Stampacchiaの定理
概要
Stampacchiaの定理（Stampacchia theorem）とは、実 Hilbert 空間 $H$ 上の有界で強圧的な双線形形式 $a$、空でない閉凸集合 $K$、連続線形汎関数 $\varphi$ について、変分不等式 $a(u,v-u)\ge\langle\varphi,v-u\rangle$（$v\in K$）を満たす $u\in K$ がただ 1 つ存在するという定理である。証明は、変分不等式を閉凸集合への射影の不動点の問題に書き換え、縮小写像の原理を使う。$a$ が対称なら、解は $\frac12a(v,v)-\langle\varphi,v\rangle$ の $K$ 上の最小点と一致し、$K=H$ とすると Lax–Milgram の定理が得られる。障害物問題や線形相補性問題など、制約のついた最小化と境界値問題を扱う変分不等式の理論の出発点である。
前提知識: Hilbert空間, 凸集合, Banachの不動点定理, Rieszの表現定理
微分可能な関数 $F\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ が閉区間 $[0,1]$ 上で点 $u$ において最小になるとする。$u$ が内点なら $F'(u)=0$ である。$u=0$ なら右へ動くと値が減らないので $F'(0)\ge0$、$u=1$ なら左へ動くと値が減らないので $F'(1)\le0$ である。この 3 通りは、ひとつの不等式
$$
F'(u)(v-u)\ge0\qquad(v\in[0,1])
$$
にまとめられる。このように、制約のついた最小化の 1 次の条件は、等式ではなく許される方向すべてについての不等式になる。これを 変分不等式 という。
Stampacchia の定理 は、Hilbert 空間 $H$ の空でない閉凸集合 $K$ と、強圧的な有界双線形形式 $a$ について、変分不等式 $a(u,v-u)\ge\langle\varphi,v-u\rangle$（$v\in K$）を満たす $u\in K$ がただ 1 つ存在することを主張する。$K=H$ のときは方程式 $a(u,w)=\langle\varphi,w\rangle$ になり、Lax–Milgramの定理 が得られる。$a$ が対称なら、解はエネルギー $\frac12a(v,v)-\langle\varphi,v\rangle$ の $K$ 上の最小点にほかならない。
この記事では、閉凸集合への射影を変分不等式で特徴づけたうえで、射影と Banachの不動点定理 を組み合わせて Stampacchia の定理を証明する。次に、対称な場合に解が最小点であることを示し、凸関数の最小化と変分不等式の関係、Lax–Milgram の定理との関係を述べる。例として線形相補性問題と障害物問題を扱い、最後に仮定を外した反例を表にまとめる。
定義
以下、$H$ を実 Hilbert 空間とし、内積を $(\cdot,\cdot)$、ノルムを $|\cdot|$、連続双対を $H^*$、$\varphi\in H^*$ の $v$ での値を $\langle\varphi,v\rangle$、双対ノルムを $\|\varphi\|$ と書く。
双線形形式 $a\colon H\times H\to\mathbb{R}$ について、
- ある定数 $C\ge0$ ですべての $u,v$ について $|a(u,v)|\le C|u|\,|v|$ となるとき、$a$ は 有界（連続）であるという。
- ある定数 $\alpha>0$ ですべての $v$ について $a(v,v)\ge\alpha|v|^2$ となるとき、$a$ は 強圧的（coercive）であるという。
- すべての $u,v$ で $a(u,v)=a(v,u)$ のとき、$a$ は 対称 であるという。
強圧性は対称性を含まない。複素 Hilbert 空間での同じ条件は Lax–Milgramの定理 の定義「有界性と強圧性」にある。
$a$ を $H$ 上の双線形形式、$K\subset H$ を空でない閉凸集合、$\varphi\in H^*$ とする。
$$
u\in K,\qquad a(u,v-u)\ge\langle\varphi,v-u\rangle\quad(v\in K)
$$
を満たす $u$ を求める問題を、$a$、$K$、$\varphi$ についての 変分不等式（variational inequality）といい、このような $u$ をその解という。
閉凸集合への射影
Hilbert空間 の定理「閉凸集合への最短点の存在と一意性」により、空でない閉凸集合 $K$ と $f\in H$ に対して、$K$ の中で $f$ に最も近い点 $P_Kf$ がただ 1 つある。これを $f$ の $K$ への射影という。射影は最も簡単な変分不等式の解である。
