Schubertカルキュラス

4：座標を逆順にする置換行列 $w_0$（$e_j\mapsto e_{n+1-j}$）は $E_\bullet$ を $E'_\bullet$ に写すので $e_\nu(E'_\bullet)=w_0\,e_\nu(E_\bullet)$ である。$w_0$ は 1 の記述の「各行の最後の $0$ でない成分が第 $p_i(\nu)$ 列で、そこが $1$、ほかの行のその列は $0$」を「最初の $0$ でない成分が第 $n+1-p_i(\nu)$ 列で、そこが $1$、ほかの行のその列は $0$」に替える。$\nu=\lambda^\vee$ では $p_i(\lambda^\vee)=i+\lambda_{k+1-i}$ で、$n+1-p_{k+1-i}(\lambda^\vee)=n-k+i-\lambda_i=p_i(\lambda)$ なので、列の集合は $P$ であり、行を並べ替えると主張の記述を得る。$\square$

$F_j$ の基底を順に延ばして $K^n$ の基底 $f_1,\dots,f_n$ をとり、$g e_j:=f_j$ とおけばよい。後半：$h_t:=(1-t)\cdot1+tg$（$t\in\mathbb{A}^1$）とすると $\det h_t$ は $t$ の多項式で $t=0$ で $1$ なので、$h_t$ が可逆になる $t$ の集合 $T$ は $0,1$ を含む $\mathbb{A}^1$ の空でない開集合である。$T\times G$ の自己同型 $(t,W)\mapsto(t,h_tW)$ による $T\times Y$ の像 $\mathcal{V}$ は、$T$ を支配する既約な閉集合で、$t\in T$ 上のファイバーは被約な $h_tY$ である。$\mathcal{V}$ の $\mathbb{P}^1\times G$ での閉包をとり、$\mathbb{P}^1$ の座標を取り替えて $0,1$ を $0,\infty$ に移すと、Chow環 の定義「有理同値とChow群」の後の段落（$\mathbb{P}^1$ を支配する部分多様体の 2 つのファイバーの差が有理同値を生成すること）により $[h_0Y]-[h_1Y]=[Y]-[gY]$ は有理同値で $0$ である。$\square$

生成． $Z_d$ を次元 $d$ 以下の胞体 $e_\nu(E_\bullet)$ の和とする。prop-sc-cell の 3 により $Z_d$ は次元 $d$ 以下の Schubert 多様体の和で、閉集合である。$Z_d\setminus Z_{d-1}$ は次元 $d$ の胞体の互いに交わらない和で、異なる $d$ 次元胞体 $e,e'$ について $\overline{e'}\cap e=\emptyset$（$\overline{e'}\setminus e'$ は小さい胞体の和）なので、各胞体はその開かつ閉な部分集合である。Chow環 の補題「局所化完全列」により $CH_*(Z_{d-1})\to CH_*(Z_d)\to\textstyle\bigoplus_{\dim e=d}CH_*(e)\to0$ は完全で、$e\cong\mathbb{A}^d$ なので $CH_*(e)=\mathbb{Z}[e]$（Chow環 の系「アフィン空間のChow群の計算」）であり、$[e]$ は $[\overline{e}]$ の像である。$d$ についての帰納法で、$CH_*(G)=CH_*(Z_{k(n-k)})$ は Schubert 多様体の類で生成される。

独立性． $\sum_{\lvert\lambda\rvert=c}a_\lambda\sigma_\lambda=0$ とする。$\sigma_{\mu^\vee}$（$\lvert\mu\rvert=c$）を掛けて次数をとると、thm-sc-duality により $a_\mu=0$ である。最後の主張は、$\lvert\lambda\rvert=k(n-k)$ となる $\lambda$ が長方形全体だけで、$X_\lambda(E_\bullet)$ が 1 点 $\langle e_1,\dots,e_k\rangle$ であることによる。$\square$

$\lambda\subset\nu$ より $\lambda_i+\mu_{k+1-i}=\lambda_i+n-k-\nu_i\le n-k$ なので $s_i\le p_i$ で、各 $I_i$ は空でない。$s_{i+1}-s_i=1+\mu_{k-i}-\mu_{k+1-i}\ge1$、$p_{i+1}-p_i\ge1$ なので、$s_i$ と $p_i$ はどちらも狭義単調増加である。

1：$W\cap A_i\ne0$ は prf-sc-duality の前半と同じ議論で得る。$m\notin J$ とし、$p_i< m$ となる最大の $i$ を $l$（なければ $l=0$）とする。$i\le l$ では $p_i< m$、$i>l$ では $m\notin I_i$ かつ $m\le p_i$ なので $m< s_i$ である。$W\cap E_{p_l}$（次元 $\ge l$）は $\langle e_c\mid c< m\rangle$ に、$W\cap E'_{n+1-s_{l+1}}$（次元 $\ge k-l$）は $\langle e_c\mid c>m\rangle$ に含まれる（$l=0$ や $l=k$ では一方を $0$ とする）。2 つは交わらず次元の和が $k$ 以上なので $W$ はその直和であり、$W\subset\langle e_c\mid c\ne m\rangle$ である。すべての $m\notin J$ についての共通部分をとって $W\subset A$ を得る。

