Siegelモジュラー多様体
概要
Siegel モジュラー多様体（Siegel modular variety）とは、虚部が正定値な $g$ 次の複素対称行列の空間 $\mathfrak{H}_g$ を $\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{Z})$ やその主合同部分群 $\Gamma_g(N)$ で割った商 $\mathcal{A}_g(N)=\Gamma_g(N)\backslash\mathfrak{H}_g$ である。次元は $g(g+1)/2$ で、$\mathcal{A}_g$ は主偏極アーベル多様体の粗モジュライ空間、$g=1$ ではモジュラー曲線であり、志村多様体の基本例である。$N\ge3$ では商は複素多様体で、レベル $N$ 構造つきの主偏極複素トーラスを分類する。重さ $g+1$ の Siegel モジュラー形式が標準束の切断を与える。
複素数体上の楕円曲線は上半平面の点で表され、その同型類は $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})\backslash\mathbb{H}$ の点と一対一に対応する。次元を $g$ に上げて楕円曲線を主偏極アーベル多様体に、上半平面を Siegel 上半空間 $\mathfrak{H}_g$ に、$\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ を $\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{Z})$ に取り替えて得られる商
$$
\mathcal{A}_g=\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{Z})\backslash\mathfrak{H}_g
$$
と、その合同部分群による商 $\mathcal{A}_g(N)$ を Siegel モジュラー多様体（Siegel modular variety）という。名は C. L. Siegel にちなむ。複素次元は $g(g+1)/2$ で、$g=1$ のときはモジュラー曲線である。
$\mathcal{A}_g$ は主偏極アーベル多様体を並べた空間であり、志村多様体 の最も基本的な例である。楕円曲線のときと違って、次の現象が現れる。
- 境界が大きな次元をもち、コンパクト化が 1 通りには決まらない。
- 保型形式の無限遠での正則性の条件が不要になる（Koecher の原理）。
- $g$ が大きくなると、空間そのものが有理的でなくなり一般型になる。
この記事では、作用と分類の基本（志村多様体 の定理「実シンプレクティック群の作用」「主偏極複素トーラスの分類」）を前提に、固定部分群が自己同型群に等しいこと、$N\ge3$ で $\mathcal{A}_g(N)$ が複素多様体になりレベル構造つきの対象を分類すること、Koecher の原理、重さ $g+1$ の形式が標準束の切断を与えることを証明する。コンパクト化と双有理幾何の大きな定理は所在とともに述べる。
定義と記号
志村多様体 の記号に合わせる。$\Omega=\begin{pmatrix}0&I_g\\-I_g&0\end{pmatrix}$、$\mathrm{Sp}_{2g}(R)=\{\gamma\in\mathrm{GL}_{2g}(R)\mid\gamma^{\mathsf T}\Omega\gamma=\Omega\}$ とし、$\gamma=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$ と書く。条件 $\gamma^{\mathsf T}\Omega\gamma=\Omega$ はブロックでは
$$
A^{\mathsf T}C=C^{\mathsf T}A,\qquad B^{\mathsf T}D=D^{\mathsf T}B,\qquad A^{\mathsf T}D-C^{\mathsf T}B=I_g
$$
である。$\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{Z})$ と $\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{R})$ は転置で閉じている。$\mathfrak{H}_g$ を $g$ 次の複素対称行列で虚部が正定値なものの全体とする。これは $\mathbb{C}^{g(g+1)/2}$ の開集合で、$\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{R})$ が $\gamma\tau=(A\tau+B)(C\tau+D)^{-1}$ により推移的に作用し、$iI_g$ の固定部分群は $U(g)$ である。
$\tau\in\mathfrak{H}_g$ に対し $\Lambda_\tau=\tau\mathbb{Z}^g+\mathbb{Z}^g$、$X_\tau=\mathbb{C}^g/\Lambda_\tau$、$H_\tau(v,w)=v^{\mathsf T}(\operatorname{Im}\tau)^{-1}\bar w$ とおく。$\Lambda_\tau$ の基底を横に並べた $g\times2g$ 行列を $(\tau\ \ I_g)$ と書く。$(X_\tau,H_\tau)$ は主偏極複素トーラスで、$E_\tau:=\operatorname{Im}H_\tau$ のこの基底に関する行列は $\Omega$ である。志村多様体 の分類定理により、$g$ 次元の主偏極複素トーラスの同型類は $\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{Z})\backslash\mathfrak{H}_g$ の点と一対一に対応する。主偏極複素トーラスは射影的であり、複素数体上の主偏極アーベル多様体の複素点である（Mil17 Theorem 6.7・6.8、pp. 72–73。この記事では証明しない）。
$\Gamma_g:=\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{Z})$ を次数 $g$ の Siegel モジュラー群という。正の整数 $N$ について
$$
\Gamma_g(N):=\{\gamma\in\Gamma_g\mid\gamma\equiv I_{2g}\bmod N\},\qquad\mathcal{A}_g(N):=\Gamma_g(N)\backslash\mathfrak{H}_g,\qquad\mathcal{A}_g:=\mathcal{A}_g(1)
