帰納極限

反射律は $k=i$ ととればよく、対称律は定義から明らかである。推移律を示す。$(i,x)\sim(j,y)$、$(j,y)\sim(l,z)$ とし、$\varphi_{ik}(x)=\varphi_{jk}(y)$、$\varphi_{jk'}(y)=\varphi_{lk'}(z)$ とする。$I$ は有向なので $k\le m$、$k'\le m$ なる $m$ がある。推移射の合成則により
$$ \varphi_{im}(x)=\varphi_{km}(\varphi_{ik}(x))=\varphi_{km}(\varphi_{jk}(y))=\varphi_{jm}(y)=\varphi_{k'm}(\varphi_{jk'}(y))=\varphi_{k'm}(\varphi_{lk'}(z))=\varphi_{lm}(z) $$
となり、$(i,x)\sim(l,z)$。ここで $I$ の有向性を本質的に使った。
両立性：$i\le j$ のとき $(i,x)\sim(j,\varphi_{ij}(x))$ は $k=j$ ととれば明らかなので $\mu_j\circ\varphi_{ij}=\mu_i$。
普遍性：集合 $N$ と写像の族 $\nu_i\colon M_i\to N$ が $\nu_j\circ\varphi_{ij}=\nu_i$ をみたすとする。$\nu([(i,x)]):=\nu_i(x)$ とおく。これが well-defined（代表元のとり方によらない）であることを示す。$(i,x)\sim(j,y)$、$\varphi_{ik}(x)=\varphi_{jk}(y)$ とすると $\nu_i(x)=\nu_k(\varphi_{ik}(x))=\nu_k(\varphi_{jk}(y))=\nu_j(y)$。定義から $\nu\circ\mu_i=\nu_i$ であり、$M$ の各元は何らかの $\mu_i(x)$ の形なので、この等式をみたす $\nu$ はこれしかない。$\square$

和の well-defined 性：$k$ のとり方によらないことは、$k\le k'$ のとき $(k,\varphi_{ik}(x)+\varphi_{jk}(y))\sim(k',\varphi_{ik'}(x)+\varphi_{jk'}(y))$ が推移射の加法性から従い、2 つの $k,k'$ に対して共通の上界をとればよい。代表元のとり方によらないことは、$(i,x)\sim(i',x')$ なら十分大きい $k$ で $\varphi_{ik}(x)=\varphi_{i'k}(x')$ となることから同様に従う。スカラー倍も同じである。加群の公理は各 $M_i$ の公理から、必要な元を共通の $M_k$ に送って確かめられる。$\mu_i$ の $A$ 線型性は定義から明らかである。
普遍性：$A$ 加群 $N$ と両立する準同型の族 $\nu_i$ に対し、prop-direct-limit-set で得た写像 $\nu\colon M\to N$ が $A$ 線型であることを確かめればよい。$\nu([(i,x)]+[(j,y)])=\nu_k(\varphi_{ik}(x)+\varphi_{jk}(y))=\nu_i(x)+\nu_j(y)$、$\nu(a[(i,x)])=\nu_i(ax)=a\nu_i(x)$。一意性は集合の場合と同じである。
$\bigoplus_iM_i/R$ との同型：$\pi\colon\bigoplus_iM_i\to\bigoplus_iM_i/R$ を商写像とすると、$\pi\circ\iota_i$ の族は $R$ の定義から両立するので、$M$ の普遍性から $\alpha\colon M\to\bigoplus_iM_i/R$ が得られる。逆に、直和の普遍性から $\mu_i$ の族は $\beta'\colon\bigoplus_iM_i\to M$ を定め、$\beta'(\iota_i(x)-\iota_j(\varphi_{ij}(x)))=\mu_i(x)-\mu_j(\varphi_{ij}(x))=0$ なので $\beta'$ は $\beta\colon\bigoplus_iM_i/R\to M$ を誘導する。$\beta\circ\alpha\circ\mu_i=\mu_i$ より $M$ の普遍性から $\beta\circ\alpha=\operatorname{id}$、また $\alpha\circ\beta\circ\pi\circ\iota_i=\pi\circ\iota_i$ で $\pi\circ\iota_i$ の像が $\bigoplus M_i/R$ を生成するので $\alpha\circ\beta=\operatorname{id}$。$\square$