$K\subset H$ を空でない閉凸集合、$f\in H$、$u\in K$ とする。
- $u=P_Kf$ であることと、すべての $v\in K$ で $(f-u,v-u)\le0$ であることは同値である。
- すべての $f_1,f_2\in H$ で $|P_Kf_1-P_Kf_2|\le|f_1-f_2|$ である。
1：$v\in K$ について $|f-v|^2=|f-u|^2-2(f-u,v-u)+|v-u|^2$ である。すべての $v\in K$ で $(f-u,v-u)\le0$ なら $|f-v|\ge|f-u|$ なので $u=P_Kf$ である。逆に $u=P_Kf$ なら、$0< t\le1$ で $u+t(v-u)\in K$ なので、上の式で $v$ を $u+t(v-u)$ に替えて $0\le-2t(f-u,v-u)+t^2|v-u|^2$ を得る。$t$ で割って $t\downarrow0$ とすれば $(f-u,v-u)\le0$ である。
2：$u_i=P_Kf_i$ とし、1 の不等式を $f_1$ と $v=u_2$、$f_2$ と $v=u_1$ に当てて足すと $(f_1-f_2-(u_1-u_2),u_2-u_1)\le0$、すなわち $|u_1-u_2|^2\le(f_1-f_2,u_1-u_2)\le|f_1-f_2|\,|u_1-u_2|$ である。$\square$
1 は、$a$ を内積、$\varphi=(f,\cdot)$ としたときの変分不等式の解が $P_Kf$ であることを表す。幾何的には、$f$ から $P_Kf$ へ向かうベクトルと、$P_Kf$ から $K$ の点へ向かうベクトルのなす角が直角以上であることを意味する。2 の性質は、射影を繰り返して点列を作るとき（2 つの閉凸集合への交互射影など）の収束を調べる基礎になり、Fejér単調列 で使われる。
Stampacchia の定理
$a$ を $H$ 上の有界で強圧的な双線形形式（定数 $C$、$\alpha$）、$K\subset H$ を空でない閉凸集合とする。このとき、任意の $\varphi\in H^*$ に対して、変分不等式
$$
u\in K,\qquad a(u,v-u)\ge\langle\varphi,v-u\rangle\quad(v\in K)
$$
の解 $u$ がただ 1 つ存在する。さらに、$\varphi_1,\varphi_2$ に対する解を $u_1,u_2$ とすると $|u_1-u_2|\le\|\varphi_1-\varphi_2\|/\alpha$ である。
$H=\{0\}$ なら $K=\{0\}$ で $u=0$ が唯一の解なので、$H\neq\{0\}$ とする。このとき単位ベクトル $v$ で $\alpha\le a(v,v)\le C$ なので $C\ge\alpha>0$ である。
段 1（作用素への書き換え）．Rieszの表現定理 により、$\langle\varphi,v\rangle=(f,v)$ となる $f\in H$ がある。$u\in H$ を固定すると $v\mapsto a(u,v)$ は連続線形汎関数なので、再び Riesz の表現定理により $a(u,v)=(Au,v)$ となる $Au\in H$ がただ 1 つある。代表の一意性から $A\colon H\to H$ は線形で、$|Au|=\sup_{|v|\le1}a(u,v)\le C|u|$、$(Au,u)=a(u,u)\ge\alpha|u|^2$ である。
段 2（射影の不動点への書き換え）．$\rho>0$ を定数とする。変分不等式は $(Au-f,v-u)\ge0$、すなわち $(\rho f-\rho Au+u-u,v-u)\le0$（$v\in K$）と書けるので、prop-st-projection の 1 により
$$
u=P_K(u-\rho Au+\rho f)
$$
と同値である。そこで $S\colon K\to K$ を $Sv:=P_K(v-\rho Av+\rho f)$ で定める。
段 3（縮小性）．$v_1,v_2\in K$、$w=v_1-v_2$ とすると、prop-st-projection の 2 により
$$
|Sv_1-Sv_2|^2\le|w-\rho Aw|^2=|w|^2-2\rho(Aw,w)+\rho^2|Aw|^2\le(1-2\rho\alpha+\rho^2C^2)|w|^2
$$
である。$0<\rho<2\alpha/C^2$ にとると $k^2:=1-2\rho\alpha+\rho^2C^2<1$ であり（$k^2\ge1-\alpha^2/C^2\ge0$）、$S$ は縮小写像になる。$K$ は完備な $H$ の閉集合なので完備距離空間であり、Banachの不動点定理 により $S$ はただ 1 つの不動点をもつ。これが変分不等式のただ 1 つの解である。
