Verdier局所化
概要
Verdier局所化（Verdier localization）とは、圏 $\mathcal C$ とその中の射のクラス $S$ に対し、$S$ の元をすべて同型射に変えるという普遍性を持つ圏 $\mathcal C[S^{-1}]$ を構成する操作、とくにそれを三角圏と両立するように行う手続きのことをいう。ホモトピー圏を擬同型のクラスで局所化することで導来圏が構成され、その意味で導来圏の構成手続きそのものを指す語として使われる。
前提知識: 圏, アーベル圏, 複体とホモロジー, ホモトピー圏, 三角圏
定義
圏 $\mathcal C$ と、その射のクラス $S$ が与えられているとする。局所化（localization）$\mathcal C[S^{-1}]$ とは、圏 $\mathcal C[S^{-1}]$ と関手 $Q\colon\mathcal C\to\mathcal C[S^{-1}]$ の組であって、次の性質（普遍性）を満たすもののことをいう。
(1) $S$ の任意の元 $s$ に対し、$Q(s)$ は同型射である。
(2) 任意の圏 $\mathcal D$ と関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ で「$S$ の任意の元を同型射に送る」ものに対し、$F=G\circ Q$ を満たす関手 $G\colon\mathcal C[S^{-1}]\to\mathcal D$ がただ一つ（自然同型を除いて）存在する。
圏 $\mathcal C$ の射のクラス $S$ が乗法系（multiplicative system, 分数の計算が可能な系）であるとは、次を満たすことをいう。
(1) すべての恒等射は $S$ に属し、$S$ は合成について閉じている。
(2)（右屋根条件）任意の $s\colon X'\to X$（$s\in S$）と $f\colon X'\to Y$ に対し、$g\colon Y\to Y'$（$g\in S$）と $f'\colon X\to Y'$ が存在して $f'\circ s=g\circ f$ を満たす（双対に左屋根条件も要求する）。
(3)（簡約条件）$f,g\colon X\to Y$ が $s\circ f=s\circ g$ を満たす $s\in S$（$s\colon Y\to Y'$）を持つならば、$t\circ f=t\circ g$ を満たす $t\in S$（$t\colon X''\to X$）が存在する（双対も要求する）。
三角圏 $(\mathcal T,\Sigma,\{\text{距離三角}\})$ の射のクラス $S$ が、移動関手と両立する乗法系（$S$ は $\Sigma,\Sigma^{-1}$ で閉じ、かつ「距離三角の三辺のうち二辺が $S$ に属せば残りの一辺も適切な射と合成して $S$ に属するようにできる」という整合性条件を満たすもの）であるとき、局所化 $\mathcal T[S^{-1}]$ には自然に三角圏の構造が入り、$Q\colon\mathcal T\to\mathcal T[S^{-1}]$ は移動関手・距離三角を保つ関手になる。この操作、およびその結果得られる三角圏 $\mathcal T[S^{-1}]$ を、$\mathcal T$ の $S$ によるVerdier局所化（Verdier localization）という。
直感
局所化は、環を分数体（あるいは局所化環）に置き換える操作の圏論的な一般化である。環 $R$ の乗法的部分集合 $S$ に対する局所化 $S^{-1}R$ が「$S$ の元を強制的に可逆にする」最小の環であるのと同様に、$\mathcal C[S^{-1}]$ は「$S$ の元を強制的に同型射にする」最小の圏である。乗法系の公理（def-multiplicative-system）は、この局所化を「屋根」$X\xleftarrow{s}X'\xrightarrow{f}Y$（$s\in S$）という具体的な図式で表せることを保証する技術的な条件であり、実際に構成する段階では $\operatorname{Hom}_{\mathcal C[S^{-1}]}(X,Y)$ をこのような屋根の同値類として実現できる。
