2曲線の交点を通る図形（束）

2 直線 $2x-y-1=0$、$x+y-5=0$ の交点と原点を通る直線を求める。
段 1（式をおく）。$f=2x-y-1$、$g=x+y-5$ として
$$ (2x-y-1)+k(x+y-5)=0 $$
を考える。2 直線の交点では $f=0$ かつ $g=0$ なので、$k$ がどんな値でも左辺は $0+k\cdot0=0$ になる。つまりこの式は、$k$ によらず交点を通る。
段 2（原点を通る条件）。$x=0$、$y=0$ を代入すると $-1+k\cdot(-5)=0$ なので、$k=-\dfrac15$ である。
段 3（整理）。$k=-\dfrac15$ を代入して両辺に $5$ を掛けると
$$ 5(2x-y-1)-(x+y-5)=10x-5y-5-x-y+5=9x-6y=0 $$
で、求める直線は $3x-2y=0$ である。
確かめ。2 直線を連立すると、2 式を足して $3x-6=0$、$x=2$、$y=3$ で、交点は $(2,3)$ である。$3\cdot2-2\cdot3=0$ なので、$3x-2y=0$ はたしかに $(2,3)$ と原点を通る。

円 $x^2+y^2-13=0$ と直線 $x-y-1=0$ の 2 つの交点と、原点を通る円を求める。
段 1（式をおく）。$f=x^2+y^2-13$、$g=x-y-1$ として $f+kg=0$、つまり
$$ x^2+y^2-13+k(x-y-1)=0 $$
を考える。ex-pen-hs-lines の段 1 と同じ理由で、この式は $k$ によらず 2 つの交点を通る。
段 2（原点を通る条件）。原点を代入すると $-13+k\cdot(-1)=0$ なので $k=-13$ である。
段 3（整理）。$x^2+y^2-13-13x+13y+13=0$、つまり
$$ x^2+y^2-13x+13y=0 $$
である。平方完成すると $\left(x-\dfrac{13}2\right)^2+\left(y+\dfrac{13}2\right)^2=\dfrac{169}2$ で、中心 $\left(\dfrac{13}2,-\dfrac{13}2\right)$、半径 $\dfrac{13}{\sqrt2}$ の円である。
確かめ。$y=x-1$ を円に代入すると $x^2+(x-1)^2=13$、$2x^2-2x-12=0$、$x^2-x-6=0$、$(x-3)(x+2)=0$ で、交点は $(3,2)$ と $(-2,-3)$ である。求めた円の左辺に代入すると、$(3,2)$ では $9+4-39+26=0$、$(-2,-3)$ では $4+9+26-39=0$ で、どちらも通る（図 1 の赤い円）。

1. $f=x$、$g=y$（$y$ 軸と $x$ 軸）。束の図形は $\lambda x+\mu y=0$ で、原点を通る直線がすべて現れる。たとえば $(\lambda,\mu)=(1,-1)$ で $y=x$、$(\lambda,\mu)=(2,1)$ で $y=-2x$ である。一方 $f+kg=0$、つまり $x+ky=0$ の形では、$k$ をどう選んでも $y$ の係数が $k$、$x$ の係数が $1$ なので、$x$ 軸 $y=0$（$x$ の係数が $0$）は現れない。$x$ 軸は $(\lambda,\mu)=(0,1)$、つまり $g=0$ 自身である。
2. $f=x^2+y^2-1$、$g=x$（単位円と $y$ 軸。交点は $(0,1)$、$(0,-1)$）。$f+kg=0$ は $x^2+y^2+kx-1=0$、平方完成して
   $$ \left(x+\frac k2\right)^2+y^2=\frac{k^2}4+1 $$
   である。右辺は正なので、どの $k$ でも中心 $\left(-\dfrac k2,0\right)$、半径 $\sqrt{\dfrac{k^2}4+1}$ の円である。$k=2$ なら中心 $(-1,0)$、半径 $\sqrt2$ の円 $x^2+y^2+2x-1=0$ で、$(0,1)$ を代入すると $0+1+0-1=0$ となり、たしかに通る。ここでも $y$ 軸 $x=0$ 自身は $f+kg=0$ の形には現れない。

