三角形の内心と傍心

方針：平面のベクトルを $90^\circ$ 回す写像 $R(p,q)=(-q,p)$ を使って、2 直線の単位法線ベクトルを $R\vec u$、$R\vec v$ と書く。距離の 2 乗の差を因数分解すると、2 本の直線の式が出てくる。
段 1（回転の性質）。$R$ は $R(\vec z+\vec w)=R\vec z+R\vec w$、$R(k\vec z)=kR\vec z$ を満たし、長さを変えず、$\vec z\cdot R\vec z=p\cdot(-q)+q\cdot p=0$ である（$\vec z=(p,q)$）。さらに、$\vec z\ne\vec 0$ のとき「$\vec w\cdot R\vec z=0$ $\iff$ $\vec w$ は $\vec z$ の実数倍」が成り立つ。実際、$\vec z$ と $R\vec z$ は垂直で $\vec 0$ でないので、平面のどんな $\vec w$ も $\vec w=s\vec z+tR\vec z$ と書ける。$\vec w\cdot R\vec z=t|\vec z|^2$ なので、これが $0$ であることは $t=0$、つまり $\vec w=s\vec z$ と同値である。
段 2（距離を内積で書く）。直線 $AB$ は $A$ を通り向き $\vec u$ の直線なので、$R\vec u$ はその単位法線ベクトルであり、直線の式は $R\vec u\cdot(\vec y-\vec a)=0$ である。点と直線の距離の公式（直線の方程式と点と直線の距離）により、$\vec w=\vec x-\vec a$ として、$X$ から直線 $AB$ までの距離は $|\vec w\cdot R\vec u|$ である。同じく直線 $AC$ までの距離は $|\vec w\cdot R\vec v|$ である。
段 3（因数分解）。距離は $0$ 以上なので、2 つの距離が等しいことは 2 乗が等しいことと同値である。
$$ (\vec w\cdot R\vec u)^2-(\vec w\cdot R\vec v)^2=\bigl(\vec w\cdot R\vec u-\vec w\cdot R\vec v\bigr)\bigl(\vec w\cdot R\vec u+\vec w\cdot R\vec v\bigr)=\bigl(\vec w\cdot R(\vec u-\vec v)\bigr)\bigl(\vec w\cdot R(\vec u+\vec v)\bigr) $$
なので、距離が等しいことは $\vec w\cdot R(\vec u-\vec v)=0$ または $\vec w\cdot R(\vec u+\vec v)=0$ と同値である。
段 4（結論）。段 1 により、$\vec w\cdot R(\vec u+\vec v)=0$ は $\vec x-\vec a$ が $\vec u+\vec v$ の実数倍であること、つまり $X$ が内角の二等分線の上にあることと同値である。同じく $\vec w\cdot R(\vec u-\vec v)=0$ は $X$ が外角の二等分線の上にあることと同値である。$\square$

方針：直線 $BC$ の単位法線ベクトル $\vec n$ を $A$ の側に向けてとり、$\delta_a(X)=\vec n\cdot(\vec x-\vec b)$ と書く。$\alpha+\beta+\gamma=1$ を使って展開する。
段 1（符号つきの距離）。直線 $BC$ の単位法線ベクトルを、$\vec n\cdot(\vec a-\vec b)>0$ となる向きにとる。点と直線の距離の公式から、$|\vec n\cdot(\vec x-\vec b)|$ は $X$ から直線 $BC$ までの距離で、符号は $X$ が $A$ と同じ側なら正、反対側なら負である。よって $\delta_a(X)=\vec n\cdot(\vec x-\vec b)$ であり、とくに $\delta_a(A)=h_a$ である。
段 2（展開）。$\vec b=(\alpha+\beta+\gamma)\vec b$ なので
$$ \vec x-\vec b=\alpha\vec a+\beta\vec b+\gamma\vec c-(\alpha+\beta+\gamma)\vec b=\alpha(\vec a-\vec b)+\gamma(\vec c-\vec b) $$
である。$\vec c-\vec b$ は直線 $BC$ に沿うので $\vec n\cdot(\vec c-\vec b)=0$ である。よって $\delta_a(X)=\alpha\,\vec n\cdot(\vec a-\vec b)=\alpha h_a$ である。残りの 2 つも、文字を入れかえれば同じである。$\square$

