加法圏
概要
加法圏（additive category）とは、各Hom集合にアーベル群の構造が入り合成がその構造について双線型であるような圏（前加法圏）であって、さらに零対象を持ち、任意の二対象が双積（有限直積かつ有限余積を同時に与える対象）を持つものをいう。アーベル圏の代数的な土台であり、行列による射の計算がそのまま正当化される。
定義
圏 $\mathcal C$ が前加法圏（preadditive category, Ab-category）であるとは、各対象 $A,B$ に対し Hom集合 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A,B)$ にアーベル群の構造が与えられており、合成写像
$$
\operatorname{Hom}(B,C)\times\operatorname{Hom}(A,B)\longrightarrow\operatorname{Hom}(A,C)
$$
が双線型であること、すなわち任意の $f,f'\colon A\to B$ と $g,g'\colon B\to C$ に対して
$$
g\circ(f+f')=g\circ f+g\circ f',\qquad (g+g')\circ f=g\circ f+g'\circ f
$$
が成り立つことをいう。
前加法圏 $\mathcal C$ の対象 $A,B$ に対して、対象 $A\oplus B$ と 4 つの射
$$
\iota_A\colon A\to A\oplus B,\quad \iota_B\colon B\to A\oplus B,\quad p_A\colon A\oplus B\to A,\quad p_B\colon A\oplus B\to B
$$
の組が双積（biproduct）であるとは、次の等式をすべて満たすことをいう。
$$
p_A\iota_A=\operatorname{id}_A,\qquad p_B\iota_B=\operatorname{id}_B,\qquad p_A\iota_B=0,\qquad p_B\iota_A=0,\qquad \iota_Ap_A+\iota_Bp_B=\operatorname{id}_{A\oplus B}.
$$
ここで $\operatorname{id}$ は恒等射、$0$ は零射を表す。$\iota_A,\iota_B$ を入射、$p_A,p_B$ を射影とよぶ。
前加法圏 $\mathcal C$ が加法圏（additive category）であるとは、$\mathcal C$ が零対象を持ち、かつ任意の 2 つの対象 $A,B$ に対して双積 $A\oplus B$ が存在することをいう。
加法圏の間の関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ が加法的（additive）である、あるいは $F$ が加法関手（additive functor）であるとは、各 $\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A,B)\to\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(FA,FB)$、$f\mapsto F(f)$ がアーベル群の準同型であることをいう。これは、$F$ が双積を保つこと（def-additive-biproduct の等式を満たす組 $(A\oplus B,\iota_A,\iota_B,p_A,p_B)$ を、同じ等式を満たす組 $(F(A\oplus B),F\iota_A,F\iota_B,Fp_A,Fp_B)$ に送ること）と同値である（Mac98 VIII）。
直感
加法圏は、$\mathbb Z$ 加群や体上のベクトル空間で当たり前に使う「射を足し合わせる」「直和を作る」という操作を、圏論の言葉だけで公理化したものである。Hom集合が単なる集合ではなくアーベル群であることが前加法圏の核心であり、そこに零対象と双積という圏論的な骨組みを加えることで、行列を使った計算がそのまま正当化される環境が整う。
双積という 1 つの構成が、圏論的な積（積(圏論)）であり同時に余積（余積(圏論)）でもあるという事実は、$\mathbf{Set}$ のような一般の圏ではふつう成り立たない現象である。直積 $A\times B$（要素の組を作る）と直和・非交和 $A\sqcup B$（要素を単純に合体させる）はふつう別の構成だが、加法圏では加法構造のおかげでこの 2 つが同じ対象として実現される。
例
$\mathbf{Grp}$（群と群準同型の圏）は加法圏ではない。$\mathbf{Grp}$ は零対象（自明群）を持ち、任意の 2 つの対象 $G,H$ の積（直積 $G\times H$）と余積（自由積 $G*H$）も持つ。しかし prop-additive-biproduct-is-product-coproduct により加法圏では有限積が同時に余積でもあるのに対し、$\mathbf{Grp}$ では積 $\mathbb Z\times\mathbb Z$（可換群）と余積 $\mathbb Z*\mathbb Z$（階数 $2$ の自由群、非可換）が同型でない。すなわち $\mathbf{Grp}$ は「零対象・有限積・有限余積を持つ」という性質は満たすが「双積を持つ」という性質を満たさず、「零対象と有限積・有限余積を持つ圏は加法圏である」という含意は成り立たない。
$\mathbf{Set}$ はさらに根本的である。$\mathbf{Set}$ は零対象を持たない（始対象 $\emptyset$ と終対象 $\{*\}$ が同型でない）ので加法圏でない。前加法圏でもない：$A\ne\emptyset$ なら $\operatorname{Hom}(A,\emptyset)=\emptyset$ であり、空集合はアーベル群になり得ない（アーベル群は零元を持つ）。すなわち $\mathbf{Set}$ は「零対象を持つ」「各 Hom集合がアーベル群である」のいずれも満たさない（Mac98 VIII）。
性質
前加法圏における双積 $(A\oplus B,\,\iota_A,\iota_B,p_A,p_B)$ は、射影 $p_A,p_B$ に関して $A,B$ の圏論的積であり、同時に入射 $\iota_A,\iota_B$ に関して $A,B$ の圏論的余積である。
まず積であることを示す。対象 $X$ と射 $f\colon X\to A$、$g\colon X\to B$ が任意に与えられたとき、$h:=\iota_Af+\iota_Bg\colon X\to A\oplus B$ とおく。双積の等式と、零射との合成が零射になること（$0\circ g=0$、$0\circ f=0$）を用いると