ex-pen-hs-circle の円 $f=x^2+y^2-13$ と直線 $g=x-y-1$ で、「2 つの交点と点 $(1,0)$ を通る円」を $f+kg=0$ で求めようとする。$(1,0)$ を代入すると
$$ 1+0-13+k(1-0-1)=-12+k\cdot0=-12 $$
で、$k$ によらず $-12\ne0$ である。$k$ は存在しない。
理由は $g(1,0)=1-0-1=0$、つまり点 $(1,0)$ が直線 $x-y-1=0$ の上にあることである（thm-pen-basic の 3）。束の中で $(1,0)$ を通る図形は直線 $g=0$ 自身だけである。
実際、3 点 $(3,2)$、$(-2,-3)$、$(1,0)$ はすべて直線 $y=x-1$ の上にあるので、この 3 点を通る円はない（円と直線の共有点は多くて 2 個。円と直線の位置関係）。$f+kg=0$ で $k$ が見つからないことは、この事実を正しく反映している。

ex-pen-hs-lines の $f=2x-y-1$、$g=x+y-5$ で、交点 $(2,3)$ と点 $(4,1)$ を通る直線を求める。$g(4,1)=4+1-5=0$ なので、$f+kg=0$ では求まらない。実際 $f(4,1)+kg(4,1)=8-1-1+k\cdot0=6\ne0$ である。求める直線は $g=0$、つまり $x+y-5=0$ 自身である。
$\lambda f+\mu g=0$ の形なら、thm-pen-basic の 2 により $(\lambda,\mu)=(g(4,1),-f(4,1))=(0,-6)$ で、$-6(x+y-5)=0$ がきちんと出てくる。

1. 直線 $(k+1)x+(2k-1)y-3k=0$ が、$k$ の値にかかわらず通る点を求める。左辺を $k$ について整理すると
   $$ (x-y)+k(x+2y-3)=0 $$
   である。cor-pen-fixed により、求める点は $x-y=0$ と $x+2y-3=0$ の共通の点で、$x=y$ を代入して $3y=3$、点 $(1,1)$ である。確かめると、$(k+1)+(2k-1)-3k=0$ で、たしかに $k$ によらず成り立つ。
2. 円 $x^2+y^2-2kx+4ky-10+10k=0$ が $k$ によらず通る点を求める。整理すると $(x^2+y^2-10)+k(-2x+4y+10)=0$ である。共通の点は $x^2+y^2=10$ と $x-2y-5=0$ の交点で、$x=2y+5$ を代入すると $(2y+5)^2+y^2=10$、$5y^2+20y+15=0$、$y^2+4y+3=0$、$y=-1,-3$ である。点は $(3,-1)$ と $(-1,-3)$ の 2 つである。たとえば $(3,-1)$ では $9+1-6k-4k-10+10k=0$ で、たしかに $k$ によらない。

ex-pen-hs-lines の $f=2x-y-1$、$g=x+y-5$（交点 $(2,3)$）で、$(2,3)$ を通るいくつかの直線を束の形で書く。
(1) $y$ 軸に平行な直線 $x=2$。$\lambda f+\mu g$ の $y$ の係数 $-\lambda+\mu$ を $0$ にすればよいので $\lambda=\mu=1$ で、$f+g=3x-6$ である。$3x-6=0$ は $x=2$ である。
(2) $x$ 軸に平行な直線 $y=3$。$x$ の係数 $2\lambda+\mu$ を $0$ にすればよいので $(\lambda,\mu)=(1,-2)$ で、$f-2g=2x-y-1-2x-2y+10=-3y+9$ である。$-3y+9=0$ は $y=3$ である。
(3) 直線 $x+y-5=0$ は $(\lambda,\mu)=(0,1)$ で、$f+kg=0$ の形には入らない（ex-pen-leak-lines）。

ex-pen-hs-circle の $A(3,2)$、$B(-2,-3)$ を直径の両端とする円は、中心が中点 $\left(\dfrac12,-\dfrac12\right)$、半径の 2 乗が $\dfrac{AB^2}4=\dfrac{5^2+5^2}4=\dfrac{25}2$ なので
$$ \left(x-\frac12\right)^2+\left(y+\frac12\right)^2=\frac{25}2,\qquad\text{展開して}\qquad x^2+y^2-x+y-12=0 $$
である。prop-pen-circle-line により、これは $f+kg$ の形のはずである。$x$ の係数を比べると $f+kg=x^2+y^2+kx-ky-13-k$ の $x$ の係数は $k$ なので $k=-1$ で、このとき $f-g=x^2+y^2-x+y-12$ となり、たしかに一致する（図 1 の青い円）。

