分解群と惰性群

$\sigma\in G$ は環 $\mathcal{O}_L$ の自己同型で $\sigma(\mathfrak{p}\mathcal{O}_L)=\mathfrak{p}\mathcal{O}_L$ を満たすので、分解に $\sigma$ を施すと $\mathfrak{p}\mathcal{O}_L=\sigma(\mathfrak{P}_1)^{e_1}\cdots\sigma(\mathfrak{P}_g)^{e_g}$ となる。分解の一意性から $e(\sigma(\mathfrak{P}_i)\mid\mathfrak{p})=e(\mathfrak{P}_i\mid\mathfrak{p})$ である。また $\kappa(\mathfrak{P}_i)\cong\kappa(\sigma(\mathfrak{P}_i))$ は $\kappa(\mathfrak{p})$ 上の同型なので剰余次数も等しい。thm-dig-transitive によりどの $\mathfrak{P}_i,\mathfrak{P}_j$ も $G$ の元で移り合うので、$e_i=e_j$、$f_i=f_j$ である。最後に基本等式（代数体における素イデアルの分解 の記事の定理「基本等式」）$\sum_ie_if_i=n$ から $efg=n$ を得る。$\square$

1。thm-dig-transitive により $G$ の $S_{\mathfrak{p}}$ への作用は推移的で、$\lvert S_{\mathfrak{p}}\rvert=g$ である。群作用 の記事の定理「軌道・安定化群定理」により $[G:D_{\mathfrak{P}}]=g$、したがって $\lvert D_{\mathfrak{P}}\rvert=n/g=ef$ である。

2。$\sigma\in D_{\tau(\mathfrak{P})}$ $\iff$ $\sigma\tau(\mathfrak{P})=\tau(\mathfrak{P})$ $\iff$ $\tau^{-1}\sigma\tau(\mathfrak{P})=\mathfrak{P}$ $\iff$ $\tau^{-1}\sigma\tau\in D_{\mathfrak{P}}$ である。惰性群については、$y=\tau^{-1}(x)$ とおくと $\sigma(x)-x\in\tau(\mathfrak{P})$ は $\tau^{-1}\sigma\tau(y)-y\in\mathfrak{P}$ と同値であり、$x$ が $\mathcal{O}_L$ を動くとき $y$ も $\mathcal{O}_L$ を動くので、同じ議論が通る。$G$ が可換なら $\tau D_{\mathfrak{P}}\tau^{-1}=D_{\mathfrak{P}}$ であり、推移性から主張が従う。

3。$x\in\mathfrak{P}$ なら $\sigma(x)\in x+\mathfrak{P}=\mathfrak{P}$ なので $\sigma(\mathfrak{P})\subset\mathfrak{P}$ である。$\sigma(\mathfrak{P})$ は極大イデアルなので $\sigma(\mathfrak{P})=\mathfrak{P}$ である。

4。$\operatorname{Gal}(L/M)=H$ なので（Galois理論 の記事の定理「Galois理論の基本定理」）、定義から $L/M$ の分解群は $\{\sigma\in H\mid\sigma(\mathfrak{P})=\mathfrak{P}\}=D_{\mathfrak{P}}\cap H$ である。惰性群は 3 の記述から $I_{\mathfrak{P}}\cap H$ である。$\square$

$k$ の標数を $p$、$q=p^m$ とすると $\phi_q$ は 有限体 の記事の命題「Frobenius写像の性質」の Frobenius 自己同型の $m$ 回の合成なので、$k'$ の自己同型である。$k^\times$ は位数 $q-1$ の群なので $a\in k$ は $a^q=a$ を満たし、$\phi_q$ は $k$ を各点固定する。$k'^\times$ は位数 $q^f-1$ の巡回群である（同記事の定理「有限体の乗法群の構造」）。その生成元を $\gamma$ とすると、$\phi_q^j=\mathrm{id}$ は $\gamma^{q^j-1}=1$、すなわち $q^f-1\mid q^j-1$ と同値である。$j=af+c$（$0\le c< f$）と書くと $q^j\equiv q^c\pmod{q^f-1}$ なので $q^j-1\equiv q^c-1$ で、$0\le q^c-1< q^f-1$ だから、これは $c=0$、すなわち $f\mid j$ と同値である。よって $\phi_q$ の位数は $f$ である。一方、$k'$ の $k$ 上の自己同型の個数は $[k':k]=f$ 以下である（Galois拡大 の記事の補題「自己同型の個数の上界」）。したがって $\operatorname{Aut}(k'/k)=\langle\phi_q\rangle$ であり、その位数が $[k':k]$ に等しいので $k'/k$ は Galois 拡大である（同記事の定理「有限次Galois拡大の特徴づけ」）。$\square$