$$
とおく。$\Gamma_g(N)$ を主合同部分群といい、$\mathcal{A}_g(N)$ を次数 $g$、レベル $N$ の Siegel モジュラー多様体という。
$\Gamma_g(N)$ は $\Gamma_g\to\mathrm{GL}_{2g}(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$ の核なので正規部分群で、転置で閉じている。指数有限の部分群 $\Gamma$ による商 $\Gamma\backslash\mathfrak{H}_g$ を広くこの名で呼ぶ文献（HS98 §II.2）や、志村多様体 $\operatorname{Sh}(\mathrm{GSp},X)$ をこの名で呼ぶ文献（Mil17 p. 70）もある。後者との関係は prop-sm-shimura で述べる。
商の構造
固定部分群と自己同型
$\mathfrak{H}_g$ のコンパクト部分集合 $S$ について、$\{\gamma\in\Gamma_g\mid\gamma S\cap S\ne\emptyset\}$ は有限集合である。とくに各点の固定部分群 $\operatorname{Stab}_{\Gamma_g}(\tau)$ は有限群である。
要点：$\mathfrak{H}_g=\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{R})/U(g)$ の射影は固定部分群がコンパクトなので固有で、問題の $\gamma$ はコンパクト集合に入る。$\Gamma_g$ は離散なので有限個である。
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$G:=\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{R})$、$\pi\colon G\to\mathfrak{H}_g$、$\pi(\gamma)=\gamma(iI_g)$ とおく。志村多様体 の定理により $\pi$ は全射で、ファイバーはコンパクト群 $U(g)$ の左剰余類である。$\gamma_1\gamma_2(iI)=\tau$ の形の明示的な式（同定理の証明の推移性の段）は $\tau$ について連続なので、$\pi$ は連続な切断 $s$ をもつ。よって $\pi^{-1}(S)=s(S)\,U(g)$ はコンパクトである。$\gamma S\cap S\ne\emptyset$ なら $\gamma\pi^{-1}(S)\cap\pi^{-1}(S)\ne\emptyset$ なので、$\gamma$ はコンパクト集合 $\pi^{-1}(S)\,\pi^{-1}(S)^{-1}$ に入る。$\Gamma_g$ は整数行列からなる $G$ の閉離散部分集合なので、この中には有限個しかない。$\square$
次の補題は、志村多様体 の分類定理の証明の段 3・段 4 の言い直しである。
$\tau,\tau'\in\mathfrak{H}_g$ とする。主偏極複素トーラスの同型 $(X_\tau,H_\tau)\to(X_{\tau'},H_{\tau'})$ を与える複素行列 $F$ の全体と、$\gamma\tau'=\tau$ をみたす $\gamma=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\in\Gamma_g$ の全体とは、
$$
F=(C\tau'+D)^{\mathsf T},\qquad F\,(\tau\ \ I_g)=(\tau'\ \ I_g)\,\gamma^{\mathsf T}
$$
により一対一に対応する。
要点：周期行列を比べると、$F$ が同型であることは $M:=\gamma^{\mathsf T}$ がシンプレクティックな整数行列であることに言い換えられ、$\tau$ の対称性から転置をとって $\tau=\gamma\tau'$ を得る。
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$M:=\gamma^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}A'&B'\\C'&D'\end{pmatrix}$ と書くと $A'=A^{\mathsf T}$、$B'=C^{\mathsf T}$、$C'=B^{\mathsf T}$、$D'=D^{\mathsf T}$ である。$(\tau'\ \ I)M=(\tau'A'+C'\ \ \tau'B'+D')$ なので、$F(\tau\ \ I)=(\tau'\ \ I)M$ は 2 つの等式 $F=\tau'B'+D'$、$F\tau=\tau'A'+C'$ に同値である。
$F$ が同型のとき：$F$ は $\Lambda_\tau$ の基底を $\Lambda_{\tau'}$ の基底に写すので、$F(\tau\ \ I)=(\tau'\ \ I)M$ をみたす $M\in\mathrm{GL}_{2g}(\mathbb{Z})$ がただ 1 つあり、$F$ が $E$ を保つので $M^{\mathsf T}\Omega M=\Omega$ である。$\tau=F^{-1}(\tau'A'+C')$ の転置をとると、$\tau$ は対称なので
$\tau=(A'^{\mathsf T}\tau'+C'^{\mathsf T})\,(F^{\mathsf T})^{-1}=(A\tau'+B)(C\tau'+D)^{-1}=\gamma\tau'$
である。ここで $F^{\mathsf T}=B'^{\mathsf T}\tau'+D'^{\mathsf T}=C\tau'+D$ を使った。
逆に $\gamma\in\Gamma_g$、$\gamma\tau'=\tau$ とする。$C\tau'+D$ は正則なので $F:=(C\tau'+D)^{\mathsf T}=\tau'B'+D'$ は正則である。$\tau(C\tau'+D)=A\tau'+B$ の転置は $F\tau=\tau'A'+C'$ である。よって $F(\tau\ \ I)=(\tau'\ \ I)M$ で、$M$ は $\mathbb{Z}$ 上可逆なので $F\Lambda_\tau=\Lambda_{\tau'}$ である。$M$ がシンプレクティックなので $F$ は $E$ を保ち、$H(v,w)=E(iv,w)+iE(v,w)$ と $F$ の $\mathbb{C}$ 線形性から $H$ も保つ。2 つの対応は互いに逆である。$\square$