円 $f=x^2+y^2-2=0$ と直線 $g=x+y-2=0$ は、点 $(1,1)$ で接する（中心 $(0,0)$ と直線の距離は $\dfrac{|-2|}{\sqrt2}=\sqrt2$ で、半径 $\sqrt2$ に等しい）。$f+kg=0$ は
$$ x^2+y^2+kx+ky-2-2k=0,\qquad\text{平方完成して}\qquad \left(x+\frac k2\right)^2+\left(y+\frac k2\right)^2=\frac{k^2}2+2k+2=\frac{(k+2)^2}2 $$
である。$k\ne-2$ なら中心 $\left(-\dfrac k2,-\dfrac k2\right)$、半径 $\dfrac{|k+2|}{\sqrt2}$ の円で、$(1,1)$ を通る（$1+1+k+k-2-2k=0$）。中心から $(1,1)$ へのベクトルは $\left(1+\dfrac k2\right)(1,1)$ で、直線 $x+y-2=0$ の法線ベクトル $(1,1)$ に平行なので、この円は $(1,1)$ で直線に接する（接線は接点を通る半径に垂直。円と直線の位置関係）。$k=-2$ のときは右辺が $0$ で、図形は 1 点 $(1,1)$ だけである。
共通の点は $(1,1)$ の 1 つだけだが、$f+kg=0$ は「$(1,1)$ を通る円」全体ではなく、「$(1,1)$ で直線 $g=0$ に接する円」だけを表している（図 2）。
実際、$(1,1)$ と原点を通る円 $x^2+y^2-2y=0$（中心 $(0,1)$、半径 $1$。$(1,1)$ で $1+1-2=0$）は束に入らない。$x^2+y^2+kx+ky-2-2k$ と $x$ の係数を比べると $k=0$ が必要だが、$k=0$ の式は $x^2+y^2-2$ で、$y$ の係数が $0$ となり $-2$ と一致しないからである（$g=0$ 自身は直線なので、これとも一致しない）。

prop-pen-circle-line は、$x^2+y^2$ の係数が $1$ の方程式（円・1 点・空集合を表す形）に限った主張である。この限定を外すと成り立たない。たとえば
$$ h=x^2+xy-y-13 $$
は $A(3,2)$ で $9+6-2-13=0$、$B(-2,-3)$ で $4+6+3-13=0$ となり、2 点を通る。しかし $h$ には $xy$ の項があり、$f+kg=x^2+y^2-13+k(x-y-1)$ にはどの $k$ でも $xy$ の項がないので、$h$ は $f+kg$ の形に書けない（$(\lambda,\mu)$ を使っても同じである）。$h=f+(x-y-1)\cdot y$ と書けるので、$h=0$ は $A$、$B$ を通るが、$g$ に掛けたものが定数ではなく 1 次式 $y$ である。2 点を通る 2 次曲線は、円の束よりずっと多い。

$f=x+y-1$、$g=x+y-3$（平行な 2 直線。共通の点はない）。$f+kg=0$ を整理すると
$$ (1+k)(x+y)-(1+3k)=0 $$
である。$k\ne-1$ なら $x+y=\dfrac{1+3k}{1+k}$ で、2 直線に平行な直線である。たとえば $k=1$ で $x+y=2$（2 直線のちょうど中間）である。$k=-1$ なら $x$、$y$ の係数がともに $0$ になり、左辺は $0\cdot x+0\cdot y-(1-3)=2$ となり、方程式は $2=0$ で、満たす点はない（空集合）。
thm-pen-lines は「2 直線が平行でない」ことを仮定していた。この例では、その仮定を外したので、束の図形は 1 点を通る直線の全体ではなく、平行な直線の全体と空集合になった。

