Schurの積定理

$B$ は半正定値なので、正定値行列 の記事の定理「半正定値行列の特徴づけ」の 4 により $B=R^*R$（$R\in M_{m,n}(K)$）と書ける。$R^*$ の第 $k$ 列を $w_k\in K^n$ とすると
$$ B=R^*R=\sum_{k=1}^mw_kw_k^* $$
である。Hadamard 積は和に対して分配的なので、上の式 $A\circ(xy^*)=D_xAD_y^*$ を使って
$$ A\circ B=\sum_{k=1}^mA\circ(w_kw_k^*)=\sum_{k=1}^mD_{w_k}AD_{w_k}^* $$
を得る。$x\in K^n$ について
$$ x^*(A\circ B)x=\sum_{k=1}^m(D_{w_k}^*x)^*A(D_{w_k}^*x)\ge0 $$
であり、$A\circ B$ は Hermite 行列なので、半正定値である。$\square$

prf-spt-main の記号で、$x^*(A\circ B)x=\sum_k(D_{w_k}^*x)^*A(D_{w_k}^*x)$ の各項は $0$ 以上であり、$A$ は正定値なので、第 $k$ 項が $0$ になるのは $D_{w_k}^*x=0$、すなわちすべての $i$ で $\overline{w_{k,i}}\,x_i=0$ のときに限る（$w_{k,i}$ は $w_k$ の第 $i$ 成分）。$x^*(A\circ B)x=0$ とすると、すべての $k$ と $i$ で $\overline{w_{k,i}}x_i=0$ である。一方 $B=\sum_kw_kw_k^*$ の対角成分は $b_{ii}=\sum_k|w_{k,i}|^2$ なので
$$ b_{ii}\,|x_i|^2=\sum_k|w_{k,i}x_i|^2=0 $$
であり、$b_{ii}>0$ から $x_i=0$ である。よって $x=0$ であり、$A\circ B$ は正定値である。正定値行列の対角成分は $b_{ii}=e_i^*Be_i>0$ なので、後半は前半に含まれる。$\square$

$S_N:=\sum_{k=0}^Nc_kA^{\circ k}$ とおく。各 $A^{\circ k}$ は半正定値で $c_k\ge0$ なので、$S_N$ は半正定値である。$S_N$ の $(i,j)$ 成分は $\sum_{k\le N}c_ka_{ij}^k$ で、$N\to\infty$ のとき $f(a_{ij})$ に収束する。$f$ の係数は実数なので $f(\overline z)=\overline{f(z)}$ であり、$a_{ji}=\overline{a_{ij}}$ から $f^\circ(A)$ は Hermite 行列である。各 $x\in K^n$ について $x^*S_Nx\ge0$ は成分の有限和なので、$N\to\infty$ として $x^*f^\circ(A)x\ge0$ を得る。$\square$

$A$ が正則でなければ $\det A=0$ であり、thm-spt-main により $A\circ B$ は半正定値なので $\det(A\circ B)\ge0$ である（固有値が $0$ 以上）。以下 $A$ は正定値とし、$n$ についての帰納法で示す。$n=1$ では両辺は $a_{11}b_{11}$ である。
$n\ge2$ とし、$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a^*\\a&A_2\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}b_{11}&b^*\\b&B_2\end{pmatrix}$（$A_2,B_2$ は $n-1$ 次）と区分けする。$A_2$ は正定値行列の主小行列なので正定値であり、Schur補行列 の記事の定理「Schur補行列による区分LDU分解」のあとに述べた右下のブロックについての分解から $\det A=\det A_2\cdot(a_{11}-a^*A_2^{-1}a)$ である。$c:=\det A/\det A_2>0$ とおき、$\widetilde A:=A-c\,e_1e_1^*$（$(1,1)$ 成分だけを $c$ 減らした行列）を考える。$\widetilde A$ の右下のブロック $A_2$ に関する Schur 補行列は
$$ (a_{11}-c)-a^*A_2^{-1}a=0 $$
なので、Schur補行列 の記事の系「正定値性の判定」の 3 により $\widetilde A$ は半正定値である。thm-spt-main により $\widetilde A\circ B$ は半正定値で、$\det(\widetilde A\circ B)\ge0$ である。
$A\circ B=\widetilde A\circ B+c\,b_{11}e_1e_1^*$ であり、行列式は第 $1$ 列について線形なので、$(1,1)$ 成分に $t$ を足すと行列式は $t$ と $(1,1)$ 余因子の積だけ増える。$\widetilde A\circ B$ の右下の $n-1$ 次のブロックは $A_2\circ B_2$ なので
$$ \det(A\circ B)=\det(\widetilde A\circ B)+c\,b_{11}\det(A_2\circ B_2)\ \ge\ c\,b_{11}\det(A_2\circ B_2) $$
である（$c>0$、$b_{11}\ge0$）。帰納法の仮定を正定値な $A_2$ と半正定値な $B_2$ に使うと $\det(A_2\circ B_2)\ge\det A_2\cdot b_{22}\cdots b_{nn}$ なので、
$$ \det(A\circ B)\ \ge\ \frac{\det A}{\det A_2}\,b_{11}\cdot\det A_2\cdot b_{22}\cdots b_{nn}=\det A\cdot b_{11}\cdots b_{nn} $$
である。$\square$

1：thm-spt-oppenheim を $B=I_n$ で使うと、$A\circ I_n=\operatorname{diag}(a_{11},\dots,a_{nn})$ なので $a_{11}\cdots a_{nn}=\det(A\circ I_n)\ge\det A\cdot1\cdots1=\det A$ である。
2：thm-spt-oppenheim と、1 を $B$ に使った $b_{11}\cdots b_{nn}\ge\det B$ から $\det(A\circ B)\ge\det A\cdot b_{11}\cdots b_{nn}\ge\det A\cdot\det B$（$\det A\ge0$）である。$\square$

prf-spt-main と同じく $H=\sum_{r=1}^mw_rw_r^*$ と書き、$\ell_{pr}$ を $w_r$ の第 $p$ 成分とすると $h_{pq}=\sum_r\ell_{pr}\overline{\ell_{qr}}$、$h_{pp}=\sum_r|\ell_{pr}|^2$ である。$\| x\|=\| y\|=1$ とし、$u_r,v_r\in\mathbb{C}^n$ を $(u_r)_p:=\overline{\ell_{pr}}\,y_p$、$(v_r)_q:=\overline{\ell_{qr}}\,x_q$ で定めると
$$ y^*(H\circ T)x=\sum_{p,q}\overline{y_p}\,h_{pq}t_{pq}x_q=\sum_r\sum_{p,q}\overline{(u_r)_p}\,t_{pq}\,(v_r)_q=\sum_ru_r^*Tv_r $$
である（$t_{pq}$ は $T$ の成分）。$|u_r^*Tv_r|\le\| T\|\,\| u_r\|\,\| v_r\|$ と、和についての Cauchy–Schwarz の不等式により
$$ \bigl|y^*(H\circ T)x\bigr|\le\|T\|\Bigl(\sum_r\|u_r\|^2\Bigr)^{1/2}\Bigl(\sum_r\|v_r\|^2\Bigr)^{1/2} $$
である。$\sum_r\| v_r\|^2=\sum_q|x_q|^2\sum_r|\ell_{qr}|^2=\sum_qh_{qq}|x_q|^2\le\max_ih_{ii}$ であり、$u_r$ についても同じなので、$|y^*(H\circ T)x|\le(\max_ih_{ii})\| T\|$ である。$x,y$ について最大をとればよい。$\square$