Weierstrassの因数分解定理
概要
Weierstrassの因数分解定理（Weierstrass factorization theorem）とは、零関数でない整関数 $f$ を、原点での零点の位数 $m$、それ以外の零点 $a_n$（重複度の数だけ並べる）、整関数 $g$ を用いて $f(z)=z^me^{g(z)}\prod_nE_{p_n}(z/a_n)$ と表す定理である。$E_p(z)=(1-z)\exp(z+z^2/2+\cdots+z^p/p)$ は基本因子で、$|z|\le1$ で $|1-E_p(z)|\le|z|^{p+1}$ が成り立つので、$|a_n|\to\infty$ を満たす任意の点列に対し積が収束するように $p_n$ を選べる。とくに $\mathbb{C}$ の中に集積しない点列をちょうど零点にもつ整関数が存在し、$\mathbb{C}$ 上の有理型関数は 2 つの整関数の商になる。
Weierstrassの因数分解定理は、整関数を零点で積に分解する定理である。次数 $d$ の多項式 $f$ は、零点 $a_1,\ldots,a_d$（重複度の数だけ並べる）によって $f(z)=c\prod_{n=1}^d(z-a_n)$ と分解される。零点が無限個ある整関数で同じことをしようとすると、$\prod_n(1-z/a_n)$ は一般には収束しない。Weierstrass は各因子に $\exp$ の補正をかけて積を収束させ、次の 2 つを示した。
- $\mathbb{C}$ の中に集積しない点列を指定すると、ちょうどそこを零点にもつ整関数が存在する。
- 零関数でない整関数は、零点だけから作った積と、零点をもたない整関数 $e^{g}$ との積に書ける。
前者から、$\mathbb{C}$ 上の有理型関数は 2 つの整関数の商であることが従う。
基本因子
整数 $p\ge0$ に対し、整関数 $E_p\colon\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ を
$$
E_0(z):=1-z,\qquad E_p(z):=(1-z)\exp\Bigl(z+\frac{z^2}2+\cdots+\frac{z^p}p\Bigr)\quad(p\ge1)
$$
で定め、Weierstrass の基本因子（elementary factor）という。
$\exp$ は $0$ にならないので、$E_p$ の零点は $z=1$ だけで、1 位である。$0$ でない複素数 $a$ に対し、$E_p(z/a)$ は $z=a$ にだけ 1 位の零点をもつ。
指数の中の多項式は、$|z|<1$ での $-\log(1-z)=z+\frac{z^2}2+\frac{z^3}3+\cdots$ の $p$ 次までの部分和である。したがって $|z|<1$ では $E_p(z)=\exp\bigl(-\sum_{k>p}z^k/k\bigr)$ であり、$z$ が小さいとき $E_p(z)$ は $1$ にきわめて近い。この近さを定量的に述べたのが次の補題で、積の収束はすべてこれに帰着する。
すべての $p\ge0$ と $|z|\le1$ を満たす複素数 $z$ に対し
$$
|1-E_p(z)|\le|z|^{p+1}
$$
が成り立つ。
$p=0$ では $1-E_0(z)=z$ なので等号で成り立つ。$p\ge1$ とし、$q(z):=z+\frac{z^2}2+\cdots+\frac{z^p}p$ とおく。$q'(z)=1+z+\cdots+z^{p-1}$ と $(1-z)q'(z)=1-z^p$ を使うと
$$
E_p'(z)=\bigl(-1+(1-z)q'(z)\bigr)e^{q(z)}=-z^pe^{q(z)}
$$
である。$e^{q(z)}=\sum_{k\ge0}q(z)^k/k!$ を展開すると、$q$ の係数がすべて正なので、$e^{q(z)}$ の Taylor 係数はすべて $0$ 以上である。よって $-E_p'(z)=z^pe^{q(z)}$ の Taylor 係数も $0$ 以上で、$z^p$ より低い次数の係数は $0$ である。