$$
p_Ah=p_A\iota_Af+p_A\iota_Bg=\operatorname{id}_A\circ f+0\circ g=f,\qquad p_Bh=p_B\iota_Af+p_B\iota_Bg=0\circ f+\operatorname{id}_B\circ g=g
$$
となり、$h$ は $p_Ah=f,\ p_Bh=g$ を満たす。一意性については、$h'\colon X\to A\oplus B$ も同じ等式 $p_Ah'=f,\ p_Bh'=g$ を満たすとすると、
$$
h'=\operatorname{id}_{A\oplus B}\circ h'=(\iota_Ap_A+\iota_Bp_B)\circ h'=\iota_A(p_Ah')+\iota_B(p_Bh')=\iota_Af+\iota_Bg=h
$$
となるので $h'=h$。ゆえに $A\oplus B$ は $p_A,p_B$ に関して $A,B$ の積の普遍性を満たす。
余積であることも双対的に示せる。対象 $Y$ と射 $f'\colon A\to Y$、$g'\colon B\to Y$ に対し $k:=f'p_A+g'p_B\colon A\oplus B\to Y$ とおくと、
$$
k\iota_A=f'p_A\iota_A+g'p_B\iota_A=f'\circ\operatorname{id}_A+g'\circ 0=f',\qquad k\iota_B=f'p_A\iota_B+g'p_B\iota_B=f'\circ 0+g'\circ\operatorname{id}_B=g'
$$
であり、$k'$ が同じ等式 $k'\iota_A=f',\ k'\iota_B=g'$ を満たすなら
$$
k'=k'\circ\operatorname{id}_{A\oplus B}=k'\circ(\iota_Ap_A+\iota_Bp_B)=(k'\iota_A)p_A+(k'\iota_B)p_B=f'p_A+g'p_B=k
$$
となり $k'=k$。ゆえに $A\oplus B$ は $\iota_A,\iota_B$ に関して $A,B$ の余積の普遍性も満たす。$\blacksquare$
これにより、加法圏では直積・余積という 2 つの異なる圏論的操作が同じ対象 $A\oplus B$ として一体化する。この一体化こそが加法圏を単なる「積と余積を持つ圏」から区別する本質である。
加法圏 $\mathcal C$ において、対象の有限列 $A_1,\dots,A_m$ の有限双積とは、対象 $A$ と射 $\iota_k\colon A_k\to A$、$p_k\colon A\to A_k$（$1\le k\le m$）の組であって、$p_k\iota_l=\delta_{kl}\operatorname{id}$（$k=l$ なら $\operatorname{id}_{A_k}$、$k\ne l$ なら $0$）かつ $\sum_{k=1}^m\iota_kp_k=\operatorname{id}_A$ を満たすものをいい、$A=A_1\oplus\cdots\oplus A_m$ と書く（二項の双積を繰り返し作れば得られる）。$A=A_1\oplus\cdots\oplus A_m$、$B=B_1\oplus\cdots\oplus B_n$ をそれぞれ有限双積とし、対応する入射・射影を $\iota_k,p_k$ と書く。このとき射 $f\colon A\to B$ は、成分
$$
f_{ji}:=p_j\circ f\circ\iota_i\colon A_i\to B_j\qquad(1\le i\le m,\ 1\le j\le n)
$$
からなる $n\times m$ 行列 $(f_{ji})$ によって一意に復元される。逆にどのような成分の族 $(f_{ji})_{j,i}$ に対しても、それを成分とする射 $f$ が一意に存在する。さらに $g\colon B\to C$（$C=C_1\oplus\cdots\oplus C_\ell$）との合成の成分は、対応する行列の積
$$
(g\circ f)_{ki}=\sum_{j=1}^n g_{kj}f_{ji}
$$
に一致する。
有限双積の定義より $\sum_{i=1}^m\iota_ip_i=\operatorname{id}_A$、$\sum_{j=1}^n\iota_jp_j=\operatorname{id}_B$ が成り立つ。これを用いると
$$
f=\operatorname{id}_B\circ f\circ\operatorname{id}_A=\Bigl(\sum_{j=1}^n\iota_jp_j\Bigr)\circ f\circ\Bigl(\sum_{i=1}^m\iota_ip_i\Bigr)=\sum_{j,i}\iota_j\circ(p_jf\iota_i)\circ p_i=\sum_{j,i}\iota_j\circ f_{ji}\circ p_i
$$
となり、$f$ は成分 $(f_{ji})$ から式 $f=\sum_{j,i}\iota_jf_{ji}p_i$ によって復元される。逆に成分の族 $(f_{ji})$ を任意に与え $f:=\sum_{j,i}\iota_jf_{ji}p_i$ とおくと、有限双積の直交関係 $p_k\iota_i=\delta_{ki}\operatorname{id}$ を用いて $p_kf\iota_l=f_{kl}$ が確かめられ、成分がもとの $(f_{ji})$ に一致する射が実際に存在することが分かる。
合成の成分については、
$$
(g\circ f)_{ki}=p_k(g\circ f)\iota_i=p_kg\Bigl(\sum_{j=1}^n\iota_jp_j\Bigr)f\iota_i=\sum_{j=1}^n(p_kg\iota_j)(p_jf\iota_i)=\sum_{j=1}^ng_{kj}f_{ji}
$$
となり、行列積の公式そのものが得られる。$\blacksquare$
この行列表示により、加法圏における有限個の対象の間の射の計算は、通常の行列計算と完全に同じ規則に従う。圏の「行列の圏」の例は、この一般論を「対象が単一の生成対象の有限直和ですべて尽くされる」特別な加法圏として回収したものである。
関連項目
参考文献
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