$f=x^2+y^2-1$（単位円）、$g=x-2$（直線 $x=2$。円と交わらない）。$f+kg=0$ は $x^2+y^2+kx-1-2k=0$、平方完成して
$$ \left(x+\frac k2\right)^2+y^2=\frac{k^2}4+2k+1=\frac{k^2+8k+4}4 $$
である。右辺が $0$ になるのは $k^2+8k+4=0$、つまり $k=-4\pm2\sqrt3$ のときで、そのとき図形は 1 点 $\left(2\mp\sqrt3,0\right)$ だけになる（$-\dfrac k2=2\mp\sqrt3$）。$-4-2\sqrt3< k<-4+2\sqrt3$ では右辺が負で、空集合である。それ以外の $k$ では円である。たとえば $k=1$ では $\left(x+\dfrac12\right)^2+y^2=\dfrac{13}4$ の円になる。
このように、交点がないときの $f+kg=0$ には、円・1 点・空集合が混ざる。「交点を通る円を求める」という使い方はできないが、束そのものは意味をもつ（このような束は 根軸と根心 の円の束の例と同じ形である）。

円 $f=x^2+y^2-5$ と円 $g=x^2+y^2-6x-2y+5$（中心 $(3,1)$、半径 $\sqrt5$）の束を考える。$f+kg=0$ の $x^2+y^2$ の係数は $1+k$ なので、$k\ne-1$ なら両辺を $1+k$ で割って $x^2+y^2$ の係数が $1$ の式になり、円・1 点・空集合のどれかを表す。$k=-1$ では 2 次の項が消えて
$$ f-g=6x+2y-10=0,\qquad\text{つまり}\qquad 3x+y=5 $$
という直線になる。$y=5-3x$ を $f=0$ に代入すると $x^2+(5-3x)^2=5$、$10x^2-30x+20=0$、$x^2-3x+2=0$ で、$x=1,2$、交点は $(1,2)$、$(2,-1)$ である。直線 $3x+y=5$ はこの 2 点を通る（$3+2=5$、$6-1=5$）。束の中には、円でない図形（2 円の共通弦を延ばした直線）が 1 つ入っている。この直線が 根軸と根心 の根軸である。

4 点 $(1,1)$、$(-1,1)$、$(-1,-1)$、$(1,-1)$ を通る 2 次曲線を求める。
段 1（直線の組）。2 本の直線 $x=1$、$x=-1$ の積 $f=(x-1)(x+1)=x^2-1$ と、$y=1$、$y=-1$ の積 $g=(y-1)(y+1)=y^2-1$ は、どちらも 4 点で $0$ になる。束は
$$ (x^2-1)+k(y^2-1)=0 $$
と $g=0$ 自身である。
段 2（5 点目で決める）。点 $(2,0)$ を通る条件は $3+k\cdot(-1)=0$ で $k=3$、曲線は $x^2+3y^2=4$（楕円）である。$(1,1)$ で $1+3=4$ となり、たしかに通る。点 $(0,2)$ を通る条件は $-1+3k=0$ で $k=\dfrac13$、両辺を $3$ 倍して $3x^2+y^2=4$（楕円）である。
段 3（いろいろな種類）。$k=1$ で $x^2+y^2=2$（円）、$k=-2$ で $x^2-2y^2+1=0$、つまり $2y^2-x^2=1$（双曲線）である。$k=-1$ では $x^2-y^2=0$、つまり $(x-y)(x+y)=0$ で、2 本の対角線 $y=x$、$y=-x$ の組になる。これは 4 点を「$(1,1)$ と $(-1,-1)$」「$(-1,1)$ と $(1,-1)$」の組に分けて結んだものである。
段 4（$g=0$ 自身）。点 $(2,1)$ を通る条件は $3+k\cdot0=0$ で、$k$ は存在しない。$(2,1)$ は $g=0$（直線 $y=1$）の上にあるので、$(2,1)$ を通る束の曲線は $g=0$、つまり 2 直線 $y=\pm1$ の組である（thm-pen-basic の 3）。
4 点の 2 つずつの組み分けは 3 通りあり、それに応じて直線の組が 3 つ（$k=0$、$k=-1$、$g=0$ 自身）束に入っている（図 3）。