有限単純群
概要
有限単純群（finite simple group）とは、単位元だけの群でない有限群で、正規部分群が単位元だけの部分群と自分自身の 2 つしかないもののことであり、組成列の因子として有限群を組み立てる単位になる。分類定理により、有限単純群は素数位数の巡回群、5 次以上の交代群、Lie 型の 16 の族の群、26 個の散在型単純群のいずれかと同型である。可換でない有限単純群が指数 $m\geq2$ の部分群をもてば、剰余類への作用により交代群 $A_m$ に埋め込まれ、$m\geq5$ となる。これと Sylow の定理から、位数 60 の単純群は $A_5$ と同型であることが従う。
有限単純群は、有限群を正規部分群と剰余群に分けていったときに最後に残る「それ以上分解できない部分」である。組成列の理論により、どの有限群もこれらから組み立てられ、組み立てに使う有限単純群の並びは群ごとに決まる。この記事では、有限単純群を定義し、分類定理が挙げる 4 つの系列を説明したうえで、単純性が置換表現に与える強い制約を使って「位数 $60$ の単純群は $A_5$ と同型である」ことを完全に証明する。
定義
有限群 $G$ が単純群であるとき、すなわち $G\neq\{e\}$ であり、$G$ の正規部分群が $\{e\}$ と $G$ の 2 つだけであるとき、$G$ を有限単純群（finite simple group）という。
可換な有限単純群は素数位数の巡回群に限られる（単純群 の命題「可換な単純群の分類」）。可換でない有限単純群 $G$ では中心が自明で、交換子部分群が $G$ 全体に一致するので、$G$ は可解群でない（同記事の命題「可換でない単純群の中心と交換子部分群」）。有限単純群の研究の中心は、この可換でないものにある。
単純群からの準同型は単射か自明かのどちらかである（単純群 の命題「単純性の言い換え」）。とくに有限単純群 $G$ が集合に自明でなく作用すれば、$G$ はその集合の上の対称群に埋め込まれる。この記事の証明は、すべてこの事実から出発する。
分類定理と 4 つの系列
この記事では証明しない。言明は Sol01 p. 341 と DF04 §3.4（p. 104。巡回群・交代群を含めた 18 の無限族と 26 個の散在型単純群という数え方）にあり、同じ言明は 単純群 の定理「有限単純群の分類」にもある。完成の主張は 1980 年頃に出されたが、その後も準薄群（quasithin group）の場合に未完の部分が残り、その証明は Aschbacher と Smith が引き受けた（Sol01 p. 341）。証明は多数の論文にまたがり、たとえば奇数位数の場合の基礎である Feit–Thompsonの定理 の論文だけで 255 頁ある（Sol01 p. 330）。
1 と 2 が単純であることは 単純群 と 交代群 の記事で示されている。3 の Lie 型の群は、有限体 $\mathbb{F}_q$ の上の単純代数群・単純 Lie 環から作られる行列の群を中心で割ったものである。Chevalley群 の記事が構成と単純性を扱い、16 の族は次のように分かれる。
| 系列 | 族 | 代表例 |
|---|---|---|
| Chevalley 群（9 族） | $A_n(q)$ $(n\geq1)$、$B_n(q)$ $(n\geq2)$、$C_n(q)$ $(n\geq3)$、$D_n(q)$ $(n\geq4)$、$E_6(q)$、$E_7(q)$、$E_8(q)$、$F_4(q)$、$G_2(q)$ | $A_n(q)=\mathrm{PSL}_{n+1}(\mathbb{F}_q)$ |
| Steinberg の捩れ型（4 族） | ${}^2A_n(q^2)$ $(n\geq2)$、${}^2D_n(q^2)$ $(n\geq4)$、${}^2E_6(q^2)$、${}^3D_4(q^3)$ | ${}^2A_n(q^2)=\mathrm{PSU}_{n+1}(\mathbb{F}_{q^2})$ |
| Suzuki 群・Ree 群（3 族） | ${}^2B_2(2^{2m+1})$、${}^2G_2(3^{2m+1})$、${}^2F_4(2^{2m+1})$ | Suzuki 群 $\mathrm{Sz}(2^{2m+1})$ |
この表の族の構成と単純性は、この記事では証明しない。所在は次のとおりである。
- Chevalley 群：型の一覧と範囲（$B_n$ は $n\geq2$、$C_n$ は $n\geq3$、$D_n$ は $n\geq4$）は Che55 pp. 64–65、単純性は同 Théorème 3 とその系（p. 63）にある。型 $A_n$ の群が射影特殊線形群 $\mathrm{PSL}_{n+1}$ であることは Ste59 §6（p. 882）にある。