$1-E_p(0)=0$ なので、$1-E_p(z)$ は $-E_p'$ を項別に積分した冪級数であり、$1-E_p(z)=\sum_{k\ge p+1}c_kz^k$（$c_k\ge0$）と書ける。この級数は整関数の Taylor 展開なので全平面で収束する。$z=1$ を代入すると $\sum_kc_k=1-E_p(1)=1$ である。したがって $|z|\le1$ なら
$$
|1-E_p(z)|\le\sum_{k\ge p+1}c_k|z|^k\le|z|^{p+1}\sum_{k\ge p+1}c_k=|z|^{p+1}
$$
である。$\square$
主定理
以下、零点の列 $(a_n)$ は、同じ点をその重複度の回数だけ並べたものとする。$0$ における零点は $z^m$ の因子で別に扱う。
$(a_n)_{n\ge1}$ を $0$ でない複素数の列とし、無限列なら $|a_n|\to\infty$ とする。$m\ge0$ を整数とする。
- 整数の列 $p_n\ge0$ が、すべての $r>0$ について
$$ \sum_{n}\Bigl(\frac r{|a_n|}\Bigr)^{p_n+1}<\infty $$
を満たすとする（この条件を以下 (1) と呼ぶ）。たとえば $p_n=n-1$ は (1) を満たす。このとき無限積 $P(z):=\prod_nE_{p_n}(z/a_n)$ は $\mathbb{C}$ の各コンパクト集合上で一様に絶対収束し、整関数を定める。$z^mP(z)$ の零点は、$a_n$ 全体と（$m\ge1$ のときの）$0$ だけであり、各点 $a\ne0$ での零点の位数は $a_n=a$ となる $n$ の個数、$0$ での位数は $m$ である。 - $f$ が零関数でない整関数で、その零点が、$0$ において位数 $m$、$0$ 以外では重複度を込めて $(a_n)$ であるとする。このとき、1 の $P$ と整関数 $g$ により
$$ f(z)=z^me^{g(z)}\prod_nE_{p_n}\Bigl(\frac z{a_n}\Bigr) $$
と書ける。
列が有限なら積は有限積であり、(1) は自動的に成り立つ。2 の仮定について、零関数でない整関数の零点が無限個あれば、有界な範囲には有限個しかない（整関数 の系「有界な範囲には零点が有限個」）ので、重複度を込めて並べた列は $|a_n|\to\infty$ を満たす。
1：まず $p_n=n-1$ が (1) を満たすことを確かめる。$r>0$ を固定すると、$|a_n|\to\infty$ なので、ある $N$ 以上の $n$ で $|a_n|\ge2r$ である。そのような $n$ では $(r/|a_n|)^{n}\le2^{-n}$ なので、(1) の級数は収束する。
次に積の収束を示す。$R>0$ を固定し、$|a_n|\ge R$ となる番号 $n$ の全体を $I_R$ とおく。補集合は有限集合である。$n\in I_R$ と $|z|\le R$ については $|z/a_n|\le1$ なので、lem-wf-elementary-estimate により
$$
\sup_{|z|\le R}\Bigl|E_{p_n}\Bigl(\frac z{a_n}\Bigr)-1\Bigr|\le\Bigl(\frac R{|a_n|}\Bigr)^{p_n+1}
$$
である。有限個の $n\notin I_R$ については、連続関数 $E_{p_n}(z/a_n)-1$ が閉円板 $|z|\le R$ で有界である。(1) を $r=R$ で使うと
$$
\sum_n\sup_{|z|\le R}\Bigl|E_{p_n}\Bigl(\frac z{a_n}\Bigr)-1\Bigr|<\infty
$$
を得る。$\mathbb{C}$ のコンパクト集合はどれもある閉円板 $|z|\le R$ に含まれるので、$f_n(z):=E_{p_n}(z/a_n)-1$ に 無限積 の定理「正則関数の無限積」を当てられる。その 1 により $P$ は整関数であり、その 2 により $P$ の零点はいずれかの因子 $E_{p_n}(z/a_n)$ の零点、すなわち $a_n$ のどれかに限られ、位数は因子の零点の位数の和である。因子 $E_{p_n}(z/a_n)$ は $a_n$ にだけ 1 位の零点をもつので、$a\ne0$ での $P$ の零点の位数は $a_n=a$ となる $n$ の個数である。$z^m$ を掛けると $0$ に位数 $m$ の零点が加わる。