1 は prop-direct-limit-module の構成と、有限個の添字の共通上界の存在（有向性）から従う。2 について、$\mu_i(x)=0=\mu_i(0)$ は $(i,x)\sim(i,0)$、すなわちある $j\ge i$ で $\varphi_{ij}(x)=\varphi_{ij}(0)=0$ となることと同値である。3 は 2 から直ちに従う。$\square$

$\mu'_i,\mu_i,\mu''_i$ をそれぞれの標準射とする。
$g$ の全射性：$\varinjlim M''_i$ の元は lem-direct-limit-element により $\mu''_i(z)$（$z\in M''_i$）と書け、$g_i$ が全射なので $z=g_i(y)$、$y\in M_i$ となり、$g(\mu_i(y))=\mu''_i(g_i(y))=\mu''_i(z)$。
$\operatorname{im}f=\ker g$：$g\circ f=\varinjlim(g_i\circ f_i)=0$ より $\operatorname{im}f\subset\ker g$。逆に $\mu_i(y)\in\ker g$ とすると $\mu''_i(g_i(y))=0$ なので、lem-direct-limit-element の 2 によりある $j\ge i$ で $\varphi''_{ij}(g_i(y))=g_j(\varphi_{ij}(y))=0$。$M_j$ での完全性から $\varphi_{ij}(y)=f_j(x)$、$x\in M'_j$ となり、$\mu_i(y)=\mu_j(\varphi_{ij}(y))=\mu_j(f_j(x))=f(\mu'_j(x))\in\operatorname{im}f$。
$f$ の単射性：$f(\mu'_i(x))=\mu_i(f_i(x))=0$ とすると、lem-direct-limit-element の 2 によりある $j\ge i$ で $\varphi_{ij}(f_i(x))=f_j(\varphi'_{ij}(x))=0$。$f_j$ が単射なので $\varphi'_{ij}(x)=0$、よって $\mu'_i(x)=\mu'_j(\varphi'_{ij}(x))=0$。
全射性と $\operatorname{im}f=\ker g$ の証明は右完全性であり、これは帰納極限が余極限であることだけから従う一般的事実である（余極限は余核と交換する）。単射性の証明で lem-direct-limit-element の 2、すなわち $I$ の有向性を使った。同じ証明は AM69 第 2 章演習 19、Wei94 Theorem 2.6.15 にある。$\square$

$0\to\ker f_i\to M_i\to\operatorname{im}f_i\to0$ と $0\to\operatorname{im}f_i\to N_i\to\operatorname{coker}f_i\to0$ は帰納系の完全列なので、thm-direct-limit-exact により極限をとっても完全であり、$\varinjlim M_i\to\varinjlim\operatorname{im}f_i\to\varinjlim N_i$ の合成が $\varinjlim f_i$ であることから 3 つの同型が従う。ホモロジーは $\ker d_n/\operatorname{im}d_{n+1}$ であり、核・像・商（余核）がそれぞれ帰納極限と交換するので、ホモロジーも交換する。$\square$