方針：lem-inc-linear で 3 つの距離を重心座標で書き、等しいという条件を $\alpha,\beta,\gamma$ の条件に直す。符号の選び方が 8 通りあり、そのうち $\alpha+\beta+\gamma=1$ を満たせるものが 4 通りある。
段 1（距離の条件）。$X$ の重心座標を $(\alpha,\beta,\gamma)$ とする。lem-inc-linear から、3 直線までの距離は $|\alpha|h_a$、$|\beta|h_b$、$|\gamma|h_c$ で、$h_a=\frac{2S}a$ などを入れると $2S\frac{|\alpha|}a$、$2S\frac{|\beta|}b$、$2S\frac{|\gamma|}c$ である。これらが等しいことは $\frac{|\alpha|}a=\frac{|\beta|}b=\frac{|\gamma|}c$ と同値である。
段 2（符号）。この共通の値を $k$ とする。$k=0$ なら $\alpha=\beta=\gamma=0$ で $\alpha+\beta+\gamma=1$ に反するので、$k>0$ である。$\alpha=\varepsilon_1ka$、$\beta=\varepsilon_2kb$、$\gamma=\varepsilon_3kc$（$\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3$ はそれぞれ $1$ か $-1$）と書ける。$\alpha+\beta+\gamma=1$ から
$$ k(\varepsilon_1a+\varepsilon_2b+\varepsilon_3c)=1 $$
で、これが解 $k>0$ をもつのは $\varepsilon_1a+\varepsilon_2b+\varepsilon_3c>0$ のときに限る。
段 3（4 通り）。三角形の成立条件 $b+c>a$、$c+a>b$、$a+b>c$ から、$(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)=(1,1,1)$、$(-1,1,1)$、$(1,-1,1)$、$(1,1,-1)$ のときは和 $a+b+c$、$-a+b+c$、$a-b+c$、$a+b-c$ が正である。残りの 4 通りはこれらの符号をすべて反転したもので、和は負である。よって解は 4 つで、$k=\frac1{a+b+c}$ などとして、定理の 4 点になる。
段 4（距離）。段 1 から共通の距離は $2Sk$ で、$(1,1,1)$ のとき $\frac{2S}{a+b+c}=\frac Ss$、$(-1,1,1)$ のとき $\frac{2S}{-a+b+c}$ である。$-a+b+c=2s-2a$ なので、これは $\frac S{s-a}$ である。残りも同じである。
段 5（位置）。$I$ の重心座標はすべて正なので、$I$ は内部にある。$I_A$ の重心座標は $\alpha<0$、$\beta>0$、$\gamma>0$ なので、lem-inc-linear の符号から位置が定理のとおりに決まる。$\square$

方針：def-inc-bisector の記号 $\vec u=\frac{\vec b-\vec a}c$、$\vec v=\frac{\vec c-\vec a}b$ を使い、$\vec i-\vec a$ などが $\vec u+\vec v$ か $\vec u-\vec v$ の実数倍であることを示す。
段 1（$I$ と $\angle A$）。$\vec a=\frac{(a+b+c)\vec a}{a+b+c}$ なので
$$ \vec i-\vec a=\frac{b(\vec b-\vec a)+c(\vec c-\vec a)}{a+b+c}=\frac{bc\,\vec u+cb\,\vec v}{a+b+c}=\frac{bc}{a+b+c}(\vec u+\vec v) $$
である（$\vec b-\vec a=c\vec u$、$\vec c-\vec a=b\vec v$）。よって $I$ は $\angle A$ の内角の二等分線の上にある。文字を入れかえると、$I$ は $\angle B$、$\angle C$ の内角の二等分線の上にもある。これで 1 が示せた。
段 2（$I_A$ と $\angle A$）。同じ計算で $\vec i_A-\vec a=\frac{b(\vec b-\vec a)+c(\vec c-\vec a)}{-a+b+c}=\frac{bc}{-a+b+c}(\vec u+\vec v)$ なので、$I_A$ は $\angle A$ の内角の二等分線の上にある。
段 3（$I_A$ と $\angle B$）。$B$ から $A$、$C$ に向かう単位ベクトルを $\vec u'=\frac{\vec a-\vec b}c$、$\vec v'=\frac{\vec c-\vec b}a$ とすると
$$ \vec i_A-\vec b=\frac{-a(\vec a-\vec b)+c(\vec c-\vec b)}{-a+b+c}=\frac{-ac\,\vec u'+ca\,\vec v'}{-a+b+c}=\frac{-ac}{-a+b+c}(\vec u'-\vec v') $$
なので、$I_A$ は $\angle B$ の外角の二等分線の上にある。$\angle C$ についても同じである。$\square$