2：$F(z):=z^mP(z)$ とおく。1 により $F$ と $f$ は同じ点に同じ位数の零点をもつ。$f$ の零点 $b$（位数 $k$）をとると、整関数 の命題「零点の局所因数分解」により、$b$ の近くで $f(z)=(z-b)^ku(z)$、$F(z)=(z-b)^kv(z)$、$u(b)\ne0$、$v(b)\ne0$ と書ける。したがって $f/F=u/v$ は $b$ の近くで正則に延び、$b$ で $0$ にならない。$f$ の零点の外では $F\ne0$ なので、$f/F$ は零点をもたない整関数 $h$ に延びる。整関数 の命題「零点をもたない整関数」により $h=ce^{G}$（$c\ne0$、$G$ は整関数）と書ける。$c=e^{c'}$ となる $c'$ をとり $g:=G+c'$ とおけば、$f=Fh=z^me^{g}P$ である。$\square$
2 の $g$ は一意ではない。$p_n$ の選び方を変えると $P$ が変わり、それに応じて $g$ も変わる。$p_n$ を固定しても、$g$ には $2\pi i$ の整数倍を加える自由が残る。
thm-wf-main は Ahl66 Chapter 5 §2.3, Theorem 7（pp. 193–194）にあたる。そこでは基本因子の評価のかわりに、$\log(1-z/a_n)$ の Taylor 展開の剰余を評価して積の収束を示している。基本因子の評価と $p_n=n-1$ の選び方は Leb26 Lemma 8.2.3（p. 200）、Theorem 8.2.4（p. 201）、Corollary 8.2.5（p. 202）と同じである。
$\mathbb{C}$ 上の有理型関数 $F$ に対し、整関数 $g,h$（$h$ は零関数でない）があって $F=g/h$ となる。したがって $\mathbb{C}$ 上の有理型関数のなす体は、整関数のなす整域の商体である。
$F$ の極の集合は $\mathbb{C}$ の中に集積しないので、どの有界な範囲にも有限個しかない。極を位数の回数だけ並べた列（$0$ が極なら別に位数 $m$ とする）に thm-wf-main の 1 を当てると、$F$ の極にちょうど同じ位数の零点をもつ整関数 $h$ が得られる。$F$ の極 $b$（位数 $k$）の近くで $F(z)=(z-b)^{-k}u(z)$、$h(z)=(z-b)^kv(z)$（$u,v$ は正則）と書けるので、$Fh=uv$ は $b$ で正則に延びる。極の外では $Fh$ はもともと正則である。よって $g:=Fh$ は整関数で、$F=g/h$ である。
後半：整関数の全体 $\mathcal{O}(\mathbb{C})$ は整域である（一致の定理 の系「正則関数のなす環は整域」）。有理型関数の全体 $\mathfrak{M}(\mathbb{C})$ は $\mathcal{O}(\mathbb{C})$ を含む体であり（有理型関数 の命題「有理型関数のなす体」）、前半によりそのすべての元が $\mathcal{O}(\mathbb{C})$ の元の商になる。したがって $\mathfrak{M}(\mathbb{C})$ は $\mathcal{O}(\mathbb{C})$ の商体である。$\square$
前半は Ahl66 Chapter 5 §2.3 の Theorem 7 の Corollary（p. 194）である。
例
$\sin\pi z$ の零点は整数全体で、すべて 1 位である。$a_n$ を $0$ でない整数とすると、$\sum_{n\ne0}1/n^2<\infty$ なので $p_n=1$ が (1) を満たし、thm-wf-main の 2 により
$$
\sin\pi z=z\,e^{g(z)}\prod_{n\ne0}\Bigl(1-\frac zn\Bigr)e^{z/n}
$$
と書ける。$n$ と $-n$ の因子を組にすると $\bigl(1-\frac zn\bigr)e^{z/n}\bigl(1+\frac zn\bigr)e^{-z/n}=1-\frac{z^2}{n^2}$ となり、指数の補正は打ち消し合う。$e^{g}$ が定数 $\pi$ であること、すなわち $\sin\pi z=\pi z\prod_{n\ge1}(1-z^2/n^2)$ は、無限積 の定理「正弦関数の無限積表示」で証明されている。$g$ を決めるには零点以外の情報（そこでは余接関数の部分分数展開）が要る。