段 4（安定性）．$u_1,u_2$ の不等式にそれぞれ $v=u_2$、$v=u_1$ を代入して足すと $a(u_1-u_2,u_1-u_2)\le\langle\varphi_1-\varphi_2,u_1-u_2\rangle$ なので、$\alpha|u_1-u_2|^2\le\|\varphi_1-\varphi_2\|\,|u_1-u_2|$ である。$\square$
段 3 の上界 $k^2$ は $\rho=\alpha/C^2$ で最小値 $1-\alpha^2/C^2$ をとるので、不動点を反復 $u_{m+1}=Su_m$ で数値的に求めるときにはこの $\rho$ が目安になる。証明は $a$ の対称性を使っていない。
対称な場合：エネルギーの最小化
thm-st-main の仮定に加えて $a$ が対称であるとし、$J(v):=\frac12a(v,v)-\langle\varphi,v\rangle$ とおく。$u\in K$ について、$u$ が変分不等式の解であることと、$J(u)=\min_{v\in K}J(v)$ であることは同値である。さらにこのとき、すべての $v\in K$ で
$$
J(v)-J(u)\ge\frac\alpha2|v-u|^2
$$
であり、最小点は $u$ だけである。
$u,v\in K$、$w=v-u$ とする。双線形性と対称性から $a(u+w,u+w)=a(u,u)+2a(u,w)+a(w,w)$ なので
$$
J(v)-J(u)=\bigl[a(u,v-u)-\langle\varphi,v-u\rangle\bigr]+\frac12a(v-u,v-u)
$$
である。$u$ が解なら角括弧は $0$ 以上なので、強圧性から $J(v)-J(u)\ge\frac\alpha2|v-u|^2$ を得る。逆に $u$ が $K$ 上の最小点なら、$0< t\le1$ で $u+t(v-u)\in K$ なので、上の式で $v$ を $u+t(v-u)$ に替えて
$$
0\le t\bigl[a(u,v-u)-\langle\varphi,v-u\rangle\bigr]+\frac{t^2}2a(v-u,v-u)
$$
である。$t$ で割って $t\downarrow0$ とすれば変分不等式を得る。$\square$
$a$ が対称でないと、変分不等式の解は $J$ の最小点とは限らない（下の表の 4 行目）。$J$ の微分は $\frac12\bigl(a(u,\cdot)+a(\cdot,u)\bigr)-\varphi$ であり、$a(u,\cdot)-\varphi$ と一致しないからである。
上の証明の後半は、凸関数一般について次の形で成り立つ。
$F\colon H\to\mathbb{R}$ を凸関数で、各点 $u$ で Gâteaux 微分可能（微分を $F'(u)\in H^*$ と書く）とし、$K\subset H$ を凸集合、$u\in K$ とする。$F(u)=\min_{v\in K}F(v)$ であることと、すべての $v\in K$ で $\langle F'(u),v-u\rangle\ge0$ であることは同値である。
最小点なら、$0< t\le1$ で $\bigl(F(u+t(v-u))-F(u)\bigr)/t\ge0$ であり、$t\downarrow0$ とすれば不等式を得る。逆は、凸関数の不等式 $F(v)\ge F(u)+\langle F'(u),v-u\rangle$（単調作用素 の命題「凸関数の微分は単調」の証明の前半）による。$\square$
条件 $u\in K$ は外せない。$H=\mathbb{R}$、$F(x)=x^2$、$K=\{1\}$、$u=-1$ なら、$F(u)=1=\min_{v\in K}F(v)$ だが $F'(-1)(1-(-1))=-4< 0$ である。冒頭の区間 $[0,1]$ の例は、$H=\mathbb{R}$、$K=[0,1]$ の場合である。
Lax–Milgram の定理との関係
thm-st-main で $K=H$ とすると、すべての $w\in H$ で $a(u,w)=\langle\varphi,w\rangle$ を満たす $u\in H$ がただ 1 つ存在し、$|u|\le\|\varphi\|/\alpha$ である。$a$ が対称なら、$u$ は $J$ の $H$ 上のただ 1 つの最小点である。
$K=H$ なら、変分不等式に $v=u+w$、$v=u-w$ を代入して $a(u,w)-\langle\varphi,w\rangle\ge0$ と $\le0$ を得るので、等式になる。逆に等式なら変分不等式が成り立つ。評価は thm-st-main の安定性で $\varphi_2=0$（解 $u_2=0$）とすればよい。後半は thm-st-symmetric による。$\square$