$\tau\in\mathfrak{H}_g$ について、$\gamma\mapsto\bigl(v\mapsto(C\tau+D)^{\mathsf T}v\bigr)$ は $\operatorname{Stab}_{\Gamma_g}(\tau)$ から主偏極複素トーラスの自己同型群 $\operatorname{Aut}(X_\tau,H_\tau)$ への全単射で、積の順序を逆にする。とくに $\operatorname{Aut}(X_\tau,H_\tau)$ は有限群で、$\gamma\mapsto(\gamma^{-1}$ に対応する自己同型$)$ は群同型である。
要点：全単射は lem-sm-change で $\tau'=\tau$ とした場合で、積の順序は $F_1F_2$ に $M_1M_2$ が対応することから分かる。
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全単射であることは lem-sm-change で $\tau'=\tau$ とした場合である。$F_1,F_2$ に $M_1,M_2$ が対応するとき $F_1F_2(\tau\ \ I)=F_1(\tau\ \ I)M_2=(\tau\ \ I)M_1M_2$ なので、$F_1F_2$ には $M_1M_2$、すなわち $\gamma_2\gamma_1$（$\gamma_j=M_j^{\mathsf T}$）が対応する。有限性は prop-sm-proper による。$\square$
$-I_{2g}\in\Gamma_g$ は $\mathfrak{H}_g$ に自明に作用し、すべての主偏極複素トーラスがもつ自己同型 $v\mapsto-v$ に対応する。
$\tau=iI_g$ の固定部分群は、志村多様体 の定理により $\begin{pmatrix}P&Q\\-Q&P\end{pmatrix}$（$P+iQ\in U(g)$）の形の整数行列の全体で、$U(g)\cap M_g(\mathbb{Z}[i])$ と同型である。ユニタリ行列の各列の長さは $1$ で、Gauss 整数のノルムは $0$ か $1$ 以上の整数なので、各列にはただ 1 つの単数 $\pm1,\pm i$ が立ち、ほかは $0$ である。したがってこの群は単数を成分とする置換行列の全体で、位数は $4^gg!$ である。$X_{iI_g}$ は $\mathbb{C}/\mathbb{Z}[i]$ の $g$ 個の積で、この群はその座標の置換と各成分の $\mu_4$ からなる。
捩れのないレベル
$N\ge3$ なら $\Gamma_g(N)$ は捩れをもたない。すなわち $\gamma\in\Gamma_g(N)$ が有限位数なら $\gamma=I_{2g}$ である。
要点：素数 $p$ について $\gamma^p=I$、$\gamma\ne I$ と仮定し、$\gamma=I+\ell^aX$（$\ell\mid N$ は素数、$X\not\equiv0\bmod\ell$）と書いて $\gamma^p$ を二項展開すると、$\ell$ 進の評価から $X\equiv0\bmod\ell$ が出て矛盾する。$\ell=2$ のときは $a\ge2$ が要るので、レベルの条件は $N\ge3$ になる。
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$\Gamma_g(N)$ に単位元でない有限位数の元があると仮定する。その適当な冪をとって、素数 $p$ について $\gamma^p=I$、$\gamma\ne I$ となる $\gamma\in\Gamma_g(N)$ をとる。$N\ge3$ なので、$N$ は奇素数または $4$ で割り切れる。奇素数 $\ell\mid N$ があるときは $a_0=1$、そうでないとき（$4\mid N$）は $\ell=2$、$a_0=2$ とおく。いずれも $\gamma\equiv I\bmod\ell^{a_0}$ である。$\gamma\ne I$ なので、$a\ge a_0$ を $\gamma\equiv I\bmod\ell^a$ となる最大の整数とし、$\gamma=I+\ell^aX$ と書く。$X$ は整数行列で $X\not\equiv0\bmod\ell$ である。$\gamma^p=I$ を展開すると
$0=p\ell^aX+\sum_{k=2}^{p}\binom pk\ell^{ka}X^k.$
$p\ne\ell$ のとき：$\ell^a$ で割ると $pX\equiv0\bmod\ell^a$ で、$p$ は $\ell$ で割り切れないので $X\equiv0\bmod\ell$ となり矛盾する。
$p=\ell$ のとき：$p^{a+1}$ で割ると
$X=-\sum_{k=2}^{p}\binom pkp^{(k-1)a-1}X^k$
となる。$2\le k\le p-1$ の項は、$\binom pk$ が $p$ で割り切れるので $p$ で割り切れる。$k=p$ の項の係数は $p^{(p-1)a-1}$ で、$p$ が奇素数なら $(p-1)a\ge2$、$p=2$ なら $a\ge2$ より $(p-1)a-1\ge1$ である。よって $X\equiv0\bmod p$ となり矛盾する。$\square$
$N\ge3$ なら $\Gamma_g(N)$ は $\mathfrak{H}_g$ に自由かつ真性不連続に作用し、$\mathcal{A}_g(N)$ は次元 $g(g+1)/2$ の連結な複素多様体である。有限群 $\Gamma_g/\Gamma_g(N)$ が $\mathcal{A}_g(N)$ に作用し、その商が $\mathcal{A}_g$ である。したがって $\mathcal{A}_g$ の特異点は高々有限商特異点である。
要点：固定部分群の元は有限位数なので、thm-sm-torsion-free により $\Gamma_g(N)$ では単位元に限る。
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$\tau$ の固定部分群の元は prop-sm-proper により有限位数なので、thm-sm-torsion-free により $\Gamma_g(N)$ の中では単位元に限る。真性不連続で自由な作用の商は複素多様体で、$\mathfrak{H}_g$ が連結なので商も連結である。$\Gamma_g(N)$ は $\Gamma_g$ の正規部分群で指数は $|\mathrm{GL}_{2g}(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})|$ 以下である。残りは商の推移律である。$\square$