$1/\Gamma$ は整関数で、零点は $0,-1,-2,\ldots$、すべて 1 位である（Γ関数 の注意「乗積表示による解析接続」）。同じ記事の定理「Weierstrass の乗積表示」とその注意により、すべての $z$ で
$$
\frac1{\Gamma(z)}=z\,e^{\gamma z}\prod_{n\ge1}\Bigl(1+\frac zn\Bigr)e^{-z/n}
$$
である（$\gamma$ は Eulerの定数）。これは $a_n=-n$、$p_n=1$、$m=1$、$g(z)=\gamma z$ とした thm-wf-main の表示である。正弦関数と違い、零点が片側にしかないので補正 $e^{-z/n}$ は打ち消し合わず、$\sum_n1/n=\infty$ のためにまとめて省くことはできない（$\prod_n(1+z/n)$ は $z=1$ で発散する）。
$e^z$ と $e^{z^2}$ はどちらも零点をもたない整関数で、thm-wf-main の 2 では $P=1$、$m=0$、$g(z)=z$ または $z^2$ である。零点が同じ整関数どうしは $e^{g}$ の因子だけ違いうる。逆に $f_1,f_2$ が同じ零点を同じ位数でもてば、$f_1/f_2$ は零点をもたない整関数に延び、$e^{g}$ の形である。
$a_n:=\log(n+1)$（$n\ge1$）とする。$a_n\to\infty$ なので thm-wf-main により、ちょうどこれらを 1 位の零点にもつ整関数がある（$p_n=n-1$）。一方、どの整数 $h\ge0$ についても $(\log(n+1))^{h+1}\le n+1$ が十分大きい $n$ で成り立つので、$\sum_n|a_n|^{-h-1}\ge\sum_n\frac1{n+1}$ の尾部で発散する。すなわち $p_n=h$ と一定にしても (1) は成り立たない。零点がゆっくり無限遠へ向かうときは、番号とともに $p_n$ を大きくとる必要がある。
零点を指定できることは、値の指定にも使える。
$(a_n)$ を相異なる複素数の列で、無限列なら $|a_n|\to\infty$ とする。任意の複素数の列 $(A_n)$ に対し、$F(a_n)=A_n$（すべての $n$）を満たす整関数 $F$ が存在する。
thm-wf-main の 1（$0$ が $a_n$ に含まれるなら $m=1$ として）により、$a_n$ 全体にちょうど 1 位の零点をもつ整関数 $f$ をとる。$f'(a_n)\ne0$ である。$A_n\ne0$ となる $a_n$ の集合 $A$ は $\mathbb{C}$ の中に集積しない。Mittag-Lefflerの定理 の定理「Mittag-Leffler の定理（複素平面）」により、$A$ の各点 $a_n$ で主要部が $\dfrac{A_n}{f'(a_n)(z-a_n)}$、それ以外に極をもたない有理型関数 $\varphi$ がある。$F:=f\varphi$ とおく。
$a_n\in A$ の近くで $\varphi(z)=\dfrac{A_n}{f'(a_n)(z-a_n)}+\psi(z)$（$\psi$ は正則）、$f(z)=f'(a_n)(z-a_n)+(z-a_n)^2k(z)$（$k$ は正則）と書くと
$$
F(z)=A_n+(z-a_n)\frac{A_nk(z)}{f'(a_n)}+f(z)\psi(z)
$$
なので、$F$ は $a_n$ で正則に延びて $F(a_n)=A_n$ である。$A_n=0$ の $a_n$ では $\varphi$ は正則で、$F(a_n)=f(a_n)\varphi(a_n)=0=A_n$ である。$\varphi$ の極は $A$ の点だけなので、$F$ は整関数である。$\square$
種数と位数
thm-wf-main の $p_n$ をすべて同じ値にとれると、表示は簡潔になる。
