Polish空間

1：上に述べた同値性による。
2：稠密性と開集合は位相だけで決まるので、適合する完備な距離を 1 つとって Baireのカテゴリー定理 を当てればよい。
3：1 により高々可算な開基 $\{B_0,B_1,\dots\}$ がある。$x\in X$ に $I(x):=\{n\in\mathbb{N}\mid x\in B_n\}$ を対応させる。$x\ne y$ なら、距離空間は Hausdorff なので $x$ を含み $y$ を含まない開集合 $U$ があり、$x\in B_n\subset U$ となる $n$ をとると $n\in I(x)\setminus I(y)$ である。よって $x\mapsto I(x)$ は $X$ から $\mathbb{N}$ の冪集合への単射であり、$|X|\le2^{\aleph_0}$ である。$\square$

1：$A\subset X$ を $G_\delta$-集合とする。完全距離化可能空間の $G_\delta$-集合は完全距離化可能である（完全距離化可能空間 の定理「$G_\delta$-集合への遺伝」）。可分性：$X$ は第 2 可算であり（prop-polish-basic）、第 2 可算性は部分空間に遺伝し（第2可算空間 の命題「部分空間への遺伝」）、第 2 可算空間は可分である（同記事の命題「三つの帰結」）。よって $A$ は Polish 空間である。開集合 $U$ は $U$ 自身の共通部分として $G_\delta$ である。空でない閉集合 $F$ は、適合する距離 $d$ をとると $F=\bigcap_{n\ge1}\{x\mid d(x,F)< 1/n\}$（各項は開集合）なので $G_\delta$ である。
2：完全距離化可能空間の可算積は完全距離化可能である（完全距離化可能空間 の命題「可算積」）。第 2 可算空間の可算積は第 2 可算であり（第2可算空間 の命題「可算個の直積」）、したがって可分である。
3：各 $X_n$ の適合する完備な距離 $d_n$ をとり、$\delta_n:=\min\{d_n,1\}$ とおく。$\delta_n$ は $d_n$ と半径 $1$ 未満の開球が一致するので同じ位相を定め、Cauchy 列も同じなので完備である。$X:=\bigsqcup_nX_n$ の上で、$x,y$ が同じ $X_n$ にあれば $d(x,y):=\delta_n(x,y)$、異なる $X_n$ にあれば $d(x,y):=1$ と定める。三角不等式 $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$ は、3 点が同じ $X_n$ にあれば $\delta_n$ の三角不等式であり、そうでなければ右辺の少なくとも一方の項が $1$ で左辺は $1$ 以下なので成り立つ。半径 $r\le1$ の $d$ の開球は 1 つの $X_n$ の中の $\delta_n$ の開球なので、$d$ は直和位相を定める。$d$ について Cauchy な列は、ある番号から先で互いの距離が $1$ 未満となり、1 つの $X_n$ に入ってその中で $\delta_n$ について Cauchy であるから収束する。各 $X_n$ の高々可算な稠密部分集合の和は $X$ で稠密で高々可算である。
4：$\Leftarrow$ は 1 である。$\Rightarrow$：$A$ が Polish なら完全距離化可能であり、$X$ は距離化可能なので、$A$ は $X$ の $G_\delta$-集合である（完全距離化可能空間 の定理「完全距離化可能な部分空間は $G_\delta$」）。$\square$

1 $\Rightarrow$ 2：$X$ は可分な距離化可能空間なので、埋め込み $e\colon X\to Q$ がある。像 $e(X)$ は $X$ と同相なので完全距離化可能であり、$Q$ は距離化可能なので、$e(X)$ は $Q$ の $G_\delta$-集合である（完全距離化可能空間 の定理「完全距離化可能な部分空間は $G_\delta$」）。
2 $\Rightarrow$ 3：$A\subset Q$ を $G_\delta$-集合とし、$A=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}U_n$（$U_n$ は $Q$ の開集合）と書く。$F_n:=Q\setminus U_n$ とおき、$A$ 上の関数 $\varphi_n$ を、$F_n=\emptyset$ なら $\varphi_n:=0$、$F_n\ne\emptyset$ なら
$$ \varphi_n(x):=\frac{1}{\rho(x,F_n)}\qquad(x\in A) $$
と定める。$x\in A\subset U_n$ なので $x\notin F_n$ であり、$F_n$ は閉集合なので $\rho(x,F_n)>0$ である。$x\mapsto\rho(x,F_n)$ は連続なので $\varphi_n$ は $A$ 上で連続であり、$\rho\le2$ なので $F_n\ne\emptyset$ のとき $\varphi_n\ge\tfrac12$ である。
$$ g\colon A\to Q\times\mathbb{R}^{\mathbb{N}},\qquad g(x):=\bigl(x,(\varphi_n(x))_{n\in\mathbb{N}}\bigr) $$
とおく。$g$ は各成分が連続なので連続であり、単射で、逆写像 $g(A)\to A$ は第 1 成分への射影の制限なので連続である。よって $g$ は埋め込みである。
$g(A)$ が $Q\times\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ の閉集合であることを示す。この空間は距離化可能な空間の可算積なので距離化可能であり、点列で閉性を判定できる。$g(x_k)\to(y,t)$ とすると、$Q$ の中で $x_k\to y$、各 $n$ で $\varphi_n(x_k)\to t_n$ である。$F_n\ne\emptyset$ となる $n$ について、収束列 $(\varphi_n(x_k))_k$ は有界なので、ある $M_n$ ですべての $k$ について $\varphi_n(x_k)\le M_n$、すなわち $\rho(x_k,F_n)\ge1/M_n$ である。$\rho(\cdot,F_n)$ の連続性から $\rho(y,F_n)\ge1/M_n>0$ であり、$y\notin F_n$、すなわち $y\in U_n$ である。$F_n=\emptyset$ なら $y\in Q=U_n$ である。よって $y\in A$ であり、$\varphi_n$ の $y$ での連続性から $t_n=\lim_k\varphi_n(x_k)=\varphi_n(y)$ である。したがって $(y,t)=g(y)\in g(A)$ である。
$Q=[0,1]^{\mathbb{N}}$ は閉集合の直積なので $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ の閉集合であり、$Q\times\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ は $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\times\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ の閉集合である。座標を交互に並べる写像 $((x_n),(y_n))\mapsto(x_0,y_0,x_1,y_1,\dots)$ は $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\times\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ から $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ への同相写像である（座標の並べ替えなので、両方向とも各座標が連続）。よって $A\cong g(A)$ は $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ のある閉部分空間と同相である。
3 $\Rightarrow$ 1：$\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ は thm-polish-closure の 2 により Polish 空間であり、その閉部分空間は同じ定理の 1 により Polish 空間である。Polish であることは同相で保たれる。$\square$

適合する完備な距離 $d$ を 1 つとる。$X$ は第 2 可算な完備距離空間である（prop-polish-basic）。$X$ が非可算なら、閉集合 $F=X$ に 孤立点 の定理「Cantor–Bendixson の定理」の 2 を当てはめると、$X$ は Cantor 集合と同相な部分集合 $C$ を含む。$C$ はコンパクトなので、Hausdorff 空間 $X$ の閉集合である。$C$ の濃度は $2^{\aleph_0}$ なので $|X|\ge2^{\aleph_0}$ であり、prop-polish-basic の 3 の $|X|\le2^{\aleph_0}$ と Cantor–Bernsteinの定理 から $|X|=2^{\aleph_0}$ である。$\square$