双曲幾何の三角形

上半平面の 3 点 $P(0,1)$、$Q(1,1)$、$R(0,2)$ を考える。2 点ずつを、次の「直線」で結ぶ（どれも $x$ 軸に中心をもつ円の上半分か、$x$ 軸に垂直な半直線である）。
(1) $P$ と $R$ は $x$ 座標が等しいので、$y$ 軸（$x=0$）の上の線分で結ぶ。
(2) $P$ と $Q$ を通り $x$ 軸に中心 $(h,0)$ をもつ円は、$h^2+1=(1-h)^2+1$ から $h=\dfrac12$、半径 $\dfrac{\sqrt5}2$ の円である。$Q$ と $R$ を通る円は、$(1-h)^2+1=h^2+4$ から $h=-1$、半径 $\sqrt5$ の円である。
(3) 頂点での角は、2 本の辺の接線どうしのなす角で測る。円の接線は半径に垂直なので、接線の向きは中心から頂点へ向かうベクトルを $90^\circ$ 回したものである。
頂点 $P$ では、$R$ へ向かう向きは $(0,1)$ である。$Q$ へ向かう向きは、中心 $\left(\dfrac12,0\right)$ から $P$ へのベクトル $\left(-\dfrac12,1\right)$ に垂直で右へ向かう $\left(1,\dfrac12\right)$ である。2 つの向きの余弦は $\dfrac{1/2}{\sqrt{5/4}}=\dfrac1{\sqrt5}$ で、角は正接が $2$ の角 $\arctan2\approx63.435^\circ$ である。同じ計算で、$R$ での角は $\arctan2\approx63.435^\circ$、$Q$ での角は $\arctan\dfrac34\approx36.870^\circ$ である。

1. 正方形 $0\le x\le1$、$1\le y\le2$ の面積は
   $$ \int_0^1\left(\int_1^2\frac{dy}{y^2}\right)dx=\int_0^1\left[-\frac1y\right]_1^2dx=\int_0^1\frac12\,dx=\frac12 $$
   である。
2. 同じ大きさの正方形を上にずらした $0\le x\le1$、$2\le y\le3$ の面積は $\displaystyle\int_0^1\left(\frac12-\frac13\right)dx=\frac16$ である。$x$ 軸から遠いほど、同じ見た目の図形の面積は小さい。
3. 2 倍に広げた正方形 $0\le x\le2$、$2\le y\le4$ の面積は $\displaystyle\int_0^2\left(\frac12-\frac14\right)dx=\frac12$ で、(1) と同じである。原点を中心に 2 倍に広げても面積は変わらない。これは lem-hyp-invariance で一般に示す。

直線 $\ell\colon x=0$ と、$\ell$ の上にない点 $(1,1)$ を考える。$(1,1)$ を通り中心が $(h,0)$ の円は、半径が $r=\sqrt{(1-h)^2+1}$ で、左端の $x$ 座標は $h-r$ である。
$$ h-r>0\iff h>\sqrt{(1-h)^2+1}\iff h^2>h^2-2h+2\iff h>1 $$
（$h>0$ のとき 2 乗して比べた）なので、$h>1$ ならこの円は $x>0$ の部分にあって $\ell$ と交わらない。たとえば $h=\dfrac32$、$2$、$5$ のとき左端は約 $0.382$、$0.586$、$0.877$ である。縦の半直線 $x=1$ も $\ell$ と交わらないので、$(1,1)$ を通って $\ell$ と交わらない直線は無数にある（図 2。$h=1$ の円は $H$ の外の原点で $\ell$ と出会い、$h<1$ の円は $\ell$ と交わる）。

1. $P=\left(-\dfrac12,\dfrac{\sqrt3}2\right)$（$\theta_P=\dfrac{2\pi}3$）、$Q=\left(\dfrac{\sqrt2}2,\dfrac{\sqrt2}2\right)$（$\theta_Q=\dfrac\pi4$）とする（図 3）。角は $\alpha=\pi-\dfrac{2\pi}3=\dfrac\pi3$、$\beta=\dfrac\pi4$ で、面積は
   $$ S(PQ\infty)=\frac{2\pi}3-\frac\pi4=\frac{5\pi}{12}=\pi-\left(\frac\pi3+\frac\pi4\right) $$
   である。
   (2) 頂点を無限遠に近づけるとどうなるかを開く