$N\ge3$ の条件は外せない（ex-sm-counterexamples の 1 行目）。$\mathrm{Sp}_{2g}$ は半単純・単連結で非コンパクト型なので強近似定理（Mil17 Theorem 4.16, p. 48。この記事では証明しない）により $\Gamma_g\to\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$ は全射であり、$\Gamma_g/\Gamma_g(N)\cong\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$ である。
Siegel は $\Gamma_g$ の基本領域も構成したが、$g=2$ ですでに $28$ 個の境界片をもつ（vdG06 §2, p. 7）。空間の幾何を調べるには、モジュライとしての解釈とコンパクト化のほうが役に立つ。
$\mathcal{A}_g$ はコンパクトでない。格子の最短ベクトルの $H$ での長さが、$\mathcal{A}_g$ 上の正の連続関数で $0$ に近づくからである。
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主偏極複素トーラス $(X,H)$ について $m(X,H):=\min_{0\ne\lambda\in\Lambda}H(\lambda,\lambda)$ は同型類だけで決まる正の数で、$\mathcal{A}_g$ の上の連続関数を与える。$\tau=itI_g$ では $H_\tau(e_1,e_1)=1/t$ なので、$t\to\infty$ で $m\to0$ となり、$m$ は正の最小値をもたない。
モジュライとしての解釈
レベル構造
$(X,H)$ を主偏極複素トーラス、$X=V/\Lambda$、$E=\operatorname{Im}H$ とする。$X[N]=N^{-1}\Lambda/\Lambda$ の上に
$$
e_N(x,y):=N^2E(x,y)\bmod N\in\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}
$$
とおく。$x,y$ を $\Lambda$ の元だけ動かしても $N^2E(x,y)$ は $N$ の倍数しか変わらないので、これは定義されていて、完全な交代形式である（$1$ の $N$ 乗根に値をとる形が Weil 対である。Mil17 p. 75）。
$(X,H)$ の レベル $N$ 構造とは、$X[N]$ の基底 $\xi_1,\dots,\xi_g,\eta_1,\dots,\eta_g$（$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$ 上）で
$$
e_N(\xi_j,\eta_k)=\delta_{jk},\qquad e_N(\xi_j,\xi_k)=e_N(\eta_j,\eta_k)=0
$$
をみたすものをいう。組 $(X,H,\xi,\eta)$ の同型とは、$(X,H)$ の同型で基底を基底に写すものをいう。
$\tau\in\mathfrak{H}_g$ には、レベル構造 $\xi_j=\tau e_j/N$、$\eta_j=e_j/N$ をもつ組 $T(\tau)$ が対応する。
$\tau\mapsto T(\tau)$ は全単射
$$
\mathcal{A}_g(N)\xrightarrow{\ \sim\ }\{\text{レベル }N\text{ 構造つきの } g \text{ 次元主偏極複素トーラス}\}/\cong
$$
を引き起こす。$\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$ はレベル構造の取り替えとして右辺に作用し、その軌道の集合が $\mathcal{A}_g$ である。
要点：$T(\tau)\cong T(\tau')$ は、lem-sm-change の行列 $M$ が法 $N$ で単位行列であることと同値で、これは $\tau,\tau'$ が同じ $\Gamma_g(N)$ 軌道にあることを意味する。全射性は、レベル構造を $\Lambda$ のシンプレクティック基底に持ち上げることで示す。ここで $\Gamma_g\to\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$ の全射性を使う。
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単射性と代表の取り方によらないこと：$\tau,\tau'\in\mathfrak{H}_g$ とし、$F$ と $\gamma$ を lem-sm-change のとおりに対応させ、$M=\gamma^{\mathsf T}$ とする。$F$ が $T(\tau)$ を $T(\tau')$ に写すことは $N^{-1}F(\tau\ \ I)\equiv N^{-1}(\tau'\ \ I)$（各列が $\Lambda_{\tau'}$ を法として等しい）を意味し、$F(\tau\ \ I)=(\tau'\ \ I)M$ により $(\tau'\ \ I)(M-I)/N$ の各列が $\Lambda_{\tau'}$ に入ること、すなわち $M\equiv I\bmod N$ と同値である。これは $\gamma\in\Gamma_g(N)$ と同値である。よって $T(\tau)\cong T(\tau')$ は $\tau,\tau'$ が同じ $\Gamma_g(N)$ 軌道にあることと同値である。
全射性：$(X,H,\xi,\eta)$ を組とする。志村多様体 の補題「シンプレクティック基底」により $\Lambda$ のシンプレクティック基底 $(\lambda\ \ \mu)$ をとる。$N^{-1}(\lambda\ \ \mu)$ の像はレベル構造で、$(\xi\ \ \eta)$ とは $u\in\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$ で移り合う。$\Gamma_g\to\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$ は全射なので $u$ を $M\in\Gamma_g$ に持ち上げ、$(\lambda\ \ \mu)M$ を改めて基底にとれば、$(\xi\ \ \eta)$ はこの基底の $N^{-1}$ 倍の像である。分類定理によりこの基底から $\tau$ と同型 $(X,H)\cong(X_\tau,H_\tau)$ が得られ、基底は $(\tau\ \ I)$ に写るので、組は $T(\tau)$ と同型である。
