Hermite多項式

前提知識: 直交多項式, Gauss積分, Fourier変換

Hermite 多項式（Hermite polynomials）$H_n$ は、Gauss 関数 $e^{-x^2}$ を $n$ 回微分したときに前に出る多項式である。実数全体の上で重み $e^{-x^2}$ を付けた積分について互いに直交し、直交多項式 の例「古典直交多項式」の表にある Hermite の行がこれにあたる。$e^{-x^2/2}$ を掛けた Hermite 関数は、量子力学の調和振動子の固有関数であり、Fourier 変換で定数倍を除いて自分自身に移る。確率論では、標準正規分布に対する直交多項式として現れる。
この記事では、Rodrigues の公式で $H_n$ を定義し、漸化式・明示式・母関数を導いたうえで、直交性と、Hermite 関数が Fourier 変換の固有関数であることを証明する。後半では、展開係数の計算、Gauss–Hermite 求積による数値積分の手順と例を扱う。

定義と二つの規約

$e^{-x^2}$ の導関数は（多項式）$\times e^{-x^2}$ の形をしているので、$H_n$ は多項式である（prop-her-recurrence で次数と係数を確かめる）。はじめのいくつかは次のとおりである。

文献には二つの規約がある。上の $H_n$ は物理で使われる規約で、確率論では重み $e^{-x^2/2}$ に合わせた
$$ \mathit{He}_n(x):=(-1)^ne^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}=2^{-n/2}H_n\Bigl(\frac{x}{\sqrt2}\Bigr) $$
を使う（右の等式は $e^{-x^2/2}=e^{-(x/\sqrt2)^2}$ に連鎖律を $n$ 回使えば出る）。$\mathit{He}_n$ は最高次の係数が $1$ である。二つの規約の対応を表にする。この記事の定理はすべて $H_n$ で述べるが、右の列はこの対応で書き換えたものである。

確率論の規約の直交性は、$X$ が標準正規分布に従うとき $E[\mathit{He}_m(X)\mathit{He}_n(X)]=n!\,\delta_{mn}$ と書ける。

漸化式・明示式・母関数

2 を最高次の係数 $2^{n+1}$ で割ると、モニックな $p_n:=2^{-n}H_n$ は $p_{n+1}=xp_n-\frac n2p_{n-1}$ を満たす。これは 直交多項式 の定理「3 項漸化式」の係数 $\beta_n=0$、$\gamma_n=\frac n2$ にあたる。

母関数の両辺を $z$ について展開し直すと、逆向きの公式も得られる。$e^{2xz}=e^{z^2}\cdot e^{2xz-z^2}$ の $z^n$ の係数を比べると
$$ x^n=\frac{n!}{2^n}\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\frac{H_{n-2k}(x)}{k!\,(n-2k)!} $$
である（積の級数の絶対収束は上の証明と同じ）。単項式を Hermite 多項式で展開するときに使う。

主定理 1：直交性

証明が示しているのは、もう少し強いことである。次数 $n-1$ 以下の任意の多項式 $q$ について $\int qH_ne^{-x^2}dx=0$ であり、これは 直交多項式 の命題「モニック直交多項式の存在と一意性」の 2 と同じ性質である。したがって $H_n$ は、重み $e^{-x^2}$ のモニック直交多項式の $2^n$ 倍である。
関数 $f$ が $\int f^2e^{-x^2}dx<\infty$ を満たすとき、Hermite 展開 を
$$ f\sim\sum_{n=0}^\infty c_nH_n,\qquad c_n:=\frac{1}{2^nn!\sqrt\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)H_n(x)e^{-x^2}\,dx $$
で定める。係数の式は、展開を仮定して両辺に $H_ne^{-x^2}$ を掛けて積分し、thm-her-orth を使ったものである。展開が重み付きの平均 2 乗の意味で $f$ に収束することは、次節の Hermite 関数の完全性による。

主定理 2：Hermite 関数と Fourier 変換

この節では Fourier 変換を
$$ \mathcal F f(\xi):=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-ix\xi}\,dx $$
と規格化する（$\int\lvert f\rvert dx<\infty$ の $f$ について）。Fourier変換 の定義「Fourier変換」の規格化 $\widehat f(\eta)=\int f(x)e^{-2\pi ix\eta}dx$ とは $\mathcal Ff(\xi)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\widehat f\bigl(\frac{\xi}{2\pi}\bigr)$ の関係にある。

固有値は $1,-i,-1,i$ の 4 つだけで、$n$ を $4$ で割った余りで決まる。$\mathcal F$ を 4 回続けると恒等写像になる（Fourier変換 の定理「Fourier反転公式」から $\mathcal F^2f(x)=f(-x)$）ことと合っている。$e^{-2\pi ix\eta}$ の規格化では、$g_n(x):=\psi_n(\sqrt{2\pi}\,x)$ が同じ固有値の固有関数になる（$y=\sqrt{2\pi}x$ と置換すれば $\widehat{g_n}(\eta)=\mathcal F\psi_n(\sqrt{2\pi}\,\eta)$）。

作用素 $-\frac{d^2}{dx^2}+x^2$ は、量子力学の 1 次元の調和振動子のエネルギーを表す作用素（単位を選んで係数を $1$ にしたもの）であり、prop-her-oscillator はエネルギー準位が $2n+1$ であることを示している。