   $Q$ を単位円に沿って $(1,0)$ に近づけると、$\theta_Q\to0$ で $\beta\to0$、面積は $\pi-\alpha$ に近づく。これは 2 つの頂点が無限遠にある三角形の面積 $\pi-\alpha$ である（Hit18 Theorem 5.5.10、p. 118）。さらに $P$ を $(-1,0)$ に近づけると、面積は $\pi$ に近づく。3 つの頂点がすべて無限遠にある三角形の面積は $\pi$ である（Hit18 Theorem 5.4.8、p. 102）。

ex-hyp-start の三角形 $PQR$ は、prf-hyp-main の場合 3（辺 $PR$ が縦）にあたる。$0\le x\le1$ で、下は弧 $PQ$：$y=\sqrt{\frac54-\left(x-\frac12\right)^2}$、上は弧 $RQ$：$y=\sqrt{5-(x+1)^2}$ である。内側の積分は $\displaystyle\int_{\text{下}}^{\text{上}}\frac{dy}{y^2}=\frac1{\text{下}}-\frac1{\text{上}}$ なので
$$ S(PQR)=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{\frac54-\left(x-\frac12\right)^2}}-\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{5-(x+1)^2}} $$
である。$\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{r^2-(x-h)^2}}=\arcsin\frac{x-h}r+C$（$x-h=r\sin\theta$ と置換する。逆三角関数（高校数学））を使うと
$$ S(PQR)=\left[\arcsin\frac{2x-1}{\sqrt5}\right]_0^1-\left[\arcsin\frac{x+1}{\sqrt5}\right]_0^1=\underbrace{2\arcsin\frac1{\sqrt5}}_{\text{下の弧 }PQ\text{ の項}}-\underbrace{\left(\arcsin\frac2{\sqrt5}-\arcsin\frac1{\sqrt5}\right)}_{\text{上の弧 }RQ\text{ の項}}=3\arcsin\frac1{\sqrt5}-\arcsin\frac2{\sqrt5} $$
で、$S(PQR)\approx3\times0.46365-1.10715=0.28379$ である。ex-hyp-start で求めた不足 $\pi-(\alpha+\beta+\gamma)=\arctan\dfrac7{24}\approx0.28379$ と一致する。

$A(-1,1)$、$B(1,1)$、$C\left(0,\dfrac65\right)$ とする。直線 $AB$ は中心 $(0,0)$、半径 $\sqrt2$ の円で、$x=0$ での高さは $\sqrt2\approx1.414$ なので、$C$ は弧 $AB$ より下にある（prf-hyp-main の場合 2）。直線 $AC$ は中心 $\left(-\dfrac7{25},0\right)$ の円、直線 $CB$ は中心 $\left(\dfrac7{25},0\right)$ の円である（prop-hyp-line の式）。ex-hyp-start と同じく接線の向きから角を計算すると
$$ \alpha=\beta\approx9.246^\circ,\qquad\gamma\approx153.732^\circ,\qquad\alpha+\beta+\gamma\approx172.224^\circ $$
で、$C$ の角は鈍角である。thm-hyp-main から面積は $\pi-(\alpha+\beta+\gamma)\approx0.13571$ で、積分を数値計算した値 $0.13571$ と一致する。

点 $(0,1)$、$(\varepsilon,1)$、$(0,1+\varepsilon)$ を頂点とする三角形の内角の和と面積を、$\varepsilon$ を小さくしながら計算した（数値計算）。

$y=1$ の近くでは $\dfrac1{y^2}\approx1$ なので、面積は普通の面積とほぼ同じで、$\varepsilon^2$ に比例して小さくなる。内角の和と $\pi$ の差もそれに比例して小さい。Hitchman は、小さい三角形では内角の和が $180^\circ$ に近く、どの幾何も狭い範囲では Euclid 幾何のように見えることを注意している（Hit18 Theorem 7.4.3 の後の注意、p. 160）。

ex-hyp-start の 3 点 $P(0,1)$、$Q(1,1)$、$R(0,2)$ を普通の線分で結ぶ（図 5 の青い破線）。辺 $QR$ は直線 $x+y=2$ の上にあり、縦の半直線でも $x$ 軸に中心をもつ半円でもないので、上半平面の直線ではない。
この図形の角は普通の角で $90^\circ$、$45^\circ$、$45^\circ$ で、和は $\pi$ である。$\pi-$（内角の和）$=0$ だが、面積は
$$ \int_0^1\left(\int_1^{2-x}\frac{dy}{y^2}\right)dx=\int_0^1\left(1-\frac1{2-x}\right)dx=1-\log2\approx0.307 $$
で $0$ ではない。辺が上半平面の直線でないと、面積と角の関係は成り立たない。

ex-hyp-start の三角形 $PQR$ の普通の面積は
$$ \int_0^1\left(\sqrt{5-(x+1)^2}-\sqrt{\tfrac54-\left(x-\tfrac12\right)^2}\right)dx\approx0.52919 $$
（数値計算）で、$\pi-$（内角の和）$\approx0.28379$ と違う。原点を中心に $3$ 倍に広げると、角は変わらないのに普通の面積は $9$ 倍の約 $4.7627$ になるので、普通の面積を角だけの式で表すことはできない。