- Steinberg の捩れ型：位数 $2$ の対称性をもつ型が $A_n$、$D_n$ $(n\geq4)$、$E_6$ であることと、型 $D_4$ の位数 $3$ の対称性を使う構成があることは Ste59 pp. 875–876 にある。型 $A_1$ の Dynkin 図形は頂点が 1 つで自明でない対称性をもたないので、${}^2A_n$ は $n\geq2$ から始まる。${}^2A_n$ が射影特殊ユニタリ群であることは同 6.2（p. 882）にある。位数 $2$ の対称性による 3 族の単純性は、固定体 $\mathbb{F}_q$ が $5$ 元以上のとき同 8.1 Theorem（p. 884）に、${}^3D_4(q^3)$ の単純性は $\mathbb{F}_q$ が $4$ 元以上のとき同 §10（p. 887）にある。表のこの 2 つの系列の族と範囲の一覧は同 §12（p. 887）にもある。
- Suzuki 群・Ree 群：構成は Tit61 §1（pp. 65–66）、単純性は同 Théorème 1（p. 67）にある。この構成は、体の自己同型 $\sigma$ で $\sigma^2$ が Frobenius 写像 $t\mapsto t^p$（型 $B_2$・$F_4$ では $p=2$、型 $G_2$ では $p=3$）になるものを使う。有限体 $\mathbb{F}_{p^k}$ の自己同型群は Frobenius 写像が生成する位数 $k$ の巡回群なので、そのような $\sigma$ があるのは $k$ が奇数のときに限る。これが $q=p^{2m+1}$ の形の理由である。
$n$ の範囲は、階数の小さい場合に別の族と同じ群を与えるものを除くための制限である。たとえば型 $C_2$ と $B_2$ の Dynkin 図形は同じなので、$C_2(q)$ は $B_2(q)$ と同じ群である。ただし族の間の同型がすべて除かれるわけではなく、たとえば $A_1(4)\cong A_1(5)$ である（cor-fsg-psl2-a5）。
$q$ が小さい少数の場合には単純にならないものがあり、それらは除かれる。たとえば $A_1(2)=\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_2)\cong S_3$ と $A_1(3)=\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_3)\cong A_4$ は単純でない（単純群 の例「行列の群から得られる単純群」）。また ${}^2F_4(2)$ は Tits 群 ${}^2F_4(2)'$ を指数 $2$ の部分群として含み（ATLAS の頁「Exceptional group 2F4(2)', Tits group T」）、指数 $2$ の部分群は正規なので単純でない。一方 Tits 群は単純であり（Sol01 p. 337）、慣例上この族に含めて数え（ATLAS も Lie 型の例外群の一覧に置く）、散在型単純群には数えない（群論 の注意「有限単純群の分類の出典」）。捩れ型と Suzuki 群・Ree 群の構成の概略は Chevalley群 の注意「捩れ型の構成」にある。Suzuki 群は鈴木通夫（Michio Suzuki）が発見した群の族である（Sol01 p. 322）。
4 の 26 個は、5 個の Mathieu 群、4 個の Janko 群、3 個の Conway 群、3 個の Fischer 群と、$HS$、$McL$、$Suz$、$Ru$、$He$、$Ly$、$O'N$、$HN$、$Th$、Baby Monster $\mathbb{B}$、Monster $\mathbb{M}$ である（Sol01 p. 341）。それぞれの定義と単純性の証明の一部は 散在型単純群 にある。
$q$ を素数冪とする。$\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_q)$ の位数は $q(q^2-1)$ である。実際、第 1 列 $v$ は零でないベクトル（$q^2-1$ 通り）であり、$v$ を固定すると $w\mapsto\det(v\ w)$ は $\mathbb{F}_q^2$ 上の零でない線形形式なので、$\det(v\ w)=1$ となる第 2 列 $w$ はちょうど $q$ 個ある。中心はスカラー行列 $aI$（$a^2=1$）からなり、$q$ が奇数なら $\{\pm I\}$、$q$ が偶数なら $a^2-1=(a-1)^2$ なので $\{I\}$ である。したがって
$$
|\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_q)|=\frac{q(q^2-1)}{\gcd(2,q-1)}.