最後の主張は、$\Gamma_g$ の作用が右辺でレベル構造の取り替えになり、$\Gamma_g/\Gamma_g(N)\cong\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$ であることによる。$\square$
$N\ge3$ では thm-sm-stabilizer と thm-sm-torsion-free により組は非自明な自己同型をもたず、$\mathcal{A}_g(N)$ の上には普遍族 $\Gamma_g(N)\ltimes\mathbb{Z}^{2g}\backslash(\mathfrak{H}_g\times\mathbb{C}^g)$ がある。$\mathcal{A}_g$ の上では $-I_{2g}$ がファイバーに $z\mapsto-z$ で作用するので、この構成は使えない（vdG06 §10, p. 21）。$\mathcal{A}_g$ は主偏極アーベル多様体の粗モジュライ空間である（Mil17 p. 75。この記事では証明しない。モジュライ空間）。
志村多様体との関係
$(G,X)$ を標準的なシンプレクティック空間 $(\mathbb{Q}^{2g},\Omega)$ から作った志村データ（志村多様体 の例「Siegel モジュラー多様体」）、$N\ge3$、$K(N)\subset G(\mathbb{A}_f)$ を $\hat{\mathbb{Z}}^{2g}$ を保ち $\hat{\mathbb{Z}}^{2g}/N\hat{\mathbb{Z}}^{2g}$ に自明に作用する元の群とする。$\operatorname{Sh}_{K(N)}(G,X)(\mathbb{C})$ の連結成分の集合は $(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times$ と同一視され、各成分は $\mathcal{A}_g(N)$ と同型である。
これは Mil17 pp. 74–75 の (42)・(43) である（$1$ の上の成分が $\Gamma_g(N)\backslash\mathfrak{H}_g$）。この記事では証明しない。ほかの成分も、$K(N)$ が $G(\hat{\mathbb{Z}})$ で正規なので同じ群による商である。Mil17 のレベル構造は $e_N$ を $(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times$ 倍を除いて保つものなので、def-sm-level より成分の分だけ多い。志村多様体は数体上の標準モデルをもつので（志村多様体）、$\mathcal{A}_g(N)$ はその連結成分として数論的な構造をもつ。
Siegel モジュラー形式
$\Gamma$ を $\Gamma_g$ の指数有限の部分群、$k$ を整数とする。$\mathfrak{H}_g$ 上の正則関数 $f$ で、すべての $\gamma\in\Gamma$ について
$$
f(\gamma\tau)=\det(C\tau+D)^kf(\tau)
$$
をみたすものを、$\Gamma$ に関する重さ $k$ の Siegel モジュラー形式という（$g=1$ では尖点での正則性も課す）。その全体を $M_k(\Gamma)$ と書く。
$\Gamma=\Gamma_g$ とする。$S$ が整数対称行列のとき $\begin{pmatrix}I&S\\0&I\end{pmatrix}\in\Gamma_g$ なので $f(\tau+S)=f(\tau)$ であり、$f$ は Fourier 級数
$$
f(\tau)=\sum_{n}a(n)\,e^{2\pi i\operatorname{tr}(n\tau)}
$$
に展開される。$n$ は半整数行列（対称で、対角成分が整数、非対角成分が半整数）を動く。$U\in\mathrm{GL}_g(\mathbb{Z})$ について $\begin{pmatrix}U&0\\0&(U^{\mathsf T})^{-1}\end{pmatrix}\in\Gamma_g$ を使うと、$f(U\tau U^{\mathsf T})=\det(U)^kf(\tau)$ から
$$
a(U^{\mathsf T}nU)=\det(U)^ka(n)\qquad(\ast)
$$
を得る。
$g\ge2$ とする。$f\in M_k(\Gamma_g)$ の Fourier 係数は、$n$ が半正定値でなければ $a(n)=0$ である。したがって $g\ge2$ では、無限遠での条件は定義に課さなくても自動的に成り立つ。
要点：半正定値でない $n$ の係数 $a(n)$ は、$(\ast)$ により $\mathrm{GL}_g(\mathbb{Z})$ の作用で不変な絶対値をもつ。$g\ge2$ なら作用で $\operatorname{tr}n$ をいくらでも負にでき、収束から来る評価 $|a(n)|\le ce^{2\pi\operatorname{tr}n}$ により $a(n)=0$ となる。
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級数は $\tau=iI_g$ で絶対収束するので、定数 $c$ があって、すべての $n$ で $|a(n)|\le ce^{2\pi\operatorname{tr}n}$ である。$n$ が半正定値でないとする。$\xi^{\mathsf T}n\xi<0$ となる $\mathbb{Q}^g$ の元があり、定数倍して $\mathbb{Z}^g$ の原始的な元 $\xi$ にとれる。$\xi$ を第 1 列にもつ $U_0\in\mathrm{GL}_g(\mathbb{Z})$ をとり、$n':=U_0^{\mathsf T}nU_0$ とおくと $n'_{11}<0$ で、$(\ast)$ により $|a(n')|=|a(n)|$ である。
$g\ge2$ なので、整数 $m$ について $V_m:=I+mE_{12}\in\mathrm{GL}_g(\mathbb{Z})$（$E_{12}$ は $(1,2)$ 成分だけが $1$ の行列）をとれる。$V_m^{\mathsf T}n'V_m$ の対角成分は $(2,2)$ 成分だけが変わり、$n'_{22}+2mn'_{12}+m^2n'_{11}$ になる。よって
$|a(n)|=|a(V_m^{\mathsf T}n'V_m)|\le c\exp\bigl(2\pi(\operatorname{tr}n'+2mn'_{12}+m^2n'_{11})\bigr)\xrightarrow{m\to\infty}0$