$M:=\varinjlim M_i$、標準射を $\mu_i$ とする。$\mu_i\otimes1\colon M_i\otimes N\to M\otimes N$ の族は両立するので、普遍性から $\alpha\colon\varinjlim(M_i\otimes N)\to M\otimes N$ が得られる。逆向きに、写像 $M\times N\to\varinjlim(M_i\otimes N)$ を「$x=\mu_i(x_i)$ のとき $(x,n)\mapsto\lambda_i(x_i\otimes n)$」（$\lambda_i$ は $M_i\otimes N\to\varinjlim(M_i\otimes N)$ の標準射）で定める。これが well-defined であることを示す。$\mu_i(x_i)=\mu_j(x_j)$ なら、ある $k\ge i,j$ で $\varphi_{ik}(x_i)=\varphi_{jk}(x_j)$ であり、$\lambda_i(x_i\otimes n)=\lambda_k(\varphi_{ik}(x_i)\otimes n)=\lambda_k(\varphi_{jk}(x_j)\otimes n)=\lambda_j(x_j\otimes n)$。この写像は、2 つの $x$ を共通の $M_k$ の元で表せば双線型写像であることがわかるので、$\beta\colon M\otimes N\to\varinjlim(M_i\otimes N)$ を誘導する。$\alpha\beta(\mu_i(x_i)\otimes n)=\alpha\lambda_i(x_i\otimes n)=\mu_i(x_i)\otimes n$、$\beta\alpha\lambda_i(x_i\otimes n)=\beta(\mu_i(x_i)\otimes n)=\lambda_i(x_i\otimes n)$ であり、両辺を生成する元の上で一致するので $\alpha,\beta$ は互いに逆である。直和との交換は、$\bigoplus_\lambda M_{i,\lambda}$ を有限部分和の帰納極限とみなして帰納極限どうしが交換すること（rem-direct-limit-interchange）を使うか、同じく元の表示で直接確かめればよい。$\square$

1 は帰納極限の普遍性の言い換えである。$\operatorname{Hom}(\varinjlim M_i,N)$ の元 $\nu$ は両立する族 $(\nu\circ\mu_i)_i$ を定め、逆に両立する族 $(\nu_i)_i$ はただ 1 つの $\nu$ を定める。両立する族の全体がちょうど右辺の射影極限（射影系の元の族で推移射と両立するものの集合）である。
2 は $P=A^n$ のとき lem-direct-limit-element から直ちに従う（$\operatorname{Hom}(A^n,M)=M^n$ で、有限個の元は共通の $M_k$ から来て、有限個の元が $0$ になることも共通の $M_k$ で起こる）。一般の有限表示加群 $P=\operatorname{coker}(A^m\to A^n)$ については、$\operatorname{Hom}(-,M)$ が左完全であることから $0\to\operatorname{Hom}(P,M_i)\to\operatorname{Hom}(A^n,M_i)\to\operatorname{Hom}(A^m,M_i)$ が完全であり、帰納極限が完全（thm-direct-limit-exact）なので極限をとっても完全で、右の 2 項で同型が成り立ち、左端はどちらの行でも右端の射の核なので、左端でも同型である。$\square$

有限生成部分加群 $M',M''$ に対し $M'+M''$ は有限生成で両方を含むので、添字集合は有向である。推移射は包含写像で単射だから、lem-direct-limit-element の 3 により $\varinjlim M'$ は $M$ の部分加群 $M'$ の和集合、すなわち $M$ 自身である（$M$ の各元 $x$ は $Ax$ に属する）。
有限表示加群の極限としての表示：添字を「有限個の元 $x_1,\dots,x_n\in M$ と、それらの間の有限個の関係 $r_1,\dots,r_m\in\ker(A^n\to M)$」の組 $\sigma$ 全体とし、$\sigma\le\sigma'$ を「元の列と関係の列がともに $\sigma'$ のものに含まれる」で定めると有向である。各 $\sigma$ に有限表示加群 $P_\sigma:=A^n/(r_1,\dots,r_m)$ と標準写像 $P_\sigma\to M$ を対応させると帰納系になり、標準射 $\varinjlim P_\sigma\to M$ は、全射性は明らかで、単射性は「$P_\sigma$ の元 $\bar{a}$ が $M$ で $0$ なら $a\in\ker(A^n\to M)$ であり、関係 $a$ を追加した $\sigma'\ge\sigma$ で $\bar{a}\mapsto0$」により lem-direct-limit-element の 2 から従う。$\square$