$$
$q=4,5,7,8,9,11$ では順に $60,60,168,504,360,660$ であり、$q\geq4$ ではこれらは単純群である（単純群 の例「行列の群から得られる単純群」。言明は DF04 §3.4、p. 104 にもあり、この記事では証明しない）。位数 $60$ の 2 つ $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_4)$ と $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_5)$ は、下の cor-fsg-psl2-a5 で $A_5$ と同型であることが分かる。
単純性と置換表現
有限群 $G$ の部分群 $H$ の指数を $m=[G:H]$ とすると、$G$ は左剰余類の集合 $G/H$ に $g\cdot aH:=gaH$ で作用し、準同型 $\rho\colon G\to\operatorname{Sym}(G/H)\cong S_m$ が得られる（群の作用）。$m\geq2$ なら $a\notin H$ について $a\cdot H=aH\neq H$ なので、この作用は自明でない。
$G$ を可換でない有限単純群とし、$H$ を指数 $m\geq2$ の部分群とする。このとき $G$ は交代群 $A_m$ のある部分群と同型である。とくに $|G|$ は $m!/2$ を割り切り、$m\geq5$ である。
上の $\rho\colon G\to S_m$ は自明でないので、$G$ の単純性から単射である（単純群 の命題「単純群の作用と位数の制約」の 1）。$K:=\rho(G)\cong G$ とおく。符号準同型 $\operatorname{sgn}\colon S_m\to\{\pm1\}$ を $K$ に制限した核 $K\cap A_m$ は $K$ の正規部分群で、準同型定理により指数は $|\operatorname{sgn}(K)|\in\{1,2\}$ である。指数が $2$ なら $K\cap A_m$ は $K$ の正規部分群で $\{e\}$ でも $K$ でもない（$|K\cap A_m|=|K|/2$ で、$|K|=2$ なら $K$ は可換になる）ので、$K\cong G$ の単純性に反する。よって $K\subset A_m$ であり、Lagrangeの定理により $|G|$ は $|A_m|=m!/2$ を割り切る。
$m\leq4$ とすると、$A_2=\{e\}$、$A_3\cong\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ は可換なので可換でない $G$ を含まない。$A_4$ の部分群の位数は $1,2,3,4,12$ のいずれかで（位数 $6$ の部分群はない。交代群 の命題「4 次の交代群における位数 6 の部分群の非存在」）、位数 $1,2,3$ の群は巡回群、位数 $4$ の群は巡回群か、すべての元の位数が $2$ 以下なので可換であり（有限群 の命題「すべての元の位数が 2 以下の群」）、位数 $12$ の部分群 $A_4$ 自身は単純でない（交代群 の例「Kleinの四元群と $A_4$ の正規部分群」）。よって $A_4$ は可換でない単純群と同型な部分群をもたず、$m\geq5$ である。$\square$
可換でない有限単純群の真部分群の指数は $5$ 以上である。
指数 $5$ の部分群があれば、$G$ は $A_5$ の部分群になる。位数が $60$ ならそれは $A_5$ 全体である。次の定理の証明は、指数 $5$ の部分群を Sylowの定理 と元の数え上げで見つけることにある。
位数 60 の単純群
位数 $60$ の単純群は $A_5$ と同型である。
$G$ を位数 $60$ の単純群とする。$60$ は素数でないので $G$ は可換でない（単純群 の命題「可換な単純群の分類」）。
段 1：指数 $5$ の部分群があれば結論が従う。 $H$ を指数 $5$ の部分群とすると、lem-fsg-embed-alternating により $G$ は $A_5$ の部分群 $K$ と同型であり、$|K|=60=|A_5|$ なので $K=A_5$ である。
段 2：Sylow $2$-部分群の個数。 $60=2^2\cdot3\cdot5$ である。Sylow $2$-部分群の個数 $n_2$ は $15$ の約数で奇数なので $n_2\in\{1,3,5,15\}$ である。$n_2=1$ なら唯一の Sylow $2$-部分群は位数 $4$ の正規部分群になり単純性に反する。$P$ を Sylow $2$-部分群とすると $n_2=[G:N_G(P)]$ であり、cor-fsg-index-five により $n_2\neq3$ である。$n_2=5$ なら $N_G(P)$ は指数 $5$ の部分群なので、段 1 により $G\cong A_5$ である。