2：$\dim A=\lvert J\rvert\le\sum_i\lvert I_i\rvert=\sum_i(n-k+1-\lambda_i-\mu_{k+1-i})=k(n-k)+k-\lvert\lambda\rvert-\lvert\mu\rvert=k+a$ である。等号は $I_i$ が互いに交わらないとき、両端の単調性から $p_i< s_{i+1}$（$i=1,\dots,k-1$）のときに限る。$p_i< s_{i+1}$ は $n-k-\lambda_i< 1+\mu_{k-i}$、すなわち $\nu_{i+1}=n-k-\mu_{k-i}\le\lambda_i$ と同値で、これは水平帯の条件である。

3：$\dim A+\dim H\le(k+a-1)+(n-k+1-a)=n$ なので、$A$ と交わりが $0$ の $(n-k+1-a)$ 次元部分空間 $H$ がとれる。1 により交わりの $W$ は $A$ に含まれ、$W\cap H\subset A\cap H=0$ となるので、交わりは空である。

4：$\dim\langle e_m\mid m\notin J\rangle=n-k-a$ なので $\dim H=n-k+1-a$ である。$I_i$ は互いに交わらないので $A=\bigoplus_iA_i$ で、$A\cap H=Kv$ である。交わりの $W$ をとると、1 により $W\subset A$ で各 $W\cap A_i\ne0$ であり、$A_i$ は独立なので $W=\bigoplus_i(W\cap A_i)$、各 $W\cap A_i$ は 1 次元である。$W\cap H\subset A\cap H=Kv$ は $0$ でないので $v\in W$ で、直和分解の一意性から $v$ の成分 $v_i$ は $W\cap A_i$ に属し、$W=\langle v_1,\dots,v_k\rangle$ である。逆にこの $W$ では $v_1,\dots,v_i\in E_{p_i}$、$v_i,\dots,v_k\in E'_{n+1-s_i}$ なので $W\in\Omega_\lambda(E_\bullet)\cap\Omega_\mu(E'_\bullet)$ であり、$v\in W\cap H$ である。$\square$

長さ $k$ 以下の $s_\lambda$ は $\Lambda_k$ の基底なので（Schur多項式 の定理「対称多項式の環の基底」）、$\Phi$ は定まり、thm-sc-basis により全射である。$s_{(a)}=h_a$ なので $\Phi(h_a)$ は主張のとおりである。

$\Phi(h_af)=\sigma_a\Phi(f)$． $f=s_\lambda$ について示せば十分である。Schur多項式 の定理「Pieri の公式」により $h_as_\lambda=\sum_\nu s_\nu$（$\nu/\lambda$ は大きさ $a$ の水平帯、長さ $k$ 以下）である。$\lambda$ が長方形に収まり $a\le n-k$ なら、$\Phi$ を施すと長方形に収まる $\nu$ の項だけが残り、thm-sc-pieri により $\sigma_a\sigma_\lambda$ に等しい。$\lambda_1>n-k$ なら $\nu_1\ge\lambda_1>n-k$ なので両辺とも $0$ である。$a>n-k$ なら $\nu_1\ge a>n-k$ で両辺とも $0$ である。

環準同型． 帰納法で $\Phi(h_{a_1}\cdots h_{a_r}f)=\sigma_{a_1}\cdots\sigma_{a_r}\Phi(f)$（$\sigma_a:=\Phi(h_a)$）を得る。$e_j$ は $\sum_{i=0}^{j}(-1)^ie_ih_{j-i}=0$（対称多項式 の命題「母関数と基本対称多項式・完全対称多項式の関係」）により $h$ の多項式で書け、$e_1,\dots,e_k$ は $\Lambda_k$ を生成するので、$h_1,\dots,h_k$ も $\Lambda_k$ を生成する。$g=P(h_1,\dots,h_k)$ と書けば $\Phi(gf)=P(\sigma_1,\dots)\Phi(f)=\Phi(g)\Phi(f)$ である。

核． $\Phi$ が $\sigma_\lambda$ の基底に写すので、核は $\lambda_1>n-k$ の $s_\lambda$ が張る部分群 $N$ である。$\Phi(h_j)=0$（$j>n-k$）なので $J:=(h_{n-k+1},\dots,h_n)\subset N$ であり、逆に $\lambda_1>n-k$ の $s_\lambda$ が $J$ に属することは Jacobi–Trudi の公式による（Grassmann多様体のコホモロジー の定理「有限 Grassmann 多様体のコホモロジー」の証明の段落「$\Lambda_k/J$ の生成元」）。$\square$