Galois理論の基本定理（Galois理論 の記事の定理「Galois理論の基本定理」）により $\operatorname{Gal}(L/Z)=D_{\mathfrak{P}}$、$\operatorname{Gal}(L/T)=I_{\mathfrak{P}}$ で、$[L:Z]=\lvert D_{\mathfrak{P}}\rvert=ef$、$[L:T]=\lvert I_{\mathfrak{P}}\rvert=e$（cor-dig-exact）、$[Z:K]=[G:D_{\mathfrak{P}}]=g$、$[T:Z]=f$ である。

1。拡大 $L/Z$ に thm-dig-transitive を当てると、$\mathfrak{P}_Z$ の上にある素イデアルは $\mathfrak{P}$ の $D_{\mathfrak{P}}$ 軌道をなすが、$D_{\mathfrak{P}}$ は $\mathfrak{P}$ を固定するので軌道は $\{\mathfrak{P}\}$ だけである。

2。1 により拡大 $L/Z$ で $g=1$ なので、cor-dig-efg から $e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{P}_Z)f(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{P}_Z)=[L:Z]=ef$ である。分岐指数と剰余次数の乗法性（代数体における素イデアルの分解 の記事の命題「分岐指数と剰余次数の乗法性」）により $e=e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{P}_Z)\,e(\mathfrak{P}_Z\mid\mathfrak{p})$、$f=f(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{P}_Z)\,f(\mathfrak{P}_Z\mid\mathfrak{p})$ なので $e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{P}_Z)\le e$、$f(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{P}_Z)\le f$ であり、積が $ef$ だからどちらも等号である。よって $e(\mathfrak{P}_Z\mid\mathfrak{p})=f(\mathfrak{P}_Z\mid\mathfrak{p})=1$ である。

4。拡大 $L/T$ の分解群と惰性群は、prop-dig-basic の 4 により $D_{\mathfrak{P}}\cap I_{\mathfrak{P}}=I_{\mathfrak{P}}$ と $I_{\mathfrak{P}}\cap I_{\mathfrak{P}}=I_{\mathfrak{P}}$ である。$L/T$ に prop-dig-basic の 1 と cor-dig-exact を当てると、$\lvert I_{\mathfrak{P}}\rvert=e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{P}_T)f(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{P}_T)$ かつ $\lvert I_{\mathfrak{P}}\rvert=e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{P}_T)$ であり、$f(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{P}_T)=1$、$e(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{P}_T)=\lvert I_{\mathfrak{P}}\rvert=e$ である。

3。2 と 4 と乗法性から $e(\mathfrak{P}_T\mid\mathfrak{P}_Z)=e/(e\cdot1)=1$、$f(\mathfrak{P}_T\mid\mathfrak{P}_Z)=f/(1\cdot1)=f$ である。$\square$

1 は $\lvert I_{\mathfrak{P}}\rvert=e$（cor-dig-exact）から、2 は $\lvert D_{\mathfrak{P}}\rvert=ef$ と $efg=n$ から従う。3：惰性は $g=1$、$e=1$ のことであり、$[G:D_{\mathfrak{P}}]=g$ と $\lvert I_{\mathfrak{P}}\rvert=e$ から $D_{\mathfrak{P}}=G$、$I_{\mathfrak{P}}=1$ と同値である。このとき $G=D_{\mathfrak{P}}\cong D_{\mathfrak{P}}/I_{\mathfrak{P}}$ は巡回群である（cor-dig-exact）。$\square$

1。減少することは定義から分かる。$\tau\in D_{\mathfrak{P}}$、$\sigma\in G_i$、$x\in\mathcal{O}_L$ について $y:=\tau^{-1}(x)\in\mathcal{O}_L$ とおくと、$\tau\sigma\tau^{-1}(x)-x=\tau(\sigma(y)-y)\in\tau(\mathfrak{P}^{i+1})=\mathfrak{P}^{i+1}$ なので $\tau\sigma\tau^{-1}\in G_i$ である。