であり、$a(n)=0$ である。$\square$
証明は vdG06 定理 4.3・4.4（p. 11）による。$g=1$ では結論は成り立たない（ex-sm-counterexamples の 2 行目）。
$kg$ が奇数なら $M_k(\Gamma_g)=0$ である。
$\gamma=-I_{2g}$ は $\tau$ を固定し、$\det(C\tau+D)=\det(-I_g)=(-1)^g$ なので、$f(\tau)=(-1)^{gk}f(\tau)$ である。$\square$
Siegel 作用素は、$\tau'\in\mathfrak{H}_{g-1}$ について
$$
(\Phi f)(\tau'):=\lim_{t\to\infty}f\begin{pmatrix}\tau'&0\\0&it\end{pmatrix}
$$
で定まる線形写像 $\Phi\colon M_k(\Gamma_g)\to M_k(\Gamma_{g-1})$ である。その核を尖点形式の空間 $S_k(\Gamma_g)$ という（vdG06 §5, p. 12。尖点形式）。$g=1$ なら $\Phi f$ は定数項である。次は基本的な構成である（この記事では証明しない）。
| 名前 | 式 | 重さ | 所在 |
|---|---|---|---|
| Eisenstein 級数 | $E_k(\tau)=\sum_{(C,D)}\det(C\tau+D)^{-k}$（$(C\ \ D)$ は $\Gamma_g$ の元の下半分全体を動き、左からの $\mathrm{GL}_g(\mathbb{Z})$ 倍の違いを除いて 1 回ずつ数える） | 偶数 $k>g+1$ | vdG06 定理 5.4 |
| テータ級数 | $\Theta_S(\tau)=\sum_{A\in\mathbb{Z}^{r\times g}}e^{\pi i\operatorname{tr}(A^{\mathsf T}SA\tau)}$（$S$ は $r$ 次の正定値な偶ユニモジュラー対称行列） | $r/2$ | vdG06 §7 |
| $\chi_{10}$（$g=2$） | $10$ 個の偶のテータ定数の平方の積 | $10$（尖点形式） | vdG06 §7 |
Siegel 作用素は Eisenstein 級数を Eisenstein 級数に写し、偶数 $k>2g$ で全射である（vdG06 系 5.5, p. 14。この記事では証明しない）。E8格子 の行列を $S$ にとると、すべての $g$ で重さ $4$ のモジュラー形式が得られる。
$g=1$ では $\bigoplus_kM_k(\Gamma_1)=\mathbb{C}[E_4,E_6]$ である。$g=2$ では、井草準一（Jun-ichi Igusa）により
$$
\bigoplus_kM_k(\Gamma_2)=\mathbb{C}[E_4,E_6,\chi_{10},\chi_{12},\chi_{35}]\big/(\chi_{35}^2-R)
$$
である（$R$ は $E_4,E_6,\chi_{10},\chi_{12}$ の多項式。vdG06 定理 9.1, p. 19。この記事では証明しない）。$\chi_{35}$ の重さが奇数であることは prop-sm-parity と矛盾しない（$kg=70$ は偶数）。代数的に独立な生成元が $4$ 個あることは、$\mathcal{A}_2$ の次元 $3$ に $1$ を足した数に一致する。$\chi_{10}$ は $\mathfrak{H}_2$ の対角行列の軌跡 $\mathfrak{H}_1\times\mathfrak{H}_1$ で $2$ 位の零点をもつ（同 §9, p. 18）。これは楕円曲線の積の軌跡である。
標準束
$\gamma\in\mathrm{Sp}_{2g}(\mathbb{R})$、$\tau'=\gamma\tau$ について
$$
d\tau'=\bigl((C\tau+D)^{\mathsf T}\bigr)^{-1}\,d\tau\,(C\tau+D)^{-1},\qquad\bigwedge_{i\le j}d\tau'_{ij}=\det(C\tau+D)^{-(g+1)}\bigwedge_{i\le j}d\tau_{ij}
$$
である。したがって $N\ge3$ のとき、$f\mapsto f(\tau)\bigwedge_{i\le j}d\tau_{ij}$ は $M_{g+1}(\Gamma_g(N))$ から $\mathcal{A}_g(N)$ 上の正則な最高次微分形式の空間への同型である（$g=1$ では $M_2$ を尖点での条件なしの空間に読む）。
要点：$\tau'$ を $(A\tau+B)(C\tau+D)^{-1}$ として微分し、シンプレクティックの関係式で係数を整理する。次に $S\mapsto PSP^{\mathsf T}$ の行列式を対角行列で計算する。
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$Q:=C\tau+D$、$P:=A\tau+B$ とおくと $\tau'=PQ^{-1}$ で、$d\tau'=(A\,d\tau)Q^{-1}-PQ^{-1}(C\,d\tau)Q^{-1}=(A-\tau'C)\,d\tau\,Q^{-1}$ である。$\tau'$ は対称なので $\tau'=(Q^{\mathsf T})^{-1}P^{\mathsf T}$ であり、$A-\tau'C=(Q^{\mathsf T})^{-1}(Q^{\mathsf T}A-P^{\mathsf T}C)=(Q^{\mathsf T})^{-1}\bigl(\tau(C^{\mathsf T}A-A^{\mathsf T}C)+D^{\mathsf T}A-B^{\mathsf T}C\bigr)=(Q^{\mathsf T})^{-1}$ である（ブロックの関係式 $A^{\mathsf T}C=C^{\mathsf T}A$ と、$A^{\mathsf T}D-C^{\mathsf T}B=I$ の転置を使った）。これで第 1 の式を得る。
$g$ 次の可逆行列 $P_0$ について、対称行列の空間上の線形写像 $S\mapsto P_0SP_0^{\mathsf T}$ の行列式は $(\det P_0)^{g+1}$ である。実際、$P_0=\operatorname{diag}(p_1,\dots,p_g)$ なら $S_{ij}$（$i\le j$）を $p_ip_j$ 倍するので、行列式は $\prod_ip_i^{2+(g-1)}$ である。対角化可能な行列は稠密で、両辺は多項式なので一般の場合も成り立つ。$P_0=(Q^{\mathsf T})^{-1}$ として第 2 の式を得る。
