Van Aubelの定理（三角形）

Cevaの定理（高校数学） の最初の例と同じく、$A(0,0)$、$B(6,0)$、$C(0,6)$ と内部の点 $P(2,3)$ をとる。同記事で求めたとおり、直線 $AP$、$BP$、$CP$ と向かい合う辺の交点は
$$ D\left(\frac{12}5,\frac{18}5\right),\qquad E\left(0,\frac92\right),\qquad F(4,0) $$
である。
(1) 辺の比。$AF=4$、$FB=2$ なので $\dfrac{AF}{FB}=2$ である。$E$ は $y$ 軸の上にあり、$AE=\dfrac92$、$EC=6-\dfrac92=\dfrac32$ なので $\dfrac{AE}{EC}=3$ である。
(2) $P$ が線分 $AD$ を分ける比。$\overrightarrow{AD}=\left(\dfrac{12}5,\dfrac{18}5\right)$、$\overrightarrow{AP}=(2,3)$ で、$\overrightarrow{AP}=\dfrac56\overrightarrow{AD}$ である。よって $AP:PD=5:1$、つまり
$$ \frac{AP}{PD}=5 $$
である。
(3) 比べる。(1) の 2 つの比の和は $2+3=5$ で、(2) の $\dfrac{AP}{PD}$ と一致する。

$A(3,6)$、$B(0,0)$、$C(6,0)$ と、内部の点 $P(4,2)$ をとる。
(1) 直線 $AP$ は $A(3,6)$ から方向 $(1,-4)$ に進む直線で、$y=0$ となるのは $6-4t=0$、$t=\dfrac32$ のときなので、$D\left(\dfrac92,0\right)$ である。$P$ は $t=1$、$D$ は $t=\dfrac32$ の点なので $AP:PD=1:\dfrac12$、つまり $\dfrac{AP}{PD}=2$ である。
(2) 直線 $CP$ は $C(6,0)$ と $P(4,2)$ を通る直線 $x+y=6$ である。辺 $AB$ は直線 $y=2x$ なので、$x+2x=6$ より $F(2,4)$ である。$\overrightarrow{AF}=(-1,-2)$、$\overrightarrow{FB}=(-2,-4)$ で $\overrightarrow{FB}=2\overrightarrow{AF}$ なので、$\dfrac{AF}{FB}=\dfrac12$ である。
(3) 直線 $BP$ は $y=\dfrac12x$ である。辺 $CA$ は直線 $y=-2x+12$ なので、$\dfrac12x=-2x+12$ より $x=\dfrac{24}5$、$E\left(\dfrac{24}5,\dfrac{12}5\right)$ である。$\overrightarrow{AE}=\left(\dfrac95,-\dfrac{18}5\right)$、$\overrightarrow{EC}=\left(\dfrac65,-\dfrac{12}5\right)$ で $\overrightarrow{AE}=\dfrac32\overrightarrow{EC}$ なので、$\dfrac{AE}{EC}=\dfrac32$ である。
(4) $\dfrac{AF}{FB}+\dfrac{AE}{EC}=\dfrac12+\dfrac32=2=\dfrac{AP}{PD}$ で、ここでも一致する。

ex-vat-start2 の $A(3,6)$、$B(0,0)$、$C(6,0)$、$P(4,2)$ で面積を計算する。$\triangle ABC=\dfrac12\cdot6\cdot6=18$ である。$S_a=\triangle PBC$ は底辺 $BC=6$（$x$ 軸の上）、高さ $2$ なので $S_a=6$ である。$S_c=\triangle PAB$ は、$\overrightarrow{BA}=(3,6)$、$\overrightarrow{BP}=(4,2)$ から $\dfrac12\lvert3\cdot2-6\cdot4\rvert=9$ である。残りは $S_b=18-6-9=3$ である。
(1) lem-vat-whole：$\dfrac{\triangle ABC}{\triangle PBC}=\dfrac{18}6=3$ で、$AD:PD=\dfrac32:\dfrac12=3$（ex-vat-start2 (1) の $t$ の値）と一致する。
(2) lem-vat-side：$\dfrac{S_b}{S_a}=\dfrac36=\dfrac12=\dfrac{AF}{FB}$、$\dfrac{S_c}{S_a}=\dfrac96=\dfrac32=\dfrac{AE}{EC}$ で、ex-vat-start2 の値と一致する。