2。$L$ の各元は $\mathcal{O}_L$ の元を正の整数で割ったものなので、$\sigma\ne1$ は $\mathcal{O}_L$ のある元 $x_\sigma$ を動かす。$0$ でない $\sigma(x_\sigma)-x_\sigma$ の $v_{\mathfrak{P}}$ は有限なので、$i$ をそれらの最大値以上にとれば、どの $\sigma\ne1$ も $G_i$ に属さない。

3。拡大 $L/M$ の分解群は $D_{\mathfrak{P}}\cap H$ であり（prop-dig-basic の 4）、合同の条件は同じなので、第 $i$ 分岐群は $G_i\cap H$ である。$\square$

1。差積と分岐 の記事の補題「指数の乗法性」を $J=\mathfrak{P}^k$、$I=\mathfrak{P}$ に使うと $\lvert\mathfrak{P}^k/\mathfrak{P}^{k+1}\rvert=\lvert\kappa(\mathfrak{P})\rvert$ である。$\mathfrak{P}^k/\mathfrak{P}^{k+1}$ は $\mathfrak{P}$ で消えるので $\kappa(\mathfrak{P})$ 上のベクトル空間であり、元の個数から 1 次元である。$v_{\mathfrak{P}}(\Pi^k)=k$ なので $\Pi^k$ の類は $0$ でなく基底になり、主張が従う。

2。thm-dig-fields の 4 により $f(\mathfrak{P}\mid\mathfrak{P}_T)=1$ なので、$\mathcal{O}_T/\mathfrak{P}_T\to\kappa(\mathfrak{P})$ は同型であり、$\mathcal{O}_L$ の各元は $\mathfrak{P}$ を法として $\mathcal{O}_T$ のある元と合同である。これで $m=1$ の場合が言える。$x-\sum_{j< m}a_j\Pi^j\in\mathfrak{P}^m$ まで選べたとすると、1 によりこれは $c\,\Pi^m$（$c\in\mathcal{O}_L$）と $\mathfrak{P}^{m+1}$ を法として合同であり、$a_m\in\mathcal{O}_T$ を $a_m\equiv c\pmod{\mathfrak{P}}$ にとると $(c-a_m)\Pi^m\in\mathfrak{P}^{m+1}$ なので、$m+1$ の場合が言える。

3。$\sigma\in G_i$ なら $x=\Pi$ として右辺が成り立つ。逆に $s:=\sigma(\Pi)-\Pi\in\mathfrak{P}^{i+1}$ とする。$x\in\mathcal{O}_L$ を 2（$m=i+1$）により $x=\sum_{j=0}^{i}a_j\Pi^j+r$（$a_j\in\mathcal{O}_T$、$r\in\mathfrak{P}^{i+1}$）と書く。$\sigma\in G_0=I_{\mathfrak{P}}=\operatorname{Gal}(L/T)$ は $a_j$ を動かさないので $\sigma(x)-x=\sum_{j=1}^{i}a_j(\sigma(\Pi)^j-\Pi^j)+\sigma(r)-r$ であり、$\sigma(\Pi)^j-\Pi^j=s\sum_{k=0}^{j-1}\sigma(\Pi)^k\Pi^{j-1-k}\in\mathfrak{P}^{i+1}$、$\sigma(r)\in\mathfrak{P}^{i+1}$ だから $\sigma(x)\equiv x\pmod{\mathfrak{P}^{i+1}}$ である。$\square$