$0$ でない複素数の列 $(a_n)$ について、$\sum_n|a_n|^{-h-1}<\infty$ となる整数 $h\ge0$ があるとき、その最小のものを $h$ とし、$\prod_nE_h(z/a_n)$ を $(a_n)$ の標準乗積（canonical product）、$h$ をその種数という。$p_n=h$ は (1) を満たすので、標準乗積は整関数である。零関数でない整関数 $f$ の零点の列が標準乗積をもち、thm-wf-main の 2 の表示で $p_n=h$ ととったときの $g$ が多項式であれば、$f$ は有限の種数をもつといい、$g$ の次数と $h$ の大きい方を $f$ の種数という。
ex-wf-sine の $\sin\pi z$ は種数 $1$、多項式は種数 $0$ である。整関数 $f$ の位数を、$M(r):=\max_{|z|=r}|f(z)|$ により $\lambda:=\limsup_{r\to\infty}\dfrac{\log\log M(r)}{\log r}$ と定める。Hadamard の定理（Hadamardの因数分解定理 の定理「Hadamard の因数分解定理」）は、位数 $\lambda$ が有限なら $f$ は有限の種数 $\mu$ をもち $\mu\le\lambda\le\mu+1$ であることを主張する。その系として、位数が有限で整数でない整関数は、すべての複素数の値を無限回とる（証明は Hadamardの因数分解定理 の系「位数が整数でない整関数の値」にある。Ahl66 Chapter 5 §3.2, Theorem 8 と Corollary、pp. 207–210）。たとえば $\cos\sqrt z:=\sum_{k\ge0}(-z)^k/(2k)!$ は、$|z|=r$ で絶対値が $\sum_kr^k/(2k)!=\cosh\sqrt r$ 以下であり、$z=-r$ で等号が成り立つので $M(r)=\cosh\sqrt r$ となり、位数 $\frac12$ の整関数である。この系は、定数でない整関数が除外できる値は高々 1 つだという Picardの小定理 と比べると、位数の情報から「除外値がない」だけでなく「各値を無限回とる」まで言えることを示している。
開集合での形
$\mathbb{C}$ の任意の開集合 $U$ でも、$U$ の中に集積点をもたない点列と各点の重複度を指定すると、ちょうどそこに指定の位数の零点をもつ $U$ 上の正則関数が存在する。零点が $U$ の境界に近づくので、境界に近い零点 $a_n$ の因子は $E_{p_n}\bigl((a_n-b_n)/(z-b_n)\bigr)$（$b_n$ は $a_n$ に最も近い境界の点）の形に変え、残りの零点（下で見るように無限遠へ向かう）には整関数の場合の因子を使う。
構成の筋は次のとおりである。$U\ne\mathbb{C}$ とし、$d(z)$ を $z$ から $\mathbb{C}\setminus U$ までの距離とする。$d(a_n)<\frac1{|a_n|+1}$ を満たす零点を「境界に近い零点」、残りを「無限遠へ向かう零点」と呼んで分ける。境界に近い零点では $d(a_n)\to0$ である（そうでなければ $d(a_n)>\varepsilon$ となる部分列があり、$|a_n|<\frac1\varepsilon-1$ なので有界で、境界から $\varepsilon$ 以上離れた集積点が $U$ の中にできてしまう）。$b_n\in\mathbb{C}\setminus U$ を $|a_n-b_n|=d(a_n)$ となるようにとる。コンパクト集合 $K\subset U$ と $z\in K$ について $\bigl|(a_n-b_n)/(z-b_n)\bigr|\le d(a_n)/\delta_K$（$\delta_K>0$ は $K$ と $\mathbb{C}\setminus U$ の距離）なので、十分大きい $n$ でこれは $\frac12$ 以下になり、$p_n=n$ とすると lem-wf-elementary-estimate により因子と $1$ の差は $K$ 上で $2^{-(n+1)}$ 以下である。よってこの積は $U$ のコンパクト集合上で一様に収束する。各因子は $U$ 上正則で、$E_n(w)=0$ となるのは $w=1$ のときだけなので、零点は $z=a_n$ だけである。