図: Hermite 多項式と Hermite 関数
左は $H_0$ から $H_4$ のグラフで、$H_n$ は区間の内側に $n$ 個の実根をもつ（直交多項式 の定理「零点の位置」）。右は $\psi_0$ から $\psi_3$ で、$e^{-x^2/2}$ のために遠方で速く減衰し、$n$ が大きいほど振動しながら広い範囲に広がる。

公式の表

計算の手順

$H_n$ の値を求める。 明示式は係数が大きく、$x$ が大きいと桁落ちしやすい。数値では次の手順を使う。

1. $h_0=1$、$h_1=2x$ とおく。
2. $k=1,\dots,n-1$ について $h_{k+1}=2xh_k-2kh_{k-1}$ を計算する（prop-her-recurrence の 2）。
3. $h_n=H_n(x)$ である。$\psi_n(x)$ が欲しいときは、$\tilde h_k:=\psi_k(x)$ について同じ漸化式を正規化した $\tilde h_{k+1}=\sqrt{\tfrac2{k+1}}\,x\tilde h_k-\sqrt{\tfrac{k}{k+1}}\,\tilde h_{k-1}$（$\tilde h_0=\pi^{-1/4}e^{-x^2/2}$）を使うと、大きな $n$ でも値があふれない。
   正規化した漸化式は、2 を $\sqrt{2^{k+1}(k+1)!\sqrt\pi}$ で割り、$e^{-x^2/2}$ を掛けたものである。

多項式の Hermite 展開。 次数 $d$ の多項式 $f$ は $f=\sum_{n\le d}c_nH_n$ と有限和で書ける。係数は次のどちらかで求める。

1. 単項式ごとに逆向きの公式 $x^n=\frac{n!}{2^n}\sum_k\frac{H_{n-2k}}{k!(n-2k)!}$ を使って足す。
2. 最高次から順に、$f$ の最高次の係数を $2^d$ で割ったものを $c_d$ とし、$f-c_dH_d$ の次数を下げていく。

重み $e^{-x^2}$ の積分（Gauss–Hermite 求積）。 $\int_{-\infty}^\infty g(x)e^{-x^2}dx$ を $N$ 点で近似する。

1. 節点を $H_N$ の $N$ 個の実根 $x_1,\dots,x_N$ とする。
2. 重み $\lambda_k$ を、$g=1,x^2,\dots$ に対して積分が正確になる条件（モーメントの連立方程式）か、直交多項式 の定理「Gauss 求積」の $\lambda_k=\int\ell_k^2e^{-x^2}dx$ で決める。
3. $\sum_k\lambda_kg(x_k)$ を計算する。$g$ が次数 $2N-1$ 以下の多項式なら値は正確である。

例題

使える条件と反例

直交性と Fourier 変換の公式は、積分の範囲・重み・Gauss 因子をそろえて初めて成り立つ。次の表は条件を 1 つずつ外した例である。

2 行目は確率論の規約の重みに物理の規約の多項式を入れた場合で、規約を混ぜると直交性が崩れる。確率論の規約では $\mathit{He}_0\mathit{He}_2=x^2-1$ と重み $e^{-x^2/2}$ を組み合わせ、$\int(x^2-1)e^{-x^2/2}dx=\sqrt{2\pi}-\sqrt{2\pi}=0$ となる。3 行目では、$e^{-x^2}$ の Fourier 変換が幅の違う Gauss 関数 $e^{-\xi^2/4}$ になり、固有関数にならない。Fourier 変換で形が保たれる Gauss 関数は、この規格化では $e^{-x^2/2}$ だけである。

よくある誤り

補足

Brown 運動との関係。 確率論の規約の母関数を $x\to x/\sqrt t$、$z\to\theta\sqrt t$ と書き換えると
$$ e^{\theta x-\theta^2t/2}=\sum_{n=0}^\infty\frac{\theta^n}{n!}\,t^{n/2}\mathit{He}_n\Bigl(\frac{x}{\sqrt t}\Bigr)\qquad(t>0) $$
である。Brown運動 $B_t$ を $x$ に入れた $e^{\theta B_t-\theta^2t/2}$ はマルチンゲールである（Dur19 Theorem 7.5.6, p. 377。この記事では証明しない）。$\theta$ について展開した係数 $t^{n/2}\mathit{He}_n(B_t/\sqrt t)$（$n=1$ で $B_t$、$n=2$ で $B_t^2-t$）もマルチンゲールになる（$u(t,x):=t^{n/2}\mathit{He}_n(x/\sqrt t)$ は $t$ と $x$ の多項式で $\partial_tu+\frac12\partial_x^2u=0$ を満たすので、Dur19 Theorem 7.5.8（p. 377）による。この記事では証明しない）。
他の古典直交多項式との関係。 Hermite 多項式は、$\alpha=\mp\frac12$ の Laguerre 多項式で表せる（Laguerre多項式 に式がある）。偶数番目の $H_{2n}$ は $x^2$ の多項式なので、半直線 $[0,\infty)$ の上の重み $u^{-1/2}e^{-u}$ の直交多項式に対応する。

関連項目

• 前提: 直交多項式, Gauss積分, Fourier変換
• 比較: Legendre多項式, Laguerre多項式, Chebyshev多項式
• 応用: 正規分布, Brown運動
• 発展: Sturm–Liouville問題, Plancherelの定理