段 3：$n_2=15$ の場合。 Sylow $5$-部分群の個数 $n_5$ は $12$ の約数で $5$ を法として $1$ なので $n_5\in\{1,6\}$ であり、単純性から $n_5=6$ である。位数 $5$ の相異なる部分群は単位元だけを共有するので、位数 $5$ の元はちょうど $6\cdot4=24$ 個ある。
相異なる Sylow $2$-部分群どうしがつねに単位元だけを共有するとすると、Sylow $2$-部分群に含まれる単位元以外の元は $15\cdot3=45$ 個ある。これらの位数は $2$ か $4$ で、位数 $5$ の元とは重ならないので、$45+24=69>59$ 個の単位元以外の元が必要になり矛盾する。よって相異なる Sylow $2$-部分群 $P,Q$ で $D:=P\cap Q\neq\{e\}$ となるものがある。$P\neq Q$ なので $|D|=2$ である。
位数 $4$ の群は、位数 $4$ の元があれば巡回群、なければすべての元の位数が $2$ 以下なので、いずれにせよ可換である（有限群 の命題「すべての元の位数が 2 以下の群」）。よって $P$ と $Q$ の元は $D$ の元と可換であり、$P\cup Q$ は中心化群 $M:=C_G(D)=\{g\in G\mid gd=dg\ (d\in D)\}$ に含まれる。$M=G$ なら $D$ は $G$ の中心 $Z(G)$ に含まれ、$Z(G)$ は $\{e\}$ でない正規部分群になるので、単純性から $Z(G)=G$ となって $G$ が可換になり矛盾する。よって $M\neq G$ である。$M\supset P$ から $4$ は $|M|$ を割り、$M\supset P\cup Q$、$P\neq Q$ から $|M|>4$ である。$60$ の約数で $4$ の倍数のものは $4,12,20,60$ なので $|M|\in\{12,20\}$、すなわち $[G:M]\in\{5,3\}$ である。cor-fsg-index-five により $[G:M]=5$ であり、段 1 により $G\cong A_5$ である。$\square$
段 3 の場合は、実際には起こらない（$A_5$ の Sylow $2$-部分群は $5$ 個ある）。証明では起こらないことを示す必要はなく、どの場合にも指数 $5$ の部分群が見つかることだけを使った。同じ定理と、段 3 の場合が起こらないことまで含めた証明は DF04 §4.5 Proposition 23（pp. 145–146）にある。
$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_4)\cong\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_5)\cong A_5$ である。
ex-fsg-psl2-orders により両者は位数 $60$ の単純群なので、thm-fsg-order-60 により $A_5$ と同型である。$\square$
$A_5$ が位数 $60$ 未満の可換でない単純群をもたないこと、すなわち $A_5$ が位数最小の可換でない単純群であることは、単純群 の節「5 次の交代群の単純性」の後の詳細で示されている。thm-fsg-order-60 と合わせると、位数 $60$ 以下の可換でない単純群は同型を除いて $A_5$ ただ 1 つである。
有限群の構成要素として
有限群 $G\neq\{e\}$ は組成列 $\{e\}=G_0\trianglelefteq G_1\trianglelefteq\cdots\trianglelefteq G_r=G$ をもち、組成因子 $G_i/G_{i-1}$ は有限単純群である。Jordan–Hölder の定理により、組成因子の並びは順序と同型を除いて組成列の選び方によらない（組成列 の定理「Jordan–Hölder の定理」）。有限群を調べることは、組成因子として現れる有限単純群を知ることと、それらから群を組み立てる方法（群の拡大）を知ることの 2 つに分かれる。分類定理は前者に答える。
組成因子がすべて素数位数の巡回群であることは、有限群が可解であることと同値である（組成列 の系「有限可解群の組成因子」）。したがって「ある種類の有限群はすべて可解である」という定理は、「その種類の群の組成因子に可換でない有限単純群は現れない」と言い換えられる。この形の代表的な定理が 2 つある。
- Burnsideのp^a q^b定理：位数の素因数が 2 種類以下の有限群は可解である。したがって可換でない有限単純群の位数は 3 種類以上の素数で割り切れる。
- Feit–Thompsonの定理：位数が奇数の有限群は可解である。したがって可換でない有限単純群の位数は偶数である。さらに位数は $4$ で割り切れる（同記事の系「位数は 4 で割り切れる」）。
