岩澤の類数公式

1：定義の和の形から $\nu_{n,e}$ は整数係数のモニック多項式で、次数は $(p^{n-e}-1)p^e=p^n-p^e$ である。$\mathbb{F}_p[T]$ では $(1+T)^{p^k}=1+T^{p^k}$ なので $\omega_k\equiv T^{p^k}$ であり、$\mathbb{F}_p[T]$ は整域なので $\omega_n=\omega_e\nu_{n,e}$ から $\nu_{n,e}\equiv T^{p^n-p^e}\pmod p$ である。よって最高次以外の係数は $p$ で割り切れる。
2：$\nu_{m,e}=\omega_m/\omega_e=(\omega_m/\omega_n)(\omega_n/\omega_e)$ である。$\square$

$\lvert E/\nu E\rvert$ は直和成分ごとの位数の積なので、成分ごとに調べる。$n>e$ とし、$\nu:=\nu_{n,e}$、$N:=p^n-p^e=\deg\nu$ とする（lem-icnf-nu）。
$\Lambda$ の成分。$\Lambda/(\nu)$ は階数 $N\ge1$ の自由 $\mathbb{Z}_p$ 加群で無限なので、仮定から $r=0$ である。
$V=\Lambda/(p^k)$ の成分。$\nu$ による割り算から、$\Lambda/(p^k,\nu)$ の元は $\deg< N$ の多項式を $\bmod p^k$ で見たものとただ一通りに対応し、$\lvert V/\nu V\rvert=p^{kN}=p^{kp^n-kp^e}$ である。
$V=\Lambda/(g)$ の成分（$g$ は次数 $d$ の distinguished 多項式）。$V$ は階数 $d$ の自由 $\mathbb{Z}_p$ 加群なので $p$ 倍は $V$ 上で単射であり、$V/pV=\Lambda/(p,g)=\Lambda/(p,T^d)$ の位数は $p^d$ である。$T^d\equiv-(a_{d-1}T^{d-1}+\dots+a_0)\in p\Lambda\pmod g$ なので、$k\ge d$ なら $T^k\in p\Lambda+g\Lambda$ である。$p^n\ge d$ とすると、$\binom{p^n}{i}$（$0< i< p^n$）は $p$ で割り切れるので $(1+T)^{p^n}\equiv1+pQ$（$Q\in\Lambda$）$\pmod g$ であり、$p$ 乗して $(1+T)^{p^{n+1}}\equiv1+p^2Q'\pmod g$ である。よって
$$ \frac{\omega_{n+2}}{\omega_{n+1}}=\sum_{j=0}^{p-1}(1+T)^{jp^{n+1}}\equiv p+p^2Q''=p(1+pQ'')\pmod g $$
であり、$1+pQ''$ は $\Lambda$ の単元（定数項が単元）である。lem-icnf-nu の 2 により $\nu_{n+2,e}=(\omega_{n+2}/\omega_{n+1})\nu_{n+1,e}$ なので、$\nu_{n+2,e}V=p\,\nu_{n+1,e}V$ である。したがって
$$ \lvert V/\nu_{n+2,e}V\rvert=\lvert V/pV\rvert\cdot\lvert pV/p\,\nu_{n+1,e}V\rvert=p^d\,\lvert V/\nu_{n+1,e}V\rvert $$
（$p$ 倍が単射なので $pV/p\,\nu_{n+1,e}V\cong V/\nu_{n+1,e}V$）である。$p^{n_1}\ge d$ かつ $n_1\ge e$ となる $n_1$ をとると、仮定から $V/\nu_{n_1+1,e}V$ は有限で、$n\ge n_1+1$ について $\lvert V/\nu_{n,e}V\rvert=p^{d(n-n_1-1)}\lvert V/\nu_{n_1+1,e}V\rvert=p^{dn+c_V}$ となる。
各成分の指数を足し合わせると主張を得る（$n_0$ はすべての成分で上の式が成り立つ $n$ の下限）。$\square$