方針：直線 $AI$ の上で、直線 $BC$ の上にある点（$\alpha=0$ の点）を求める。
段 1。直線 $AI$ の点は $\vec a+t(\vec i-\vec a)$ と書け、prf-cor-inc-bisectors の段 1 から $\vec i-\vec a=\frac{b(\vec b-\vec a)+c(\vec c-\vec a)}{a+b+c}$ である。$t=\frac{a+b+c}{b+c}$ とおくと
$$ \vec a+\frac{b(\vec b-\vec a)+c(\vec c-\vec a)}{b+c}=\frac{(b+c)\vec a+b\vec b-b\vec a+c\vec c-c\vec a}{b+c}=\frac{b\vec b+c\vec c}{b+c} $$
となる。これは $\alpha=0$ の点なので直線 $BC$ の上にあり、$D$ である。
段 2。$\vec d=\frac{b\vec b+c\vec c}{b+c}$ は線分 $BC$ を $c:b$ に内分する点（位置ベクトルと内分点）なので、$BD:DC=c:b$ である。$\square$

方針：内心 $I$ で三角形を 3 つに分けて足す。傍心 $I_A$ では、四角形 $ABI_AC$ を 2 通りに分けて比べる。
段 1（内接円）。$I$ は三角形の内部にあるので、三角形 $ABC$ は三角形 $IBC$、$ICA$、$IAB$ に分けられる。それぞれ底辺 $a$、$b$、$c$、高さ $r$（$I$ から各辺の直線までの距離）なので
$$ S=\frac12ar+\frac12br+\frac12cr=\frac{a+b+c}2\,r=rs $$
である。
段 2（傍接円）。$I_A$ は直線 $BC$ について $A$ と反対側にあり、$\angle A$ の内角の二等分線の上にある（cor-inc-bisectors）。cor-inc-ratio の $D$（線分 $BC$ の上の点）を使うと、$\vec i_A=\frac{-a\vec a+(b+c)\vec d}{-a+b+c}$ と書けるので、$I_A$ は半直線 $AD$ の上で $D$ より先にある。よって四角形 $ABI_AC$ の対角線 $AI_A$ と $BC$ は $D$ で交わり、この四角形は三角形 $ABC$ と三角形 $I_ABC$ に分けても、三角形 $I_AAB$ と三角形 $I_AAC$ に分けてもよい。したがって
$$ S+\frac12a\,r_a=\frac12c\,r_a+\frac12b\,r_a $$
である（どの三角形も、$I_A$ から底辺の直線までの高さは $r_a$）。整理すると $S=\frac{-a+b+c}2\,r_a=(s-a)r_a$ である。$r_b$、$r_c$ も同じである。$\square$

方針：prop-inc-area から $\frac1{r_a}=\frac{s-a}S$ などと書いて足す。
段 1。prop-inc-area から $\frac1{r_a}=\frac{s-a}S$、$\frac1{r_b}=\frac{s-b}S$、$\frac1{r_c}=\frac{s-c}S$ である。
段 2。3 つを足すと $\frac{(s-a)+(s-b)+(s-c)}S=\frac{3s-(a+b+c)}S=\frac{3s-2s}S=\frac sS$ で、これは prop-inc-area の $S=rs$ から $\frac1r$ に等しい。$\square$

方針：1 点から円に引いた 2 本の接線の長さが等しいことを示し、3 つの長さの連立方程式を解く。
段 1（接線の長さ）。三角形 $IAQ$ と $IAR$ は、$\angle IQA=\angle IRA=90^\circ$（接点で半径は接線に垂直）、$IQ=IR=r$、斜辺 $IA$ が共通である。三平方の定理から $AQ^2=IA^2-r^2=AR^2$ なので $AQ=AR$ である。同じく $BR=BP$、$CP=CQ$ である。
段 2（連立方程式）。$x=AQ=AR$、$y=BR=BP$、$z=CP=CQ$ とおく。接点は辺（線分）の上にある（def-inc-names の後の段落）ので、$y+z=BP+PC=a$、$z+x=b$、$x+y=c$ である。3 式を足すと $2(x+y+z)=a+b+c$、つまり $x+y+z=s$ である。これから $y+z=a$ を引いて $x=s-a$ を得る。同じく $y=s-b$、$z=s-c$ である。$\square$