$\Gamma_g(N)$ は自由に作用する（cor-sm-manifold）ので、$\mathcal{A}_g(N)$ 上の最高次微分形式は $\mathfrak{H}_g$ 上の $\Gamma_g(N)$ 不変な最高次微分形式と同じものであり、後者は $f(\tau)\bigwedge d\tau_{ij}$ の形で、不変性は第 2 の式により $f$ の変換則と同値である。$\square$
標準束は Hodge 束 $\mathbb{E}$ の $(\det\mathbb{E})^{g+1}$ であり（vdG06 §10, p. 21）、重さ $g+1$ の尖点形式から作った微分形式は任意の滑らかな射影モデルに延び、幾何種数は $\Gamma$ に関する重さ $g+1$ の尖点形式（すべての境界成分で消えるもの）の空間の次元に等しい（Freitag の定理、HS98 定理 II.1.1。この記事では証明しない）。
要点：$\mathcal{A}_g$ の軌道体 Euler 数は $\zeta(-1)\zeta(-3)\cdots\zeta(1-2g)$ である。$g=2$ では $-1/1440$ になる。
計算を開く
Siegel による $\mathcal{A}_g$ の体積の計算を、軌道体 Euler 数に正規化すると $\zeta(-1)\zeta(-3)\cdots\zeta(1-2g)$ になる。$N\ge3$ では、$\mathcal{A}_g(N)$ の Euler 数は $[\Gamma_g:\Gamma_g(N)]\,\zeta(-1)\zeta(-3)\cdots\zeta(1-2g)$ である（vdG06 §2, p. 7。この記事では証明しない）。$g=1$、$N=3$ では指数は $|\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})|=24$、$\zeta(-1)=-1/12$ なので $-2$ となる。これは $\mathcal{A}_1(3)$ が $\mathbb{P}^1$ から $4$ 個の尖点を除いたものであることと一致する。$g=2$ では $\mathcal{A}_2$ の値は $\zeta(-1)\zeta(-3)=-1/1440$ である。
コンパクト化
$\mathcal{A}_g$ はコンパクトでないが（rem-sm-noncompact）、$g=1$ で尖点を足すように、境界を足してコンパクトにできる。佐武コンパクト化（Satake compactification）は、集合としては
$$
\mathcal{A}_g^*=\mathcal{A}_g\sqcup\mathcal{A}_{g-1}\sqcup\cdots\sqcup\mathcal{A}_0
$$
である。十分大きな重さのモジュラー形式がこれを射影空間に埋め込み、$\mathcal{A}_g^*$ は正規な射影多様体、$\mathcal{A}_g$ は準射影多様体である（vdG06 定理 11.1, p. 23、HS98 §I.2。佐武一郎（Ichiro Satake）による。この記事では証明しない）。Siegel 作用素は、モジュラー形式を境界 $\mathcal{A}_{g-1}$ へ制限する操作にあたる。Baily–Borel の定理（Mil17 Theorem 3.12, p. 38）はこれを算術商全般に広げたもので、$N\ge3$ の $\mathcal{A}_g(N)$ も代数多様体の構造をただ 1 つもつ（同 Corollary 3.16, p. 40）。
境界の最大の成分は次元 $g(g-1)/2$ なので、余次元は $g$ である。$g=1$ では余次元 $1$ で、$g\ge2$ では余次元が $2$ 以上になる。$\mathcal{A}_g^*$ は $g\ge2$ で境界に沿って強い特異点をもつ。そこで境界を爆発させたトロイダルコンパクト化が使われる。これは Mumford らが一般論を与えたもので、錐分割の選び方に依存するので一意ではない（HS98 §I.2）。$N\ge3$ なら滑らかなものが選べ、境界因子を $D$、モジュラー形式の直線束を $L$ とすると、標準因子は $K=(g+1)L-D$ である（同 §II.1）。
低い次数と双有理幾何
種数 $g$ の曲線のモジュライ $\mathcal{M}_g$（次元は $g\ge2$ で $3g-3$、$g=1$ は楕円曲線の $1$）から $\mathcal{A}_g$ へ、Jacobi 多様体をとる単射がある（Torelliの定理）。
| $g$ | $\dim\mathcal{A}_g$ | $\dim\mathcal{M}_g$ | $\mathcal{A}_g$ の双有理的な型 |
|---|---|---|---|
| $1$ | $1$ | $1$ | 有理的（$j$ により $\mathbb{A}^1$） |
| $2$ | $3$ | $3$ | 有理的（井草） |
| $3$ | $6$ | $6$ | 有理的（Katsylo） |
| $4$ | $10$ | $9$ | 単有理的（Clemens） |
| $5$ | $15$ | $12$ | 単有理的（Donagi、森重文（Shigefumi Mori）と向井茂（Shigeru Mukai）、Verra） |
| $6$ | $21$ | $15$ | 小平次元は非負で、単有理的でない（DMS21 Theorem 5.2, p. 11。この記事では証明しない） |
| $7$ | $28$ | $18$ | 一般型（Mumford） |
| $\ge8$ | $g(g+1)/2$ | $3g-3$ | 一般型（Tai、Freitag） |
一般型の定理は、Tai が $g\ge9$、Freitag が $g\ge8$、Mumford が $g\ge7$ で示した。レベルをつけると、$\mathcal{A}_g(N)$ は次の範囲で一般型である（HS98 定理 II.2.1。この記事では証明しない）。
| $g$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ | $\ge7$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 一般型になる $N$ | $N\ge4$ | $N\ge3$ | $N\ge2$ | $N\ge2$ | $N\ge2$ | $N\ge1$ |