分類定理が使われる例として、可換でない有限単純群 $N$ について外部自己同型群 $\operatorname{Aut}(N)/\operatorname{Inn}(N)$ は可解である、という Schreier 予想がある。この主張は正しいが、知られている証明は分類定理を経由するものだけである（Sol01 p. 320。この記事では証明しない）。
例と反例
正の整数の集合 $\mathbb{N}_{>0}$ の置換のうち、有限個の点しか動かさない偶置換全体を $A_\infty$ とする。$A_n$ を $n+1,n+2,\dots$ を固定する置換とみなすと、$A_5\subset A_6\subset\cdots$ であり、$A_\infty=\bigcup_{n\geq5}A_n$ である。$A_\infty$ は無限群で、単純群である。
実際、$N$ を $\{e\}$ でない $A_\infty$ の正規部分群とし、$\sigma\in N$、$\sigma\neq e$ をとる。$\sigma$ はある $A_n$（$n\geq5$）に属する。$m\geq n$ について $N\cap A_m$ は $A_m$ の正規部分群で $\sigma$ を含むので $\{e\}$ でなく、$A_m$ は単純（交代群 の定理「交代群の単純性」）だから $A_m\subset N$ である。よって $N\supset\bigcup_{m\geq n}A_m=A_\infty$ である。$A_\infty$ は無限群なので、thm-fsg-classification のどの系列の群とも同型でない。
lem-fsg-embed-alternating と thm-fsg-order-60 の仮定は次のように外せない。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 有限であること（thm-fsg-classification） | $A_\infty$（ex-fsg-infinite-alternating） | 4 つの系列のどれかと同型であること |
| 可換でないこと（lem-fsg-embed-alternating） | $G=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$、$H=\{0\}$、$m=2$ | $A_m$ の部分群と同型であること |
| 単純であること（lem-fsg-embed-alternating） | $G=S_3$、$H=\langle(1\,2)\rangle$、$m=3$ | $A_m$ の部分群と同型であること |
| 単純であること（thm-fsg-order-60） | $A_4\times\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$（位数 $60$） | $A_5$ と同型であること |
2 行目：$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は単純群だが可換であり、$A_2=\{e\}$ は位数 $2$ の群を含まない。3 行目：$S_3$ は可換でないが単純でなく（$A_3$ が正規部分群）、位数 $6$ は $|A_3|=3$ より大きいので $A_3$ の部分群と同型になりえない。剰余類への作用 $S_3\to S_3$ は単射だが、像は奇置換を含む。4 行目：$A_4\times\{0\}$ は指数 $5$ の正規部分群なので $A_4\times\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ は単純でなく、単純群 $A_5$ と同型でない。
学ぶ順の道筋
- 定義と基本：単純群（可換な単純群の分類、$A_5$ の単純性）、交代群（$A_n$ の単純性）、組成列（Jordan–Hölder の定理）。
- 位数による制約：Sylowの定理、群の作用、この記事の thm-fsg-order-60、Burnsideのp^a q^b定理、Feit–Thompsonの定理。
- 系列ごとの構成：特殊線形群・古典群、Chevalley群、有限簡約群（Lie 型の群の構造と表現）、散在型単純群。
- 全体像：群論 の定理「有限単純群の分類の言明」。
関連項目
- 前提: 単純群, Sylowの定理, 群の作用, 交代群
- 比較: 可解群, 組成列, Burnsideのp^a q^b定理
- 例: 交代群, 特殊線形群, Chevalley群, 散在型単純群
- 発展: Feit–Thompsonの定理, 有限簡約群, 群の拡大
参考文献
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