無限遠へ向かう零点は、$|a_n|\le r$ なら $d(a_n)\ge\frac1{r+1}$ を満たすので、$|z|\le r$ かつ $d(z)\ge\frac1{r+1}$ を満たす点の集合は $U$ に含まれるコンパクト集合であり、零点の列はそこに有限個しか入らない。したがって $|a_n|\to\infty$ であり、thm-wf-main の 1 の整関数（$0$ にある零点は $z^m$ の因子）が使える。2 つの積の積が求める関数である。その帰結として、$U$ 上の有理型関数は $U$ 上の 2 つの正則関数の商になる（構成の詳細は Leb26 Theorem 8.2.7, pp. 205–206、商の表示は Corollary 8.2.8, p. 207）。多変数での類似は Cousin問題 の第 2 問題で、そこでは大域的な障害が現れる。
反例：条件を外すと
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 収束因子（$p_n=0$ に固定する） | $a_n=n$（$n\ge1$） | $\prod_n(1-z/n)$ は $z=-1$ で発散し、整関数を定めない |
| 零点が $\mathbb{C}$ の中に集積しないこと | $a_n=1/n$ | 指定した零点をもつ零関数でない整関数が存在しない |
| 定義域が $\mathbb{C}$ 全体（thm-wf-main の 2 の最後の段） | $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 上の $f(z)=z$ | 零点をもたない正則関数が $e^{g}$ と書けず、$f=e^{g}\cdot(\text{零点の積})$ の表示が崩れる |
表の 3 行を順に確かめる。
詳細
1 行目：$z=-1$ での因子は $1+\frac1n$ で、$\sum_n\frac1n=\infty$ なので、無限積 の定理「正の項の無限積」の 1 により積は収束しない。一方 $p_n=1$ なら $\sum_n(r/n)^2<\infty$ なので (1) が成り立ち、$\prod_n(1-z/n)e^{z/n}$ は整関数である。
2 行目：整関数 $f$ がすべての $1/n$ で $0$ なら、零点 $1/n$ は $0$ に集積するので、一致の定理 の定理「平面の領域上の一致の定理」により $f$ は恒等的に $0$ である。$\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 上なら $1/\Gamma(-1/z)$ がちょうど $1/n$（$n\ge1$）を 1 位の零点にもつので（Γ関数 の注意「乗積表示による解析接続」）、集積点が定義域の外にあれば零点の指定はできる。
3 行目：$f(z)=z$ は $\mathbb{C}\setminus\{0\}$ 上で零点をもたないので、零点の積は空の積 $1$ であり、表示は $z=e^{g(z)}$ となるはずである。そのような正則関数 $g$ がないことは 整関数 の例「反例：穴のある領域では零点がなくても対数がとれない」で示されている。証明の 2 で使った「零点をもたない整関数は $ce^{G}$ と書ける」は、定義域が $\mathbb{C}$ 全体であることに依存している。
使われ方
- 加法の問題との対. 極と主要部を指定するのが Mittag-Lefflerの定理、零点と位数を指定するのがこの定理である。cor-wf-interpolation のように、両者を組み合わせると値の指定もできる。
- 整関数の値の分布. 零点の分布と増大度を結びつける Hadamard の定理や、Jensen の公式に始まる Nevanlinna理論 は、この表示を出発点にしている。
- 特殊関数. Γ関数の逆数や正弦関数は、零点から作る積として表示される（ex-wf-sine、ex-wf-gamma）。
関連項目
- 前提: 整関数, 無限積, 零点の位数
- 対概念: Mittag-Lefflerの定理
- 例: Γ関数, 有理型関数
- 発展: Picardの小定理, Nevanlinna理論, Cousin問題
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