三角圏の文脈では、擬同型（複体とホモロジー参照）のクラス $\mathrm{Qis}$ がホモトピー圏 $K(\mathcal A)$ において移動関手と両立する乗法系になることが知られており（証明は本記事では割愛する）、この $\mathrm{Qis}$ によるVerdier局所化 $K(\mathcal A)[\mathrm{Qis}^{-1}]$ が導来圏 $D(\mathcal A)$ を与える。すなわち導来圏とは、ホモトピー圏の中で「ホモロジーだけを見れば区別できない」複体どうしを、圏論的に厳密な意味で同型にしてしまった圏にほかならない。同値な言い換えとして、$K(\mathcal A)$ の中でホモロジーがすべて消える複体（非輪状複体、acyclic complex——完全列の意味で完全な複体）全体がなす充満三角部分圏 $\operatorname{Acyc}(\mathcal A)$ によるVerdier商を取る、という定式化も広く使われる。
性質
圏 $\mathcal C$ と射のクラス $S$ に対し、局所化 $(\mathcal C[S^{-1}],Q)$ が存在すれば、それは以下の意味で一意である：$(\mathcal D,Q')$ も同じ普遍性（def-localization-universal-propertyの(1)(2)）を満たすならば、$Q'\cong F\circ Q$ を満たす圏同値 $F\colon\mathcal C[S^{-1}]\to\mathcal D$ がただ一つ（自然同型を除いて）存在する。
$Q'\colon\mathcal C\to\mathcal D$ は $S$ の元を同型射に送る（$(\mathcal D,Q')$ の性質(1)）ので、$(\mathcal C[S^{-1}],Q)$ の普遍性（性質(2)）を $F=Q'$ に適用すると、$Q'=F\circ Q$ を満たす関手 $F\colon\mathcal C[S^{-1}]\to\mathcal D$ が（自然同型を除いて）一意に存在する。対称に、$Q$ は $S$ の元を同型射に送るので、$(\mathcal D,Q')$ の普遍性を $F=Q$ に適用すると、$Q=G\circ Q'$ を満たす関手 $G\colon\mathcal D\to\mathcal C[S^{-1}]$ が一意に存在する。
このとき $G\circ F\colon\mathcal C[S^{-1}]\to\mathcal C[S^{-1}]$ は $(G\circ F)\circ Q=G\circ Q'=Q$ を満たす。恒等関手 $\operatorname{id}_{\mathcal C[S^{-1}]}$ も $\operatorname{id}_{\mathcal C[S^{-1}]}\circ Q=Q$ を満たすので、$(\mathcal C[S^{-1}],Q)$ 自身の普遍性における一意性（性質(2)を $\mathcal D=\mathcal C[S^{-1}]$、$F=Q$ に適用したときの一意性）より $G\circ F\cong\operatorname{id}_{\mathcal C[S^{-1}]}$（自然同型）。同様に $F\circ G\cong\operatorname{id}_{\mathcal D}$。ゆえに $F$ は圏同値であり、$Q'\cong F\circ Q$ を満たす。$\blacksquare$
例
可換環 $R$ の対象を一つとする圏（射は $R$ の元、合成は積）とみなし、乗法的部分集合 $S\subset R$（$1\in S$、$S$ は積で閉じる）をその射のクラスとみると、def-localization-universal-propertyの意味での局所化はちょうど環の局所化 $S^{-1}R$（の乗法群を射とする圏）に一致する。乗法系の公理（def-multiplicative-system）は、この場合、分数 $r/s$（$r\in R$、$s\in S$）の通分規則が矛盾なく定義できることの圏論的な言い換えになっている。
アーベル圏 $\mathcal A$ に対し、$K(\mathcal A)$ における擬同型のクラス $\mathrm{Qis}$ は移動関手と両立する乗法系であり、そのVerdier局所化
$$
D(\mathcal A):=K(\mathcal A)[\mathrm{Qis}^{-1}]
$$
が導来圏である。局所化関手 $Q\colon K(\mathcal A)\to D(\mathcal A)$ は、def-verdier-localizationの性質により擬同型をすべて同型射に送り、しかもその普遍性（def-localization-universal-propertyの(2)）によって特徴づけられる。導来圏の詳細な性質は導来圏に譲る。