$c_\sigma\bmod\mathfrak{P}$ が $\sigma$ で決まることは lem-dig-uniformizer の 1 による。

1。$\sigma\in D_{\mathfrak{P}}$ は $\mathfrak{P}$ と $\mathfrak{P}^2$ を保つので $\sigma(\Pi)\in\mathfrak{P}\setminus\mathfrak{P}^2$ であり、$c_\sigma\notin\mathfrak{P}$ である。$\sigma,\tau\in G_0$ について $\tau(\Pi)=c_\tau\Pi+r$（$r\in\mathfrak{P}^2$）と書くと $\sigma\tau(\Pi)=\sigma(c_\tau)\sigma(\Pi)+\sigma(r)$ である。$\sigma(r)\in\mathfrak{P}^2$、$\sigma(c_\tau)-c_\tau\in\mathfrak{P}$、$\sigma(\Pi)\in\mathfrak{P}$ から $\sigma\tau(\Pi)\equiv c_\tau\sigma(\Pi)\equiv c_\tau c_\sigma\Pi\pmod{\mathfrak{P}^2}$ で、$\theta_0(\sigma\tau)=\theta_0(\sigma)\theta_0(\tau)$ である。$\theta_0(\sigma)=1$ は $\sigma(\Pi)\equiv\Pi\pmod{\mathfrak{P}^2}$ と同値で、lem-dig-uniformizer の 3 により $\sigma\in G_1$ と同値である。

2。$\sigma,\tau\in G_i$ について $\sigma\tau(\Pi)-\Pi=\sigma(\tau(\Pi)-\Pi)+(\sigma(\Pi)-\Pi)$ である。$\tau(\Pi)-\Pi=c_\tau\Pi^{i+1}+r$（$r\in\mathfrak{P}^{i+2}$）と書くと $\sigma(\tau(\Pi)-\Pi)\equiv\sigma(c_\tau)\sigma(\Pi)^{i+1}\pmod{\mathfrak{P}^{i+2}}$ である。$\sigma(\Pi)=\Pi+s$（$s\in\mathfrak{P}^{i+1}$）から $\sigma(\Pi)^{i+1}-\Pi^{i+1}\in s\,\mathfrak{P}^{i}\subset\mathfrak{P}^{2i+1}\subset\mathfrak{P}^{i+2}$（$i\ge1$）、また $\sigma(c_\tau)\equiv c_\tau\pmod{\mathfrak{P}}$ なので $\sigma(c_\tau)\sigma(\Pi)^{i+1}\equiv c_\tau\Pi^{i+1}\pmod{\mathfrak{P}^{i+2}}$ である。よって $\sigma\tau(\Pi)-\Pi\equiv(c_\tau+c_\sigma)\Pi^{i+1}\pmod{\mathfrak{P}^{i+2}}$ で、$\theta_i(\sigma\tau)=\theta_i(\sigma)+\theta_i(\tau)$ である。$\theta_i(\sigma)=0$ は $\sigma(\Pi)\equiv\Pi\pmod{\mathfrak{P}^{i+2}}$ と同値で、lem-dig-uniformizer の 3 により $\sigma\in G_{i+1}$ と同値である。$\square$

1。$G_0/G_1$ は $\kappa(\mathfrak{P})^\times$ の部分群と同型である。$\kappa(\mathfrak{P})^\times$ は位数 $\lvert\kappa(\mathfrak{P})\rvert-1$ の巡回群であり（有限体 の記事の定理「有限体の乗法群の構造」）、$\lvert\kappa(\mathfrak{P})\rvert$ は $p$ の冪なのでこの位数は $p$ と素である。巡回群の部分群は巡回群である。

2。$G_i/G_{i+1}$ は加法群 $\kappa(\mathfrak{P})$ の部分群と同型で、$\kappa(\mathfrak{P})$ ではすべての元 $a$ が $pa=0$ を満たす。

3。prop-dig-higher-basic の 2 により十分大きい $N$ で $G_N=1$ なので、$\lvert G_1\rvert=\prod_{i=1}^{N-1}\lvert G_i/G_{i+1}\rvert$ であり、2 からこれは $p$ の冪である。$P$ を $G_0$ の $p$ 部分群とすると、$P$ の $G_0/G_1$ での像の位数は $\lvert P\rvert$（$p$ の冪）と $\lvert G_0/G_1\rvert$（$p$ と素）の公約数なので $1$ であり、$P\subset G_1$ である。$\lvert G_0\rvert=e$ は cor-dig-exact による。

4。$p\nmid e$ なら、$\lvert G_1\rvert$ は $e$ を割る $p$ の冪なので $1$ である。逆に $G_1=1$ なら $e=\lvert G_0/G_1\rvert$ は 1 により $p$ と素である。

5。$1=G_N\subset\cdots\subset G_1\subset G_0=I_{\mathfrak{P}}$ の各項は $G_0$ の正規部分群で（prop-dig-higher-basic の 1）、隣り合う商は 1 と 2 によりアーベル群である。$\square$