方針：cor-inc-bisectors から、どの直線がどの二等分線かを読み取る。
段 1（$A$ を通る 2 本の直線）。cor-inc-bisectors の 2 から、$I_B$ は $\angle A$ の外角の二等分線の上にあり、$I_C$ も $\angle A$ の外角の二等分線の上にある。よって $I_B$、$I_C$、$A$ は $\angle A$ の外角の二等分線という 1 本の直線の上にある。一方、$I$ と $I_A$ は $\angle A$ の内角の二等分線の上にある（cor-inc-bisectors の 1 と 2）。
段 2（垂直）。内角の二等分線と外角の二等分線は垂直なので、直線 $I_AA$（$=$ 内角の二等分線）は直線 $I_BI_C$（$=$ 外角の二等分線）に垂直で、その交点は $A$ である。$B$、$C$ についても同じである。これで 2 と、1 の「直線の上にある」ことが示せた。$A$ が線分 $I_BI_C$ の間にあることは、prf-cor-inc-bisectors の段 1 と同じ計算で
$$ \vec i_B-\vec a=\frac{-b(\vec b-\vec a)+c(\vec c-\vec a)}{a-b+c}=\frac{bc}{a-b+c}(\vec v-\vec u),\qquad \vec i_C-\vec a=\frac{b(\vec b-\vec a)-c(\vec c-\vec a)}{a+b-c}=\frac{bc}{a+b-c}(\vec u-\vec v) $$
となり、分母がどちらも正なので 2 つのベクトルが逆向きであることからわかる。
段 3（三角形をなす）。$I_A,I_B,I_C$ が一直線上にあるとすると、段 1 からその直線は $\angle A$、$\angle B$、$\angle C$ の外角の二等分線と一致し、$A,B,C$ もその直線の上に乗る。これは $A,B,C$ が三角形をなすことに反する。
段 4（垂心）。段 2 から、$I_A$ から対辺 $I_BI_C$ への垂線は直線 $I_AA$ で、これは $\angle A$ の内角の二等分線なので $I$ を通る。同じく $I_B$、$I_C$ からの垂線も $I$ を通る。よって $I$ は三角形 $I_AI_BI_C$ の垂心である。4 点のどれも残りの 3 点の垂心であることは、三角形の垂心 の垂心系の命題から従う。$\square$

方針：$x=PD$、$y=PE$、$z=PF$ とおくと、面積から $ax+by+cz=2S$ が一定である。和と積の不等式で下から押さえ、等号の条件を調べる。
段 1（面積の関係）。$P$ は内部にあるので、三角形 $ABC$ は三角形 $PBC$、$PCA$、$PAB$ に分けられる。それぞれの面積は $\frac12ax$、$\frac12by$、$\frac12cz$ なので、$ax+by+cz=2S$ である。
段 2（恒等式）。展開すると
$$ \Bigl(\frac ax+\frac by+\frac cz\Bigr)(ax+by+cz)=a^2+b^2+c^2+ab\Bigl(\frac xy+\frac yx\Bigr)+bc\Bigl(\frac yz+\frac zy\Bigr)+ca\Bigl(\frac zx+\frac xz\Bigr) $$
である。$\frac xy+\frac yx-2=\frac{x^2+y^2-2xy}{xy}=\frac{(x-y)^2}{xy}$ などを使うと
$$ \Bigl(\frac ax+\frac by+\frac cz\Bigr)(ax+by+cz)-(a+b+c)^2=\frac{ab(x-y)^2}{xy}+\frac{bc(y-z)^2}{yz}+\frac{ca(z-x)^2}{zx} $$
となる。
段 3（不等式）。段 2 の右辺は $0$ 以上で、$0$ になるのは $x=y=z$ のときに限る（$a,b,c,x,y,z$ はすべて正）。段 1 の $ax+by+cz=2S$ を入れると
$$ \frac ax+\frac by+\frac cz\ge\frac{(a+b+c)^2}{2S} $$
で、等号は $x=y=z$ のときに限る。
段 4（等号の点）。$x=y=z$ は、$P$ が 3 辺の直線から等しい距離にある内部の点であることを表す。thm-inc-four により、そのような点は 4 つあるが、内部にあるのは内心 $I$ だけである。したがって、最小にする点は内心 $I$ ただ 1 つで、最小値は $\frac{(a+b+c)^2}{2S}=\frac{(2s)^2}{2rs}=\frac{2s}r$ である（prop-inc-area の $S=rs$ を使った）。$\square$