証明の方針は、$K=(g+1)L-D$ から $D$ を、テータ因子の特異性で定まる有効因子の類を使って消し、$K$ を $L$ の正の倍数と有効因子の和に書くことである（HS98 §II.2）。小平次元 の語では $g\ge7$ で $\kappa(\mathcal{A}_g)=g(g+1)/2$ である。
小さいレベルの商には美しい射影モデルがある。$\mathcal{A}_2(2)$ は $\mathbb{P}^4$ の Segre 3 次超曲面に、$\mathcal{A}_2(3)$ は Burkhardt 4 次超曲面に双有理である（HS98 §II.2, pp. 19–20、§IV）。どちらも有理的である。
$g=2$ の $\mathcal{A}_2$ の分解は アーベル曲面 にある。$g\ge4$ では Jacobi 多様体の軌跡は真の部分集合で、$\mathcal{A}_g$ の中でその軌跡を方程式で特徴づける問題を Schottky 問題という。
反例：条件を外すと
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| レベル $N\ge3$ | $g=2$、$N=2$、$\gamma_0=\operatorname{diag}(1,-1,1,-1)\in\Gamma_2(2)$ | 作用の自由性（$\pm I_4$ で割っても自由にならない） |
| $g\ge2$ | $g=1$、$j$ 関数 | thm-sm-koecher の結論（$a(-1)=1$） |
| 偏極を保つこと | $\tau_1=\sqrt{-5}\,I_2$ と $\tau_2=\frac{1+\sqrt{-5}}{2}I_2$ | 「同じ複素トーラスなら $\mathcal{A}_2$ の同じ点」 |
要点：1 行目の $\gamma_0$ は対角行列 $\tau$ を固定する。3 行目は、類数 $2$ の虚 2 次体の整数環 $\mathcal{O}$ とイデアル $\mathfrak{a}$ について $\mathfrak{a}\oplus\mathfrak{a}\cong\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}$ となることを使い、積の形の 2 つの主偏極で成分の楕円曲線が異なる例である。
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1 行目：$\gamma_0$ は $A=D=\operatorname{diag}(1,-1)$、$B=C=0$ の元で、$A^{\mathsf T}D=I$ なので $\Gamma_2$ に入り、$\gamma_0\equiv I_4\bmod2$ である。$\gamma_0\tau=A\tau A^{-1}$ は $\tau$ の非対角成分の符号を変えるので、対角行列 $\tau$ を固定するが、$\mathfrak{H}_2$ に自明には作用しない。lem-sm-change で対応する自己同型は、積 $E_1\times E_2$ の上の $(v_1,v_2)\mapsto(v_1,-v_2)$ である。
2 行目：$j(\tau)=q^{-1}+744+\cdots$（$q=e^{2\pi i\tau}$）は $\mathfrak{H}_1$ 上正則で $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$ 不変である。重さ $0$ の変換則をみたすが $n=-1$ の係数が $0$ でなく、$\operatorname{Im}\tau\ge c$ の上で有界でない。
3 行目：$\mathcal{O}=\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$、$\alpha=1+\sqrt{-5}$、$\mathfrak{a}=(2,\alpha)$ とおく。$\mathfrak{a}$ は $\mathcal{O}$ の指数 $2$ の部分加群で、$\mathfrak{a}^2=(2)$、$\bar\alpha\in\mathfrak{a}$ である。$E:=\mathbb{C}/\mathcal{O}$、$E':=\mathbb{C}/\mathfrak{a}$ とおくと $X_{\tau_1}=E\times E$ で、$\mathfrak{a}=2\mathbb{Z}+\alpha\mathbb{Z}$ より $X_{\tau_2}\cong E'\times E'$ である。行列
$T=\begin{pmatrix}1&\bar\alpha/2\\\alpha/2&1\end{pmatrix}$
を考える。$\bar\alpha\mathfrak{a},\alpha\mathfrak{a}\subset\mathfrak{a}^2=(2)$ なので $T(\mathfrak{a}\oplus\mathfrak{a})\subset\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}$ である。$\det T=1-\alpha\bar\alpha/4=-1/2$ なので、$T$ は $\mathbb{C}^2$ の実 $4$ 次元の体積を $|\det T|^2=1/4$ 倍する。$\mathfrak{a}\oplus\mathfrak{a}$ は $\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}$ の指数 $4$ の部分格子なので、$T(\mathfrak{a}\oplus\mathfrak{a})$ の余体積は $\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}$ に等しく、包含は等号である。よって $T$ は複素トーラスの同型 $E'\times E'\cong E\times E$ を与える。
一方、$\mathfrak{a}$ は単項イデアルでない（$x^2+5y^2=2$ に整数解がない）ので $E\not\cong E'$ である。主偏極アーベル曲面のテータ因子の成分は偏極から決まるので（アーベル曲面 の系「主偏極アーベル曲面の二分法」）、積の主偏極をもつ $(X_{\tau_1},H_{\tau_1})$ と $(X_{\tau_2},H_{\tau_2})$ は同型でない。すなわち $\tau_1,\tau_2$ は $\mathcal{A}_2$ の異なる点である。$\mathcal{A}_g$ の点は複素トーラスではなく、主偏極つきの複素トーラスである。
関連項目
参考文献
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