ex-vat-start2 の三角形で、$S_a=6$、$S_b=3$、$S_c=9$ である。
(1) 頂点 $A$：$\dfrac{S_b+S_c}{S_a}=\dfrac{12}6=2$ で、$\dfrac{AP}{PD}=2$、$\dfrac{AF}{FB}+\dfrac{AE}{EC}=\dfrac12+\dfrac32=2$ である。
(2) 頂点 $B$：$\dfrac{BP}{PE}=\dfrac{S_c+S_a}{S_b}=\dfrac{15}3=5$、右辺は $\dfrac{BD}{DC}+\dfrac{BF}{FA}=3+2=5$ である。
(3) 頂点 $C$：$\dfrac{CP}{PF}=\dfrac{S_a+S_b}{S_c}=\dfrac99=1$、右辺は $\dfrac{CE}{EA}+\dfrac{CD}{DB}=\dfrac23+\dfrac13=1$ である。

$B(0,0)$、$C(14,0)$、$A(5,12)$ の三角形（$a=14$、$b=15$、$c=13$）を使う。
(1) 重心 $G\left(\dfrac{19}3,4\right)$、辺 $BC$ の中点 $D(7,0)$ で、$\overrightarrow{AG}=\left(\dfrac43,-8\right)$、$\overrightarrow{GD}=\left(\dfrac23,-4\right)$ なので $\dfrac{AG}{GD}=2$ である。
(2)(3) 内心 $I(6,4)$ では $\dfrac{b+c}a=\dfrac{28}{14}=2$、垂心 $H\left(5,\dfrac{15}4\right)$ では $\dfrac{\cos A}{\cos B\cos C}=\dfrac{11}5$ で、どちらも座標で求めた $\dfrac{AI}{ID}$、$\dfrac{AH}{HD}$ と一致する。

$P\left(-\dfrac32,\dfrac92\right)$ は $x<0$ なので三角形の外（辺 $CA$ の向こう側）にある。直線 $AP$、$BP$、$CP$ と直線 $BC$、$CA$、$AB$ の交点は
$$ D(-3,9),\qquad E\left(0,\frac{18}5\right),\qquad F(-6,0) $$
である（図 4）。$D$ は辺 $BC$ の $C$ の側の延長に、$F$ は辺 $AB$ の $A$ の側の延長にある。
(1) 長さの比。$\overrightarrow{AP}=\left(-\dfrac32,\dfrac92\right)$、$\overrightarrow{PD}=\left(-\dfrac32,\dfrac92\right)$ なので $\dfrac{AP}{PD}=1$ である。$AF=6$、$FB=12$ なので $\dfrac{AF}{FB}=\dfrac12$、$AE=\dfrac{18}5$、$EC=\dfrac{12}5$ なので $\dfrac{AE}{EC}=\dfrac32$ である。右辺は $\dfrac12+\dfrac32=2$ で、左辺の $1$ と一致しない。
(2) 向きを考えた比。$\overrightarrow{AF}=(-6,0)$、$\overrightarrow{FB}=(12,0)$ で、$\overrightarrow{AF}=-\dfrac12\overrightarrow{FB}$ である。向きが逆なので、比に負の符号をつけて $-\dfrac12$ とすると、$-\dfrac12+\dfrac32=1$ となり左辺と一致する。この「符号つきの比」で等式が回復することを thm-vat-signed で示す。

1. ex-vat-start2 の $P(4,2)$ は $\dfrac{2A+B+3C}6=\dfrac{(6,12)+(0,0)+(18,0)}6=(4,2)$ なので、重心座標は $(2:1:3)$ である。$S_a:S_b:S_c=6:3:9=2:1:3$ と一致し、$\dfrac{\beta+\gamma}\alpha=\dfrac42=2$、$\dfrac\beta\alpha=\dfrac12$、$\dfrac\gamma\alpha=\dfrac32$ である。
2. ex-vat-cx-outside の $P\left(-\dfrac32,\dfrac92\right)$ は $\dfrac{2A-B+3C}4=\dfrac{(0,0)-(6,0)+(0,18)}4=\left(-\dfrac32,\dfrac92\right)$ なので、重心座標は $(2:-1:3)$ である。$\dfrac\beta\alpha=-\dfrac12$、$\dfrac\gamma\alpha=\dfrac32$、$\dfrac{\beta+\gamma}\alpha=\dfrac22=1$ で、ex-vat-cx-outside (2) の値と一致する。成分 $\beta$ が負なのは、$P$ が辺 $CA$ に関して $B$ と反対の側にあるからである。