$\nu_n:=\nu_{n,e}$ とし、短完全列 $0\to\nu_nY\to Y\to Y/\nu_nY\to0$ と $0\to\nu_nE\to E\to E/\nu_nE\to0$ の間の $\varphi$ が誘導する写像を $\varphi'_n\colon\nu_nY\to\nu_nE$、$\varphi''_n\colon Y/\nu_nY\to E/\nu_nE$ とする。蛇の補題 により
$$ 0\to\ker\varphi'_n\to\ker\varphi\to\ker\varphi''_n\to\operatorname{coker}\varphi'_n\to\operatorname{coker}\varphi\to\operatorname{coker}\varphi''_n\to0 $$
は完全である。
$\operatorname{coker}\varphi''_n$ は有限な $\operatorname{coker}\varphi$ の商なので有限であり、$Y/\nu_nY$ も有限なので $E/\nu_nE$ も有限である。$R\subset E$ を $\operatorname{coker}\varphi$ の代表系（有限集合）とすると $\nu_nE=\nu_n\varphi(Y)+\nu_nR$ なので、$\operatorname{coker}\varphi'_n=\nu_nE/\varphi(\nu_nY)$ の元の個数は $\lvert R\rvert$ 以下である。$m\ge n$ なら、lem-icnf-nu の 2 により $\nu_m=\nu_{m,n}\nu_n$ であり、$\operatorname{coker}\varphi'_n$ の代表系 $R_n$ について $\nu_mE=\nu_{m,n}(\nu_n\varphi(Y)+R_n)=\varphi(\nu_mY)+\nu_{m,n}R_n$ なので $\lvert\operatorname{coker}\varphi'_m\rvert\le\lvert\operatorname{coker}\varphi'_n\rvert$ である。また $\nu_mY\subset\nu_nY$ なので $\ker\varphi'_m=\ker\varphi\cap\nu_mY\subset\ker\varphi'_n$ である。どちらも $n$ について増えない正の整数なので、ある $n_0$ から先で一定である。
有限群の完全列では位数の交代積が $1$ なので、$\lvert\ker\varphi'_n\rvert\,\lvert\ker\varphi''_n\rvert\,\lvert\operatorname{coker}\varphi\rvert=\lvert\ker\varphi\rvert\,\lvert\operatorname{coker}\varphi'_n\rvert\,\lvert\operatorname{coker}\varphi''_n\rvert$ である。一方 $\lvert Y/\nu_nY\rvert/\lvert E/\nu_nE\rvert=\lvert\ker\varphi''_n\rvert/\lvert\operatorname{coker}\varphi''_n\rvert$ なので、
$$ \frac{\lvert Y/\nu_nY\rvert}{\lvert E/\nu_nE\rvert}=\frac{\lvert\ker\varphi\rvert\,\lvert\operatorname{coker}\varphi'_n\rvert}{\lvert\ker\varphi'_n\rvert\,\lvert\operatorname{coker}\varphi\rvert} $$
は $n\ge n_0$ で一定である。右辺の各項は有限な $\Lambda$ 加群の位数なので $p$ の冪であり、比は $p^c$（$c\in\mathbb{Z}$）の形である。$\square$

lem-icnf-pseudo により $E/\nu_{n,e}E$ はすべての $n>e$ で有限で、$\lvert Y/\nu_{n,e}Y\rvert$ は $n$ が大きいとき $\lvert E/\nu_{n,e}E\rvert$ の $p^{c}$ 倍である。prop-icnf-elementary を $E$ に当てはめればよい。$\square$

thm-icnf-cft の $e$ と $Y$ をとる。$n=e$ では $\nu_{e,e}=1$ なので $X/Y\cong A_e$ は有限である。$n\ge e$ について $\lvert A_n\rvert=\lvert X/\nu_{n,e}Y\rvert=\lvert X/Y\rvert\cdot\lvert Y/\nu_{n,e}Y\rvert$ であり、$Y/\nu_{n,e}Y$ は有限群 $X/\nu_{n,e}Y$ の部分群なので有限である。$\Lambda$ は Noether 環で $X$ は有限生成なので、$Y$ も有限生成である。thm-icnf-algebraic を $Y$ に当てはめると、整数 $c$ と $n_0$ があって $n\ge n_0$ で $\lvert Y/\nu_{n,e}Y\rvert=p^{\mu p^n+\lambda n+c}$ となる。$p^{\nu}:=p^c\lvert X/Y\rvert$ とおけば $e_n=\mu p^n+\lambda n+\nu$ である。$\square$