Verdier局所化

圏 $\mathcal C$ と、その射のクラス $S$ が与えられているとする。局所化（localization）$\mathcal C[S^{-1}]$ とは、圏 $\mathcal C[S^{-1}]$ と関手 $Q\colon\mathcal C\to\mathcal C[S^{-1}]$ の組であって、次の性質（普遍性）を満たすもののことをいう。
(1) $S$ の任意の元 $s$ に対し、$Q(s)$ は同型射である。
(2) 任意の圏 $\mathcal D$ と関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ で「$S$ の任意の元を同型射に送る」ものに対し、$F=G\circ Q$ を満たす関手 $G\colon\mathcal C[S^{-1}]\to\mathcal D$ がただ一つ（自然同型を除いて）存在する。

圏 $\mathcal C$ の射のクラス $S$ が乗法系（multiplicative system, 分数の計算が可能な系）であるとは、次を満たすことをいう。
(1) すべての恒等射は $S$ に属し、$S$ は合成について閉じている。
(2)（右屋根条件）任意の $s\colon X'\to X$（$s\in S$）と $f\colon X'\to Y$ に対し、$g\colon Y\to Y'$（$g\in S$）と $f'\colon X\to Y'$ が存在して $f'\circ s=g\circ f$ を満たす（双対に左屋根条件も要求する）。
(3)（簡約条件）$f,g\colon X\to Y$ が $s\circ f=s\circ g$ を満たす $s\in S$（$s\colon Y\to Y'$）を持つならば、$f\circ t=g\circ t$ を満たす $t\in S$（$t\colon X''\to X$）が存在する（双対も要求する）。

三角圏 $(\mathcal T,\Sigma,\{\text{完全三角形}\})$ の射のクラス $S$ が移動関手と両立する乗法系（multiplicative system compatible with the shift）であるとは、$S$ が def-multiplicative-system の意味での乗法系であって、さらに次の (i)(ii) を満たすことをいう。
(i) 任意の射 $s$ に対し、$s\in S$ と $\Sigma s\in S$ は同値である（$S$ は移動関手 $\Sigma$ とその逆 $\Sigma^{-1}$ で閉じている）。
(ii) $\mathcal T$ の2つの完全三角形 $X\xrightarrow{u}Y\xrightarrow{v}Z\xrightarrow{w}\Sigma X$、$X'\xrightarrow{u'}Y'\xrightarrow{v'}Z'\xrightarrow{w'}\Sigma X'$ と、射 $f\colon X\to X'$、$g\colon Y\to Y'$ で $g\circ u=u'\circ f$ かつ $f,g\in S$ を満たすものが与えられたとき、$(f,g,h)$ が完全三角形の射（$h\circ v=v'\circ g$ かつ $\Sigma f\circ w=w'\circ h$）となる $h\colon Z\to Z'$ を $S$ の元に取ることができる。
このとき、局所化 $\mathcal T[S^{-1}]$（def-localization-universal-property）とその局所化関手 $Q\colon\mathcal T\to\mathcal T[S^{-1}]$ を、$\mathcal T$ の $S$ によるVerdier局所化（Verdier localization）という。

三角圏 $\mathcal T$ の充満部分圏 $\mathcal N$ が三角部分圏（triangulated subcategory）であるとは、$\mathcal N$ が加法部分圏（零対象と有限直和で閉じる）であり、$X\in\mathcal N\iff\Sigma X\in\mathcal N$ を満たし、かつ $\mathcal T$ の完全三角形 $X\to Y\to Z\to\Sigma X$ の3つの頂点のうち2つが $\mathcal N$ に属せば残りの1つも $\mathcal N$ に属することをいう。三角部分圏 $\mathcal N$ が厚い（thick）とは、さらに直和因子で閉じる（$X\oplus Y\in\mathcal N$ ならば $X\in\mathcal N$ かつ $Y\in\mathcal N$）ことをいう。三角部分圏 $\mathcal N$ に対し、射のクラス
$$ S(\mathcal N):=\{f\colon X\to Y\mid\operatorname{Cone}(f)\in\mathcal N\} $$
（$\operatorname{Cone}(f)$ は $f$ を第1辺とする完全三角形 $X\xrightarrow{f}Y\to\operatorname{Cone}(f)\to\Sigma X$ の第3頂点で、同型を除いて定まる）を定め、局所化
$$ \mathcal T/\mathcal N:=\mathcal T[S(\mathcal N)^{-1}] $$
を $\mathcal T$ の $\mathcal N$ によるVerdier商（Verdier quotient）という。