位相」）。$k$ が有限体なら $k^n$ は有限集合で、すべての部分集合が有限個の点の和集合として閉なので離散位相になる。

可換環 $A$ の素イデアル全体 $\operatorname{Spec}A$ に Zariski 位相を入れる（アフィンスキーム の記事の定義「素スペクトルとZariski位相」）。点 $\mathfrak p$ の閉包は $V(\mathfrak p)=\{\mathfrak q\in\operatorname{Spec}A\mid\mathfrak q\supset\mathfrak p\}$ であり、$\mathfrak p$ が閉点であることと $\mathfrak p$ が極大イデアルであることは同値である（閉点 の記事の命題「スペクトルの閉点と極大イデアル」）。
たとえば $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ では、零イデアル $(0)$ は素イデアルであるが極大イデアルでないので、$\{(0)\}$ は閉集合でない。実際 $(0)$ の閉包は $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 全体であり、素数 $p$ について、$(p)$ を含み $(0)$ を含まない開集合は存在しない（開集合 $D(f)$ が $(p)$ を含めば $f\neq0$ なので $(0)\in D(f)$ である）。一方 $\operatorname{Spec}A$ はつねに $T_0$ 空間である（閉点 の記事の系「スキームの閉点」の証明）。よって $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ は「$T_0$」を満たすが「$T_1$」を満たさない。$\operatorname{Spec}A$ がいつ $T_1$ になるかは prop-t1-space-spec で決定する。

実数直線 $\mathbb{R}$ 上の同値関係 $\sim$ を、$x\sim y$ $:\Longleftrightarrow$ $x=y$ または $x,y\in(0,1)$ で定め、商空間 $Y:=\mathbb{R}/{\sim}$ と商写像 $q\colon\mathbb{R}\to Y$ を考える（商写像 の記事の定義「同値関係による商空間」）。$Y$ の点 $c:=q((0,1))$ について $q^{-1}(\{c\})=(0,1)$ は $\mathbb{R}$ の閉集合でないので、商位相の定義により $\{c\}$ は $Y$ の閉集合でない。よって後の prop-t1-space-characterizations により $Y$ は $T_1$ でない。$\mathbb{R}$ は $T_1$ なので、この例は含意「$T_1$ 空間の商空間は $T_1$ 空間である」を破る。$q$ は連続写像で全射なので、$T_1$ 性が連続写像による像で保たれないことも示している。

2 点集合 $X=\{a,b\}$ に密着位相を入れ、$A=\{b\}$ とする。$a$ の開近傍は $X$ だけで、これは $a$ と異なる $A$ の点 $b$ を含むので、$a$ は $A$ の集積点である。しかし $X$ は $A$ の点を 1 個しか含まない。この空間は $T_1$ を満たさず、prop-t1-space-accumulation の 1 の結論「集積点のどの開近傍も $A$ の点を無限個含む」を破る。さらに $A'=\{a\}$ であり、その閉包は $X$ なので、2 の結論「導集合は閉集合である」も破れている。