これは実 Hilbert 空間での Lax–Milgramの定理 である。Stampacchia の定理は、$K$ が部分空間でない場合への一般化にあたり、その分だけ結論が等式から不等式に変わる。非線形の作用素への一般化は 単調作用素 の命題「連続な単調作用素の変分不等式」と定理「Minty–Browderの定理」にある。
例
$H=\mathbb{R}^n$（標準内積）、$M$ を $n$ 次実正方行列で、ある $\alpha>0$ についてすべての $x$ で $Mx\cdot x\ge\alpha|x|^2$ を満たすもの（対称とは限らない）、$b\in\mathbb{R}^n$ とする。このとき
$$
u\ge0,\qquad Mu-b\ge0,\qquad (Mu-b)\cdot u=0
$$
（不等号は成分ごと）を満たす $u$ がただ 1 つ存在する。
証明
$a(u,v)=Mu\cdot v$、$K=\{v\mid v\ge0\}$（閉凸）、$\langle\varphi,v\rangle=b\cdot v$ として thm-st-main を当て、変分不等式がこの 3 条件と同値であることを示す。3 条件が成り立てば、$v\ge0$ について $(Mu-b)\cdot(v-u)=(Mu-b)\cdot v\ge0$ である。逆に変分不等式が成り立つとき、$v=u+e_j$ から $(Mu-b)_j\ge0$、$v=0$ と $v=2u$ から $-(Mu-b)\cdot u\ge0$ と $(Mu-b)\cdot u\ge0$ を得る。
$H=H^1_0(0,1)$ に Poincaréの不等式 の系「勾配のノルムと Dirichlet 内積」の内積 $a(u,v)=\int_0^1u'v'\,dx$ を入れると、$H$ は Hilbert 空間で、$a$ は有界・強圧的・対称である。$\psi$ を可測関数とし、$K=\{v\in H\mid v\ge\psi\ \text{a.e.}\}$ が空でないとする。$K$ は凸である。同じ系により $H$ のノルムは $H^1(0,1)$ のノルムと同値なので、$H$ で収束する列は $L^2(0,1)$ でも収束し、ほとんどいたる所収束する部分列をもつ。よって $K$ は閉である。$f\in L^2(0,1)$ について $\langle\varphi,v\rangle=\int_0^1fv\,dx$ とおくと、同じノルムの同値性から $\varphi\in H^*$ であり、thm-st-main と thm-st-symmetric により
$$
\int_0^1\Bigl(\frac12|v'|^2-fv\Bigr)dx
$$
を $K$ の上で最小にする $u$ がただ 1 つ存在する。これは、両端を固定して張った弦に荷重 $f$ がかかり、弦が障害物 $\psi$ より下には行けないという制約のもとでのつり合いの形にあたる。
条件を外した反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $a$ の強圧性 | $H=\mathbb{R}^2$、$a(u,v)=u_1v_1$、$K=H$、$\langle\varphi,v\rangle=v_2$ | 解がない（$w=(0,1)$ で $a(u,w)=0\neq1$） |
| $K$ が閉であること | $H=\mathbb{R}$、$a(u,v)=uv$、$K=(0,1]$、$\langle\varphi,v\rangle=-v$ | 解がない（変分不等式は $(u+1)(v-u)\ge0$ で、すべての $v\in K$ で $v\ge u$ を要求する） |
| $K$ の凸性 | $H=\mathbb{R}$、$a(u,v)=uv$、$K=\{-1,1\}$、$\varphi=0$ | 解がない（$u=\pm1$ で $v=\mp1$ とすると $u(v-u)=-2< 0$） |
| thm-st-symmetric の $a$ の対称性 | $H=\mathbb{R}^2$、$a(u,v)=Mu\cdot v$、$M=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$、$K=H$、$\langle\varphi,v\rangle=v_1$ | 解は $u=(\frac12,\frac12)$ だが、$J(v)=\frac12\lvert v\rvert^2-v_1$ の最小点は $(1,0)$ |
1 行目の $a$ は有界で対称、$K$ は閉凸である。4 行目の $M$ は $Mx\cdot x=\lvert x\rvert^2$ を満たすので強圧的で、$Mu=e_1$ の解が $u=(\frac12,\frac12)$ である。
補足
thm-st-main の存在と一意性、thm-st-symmetric の最小化の特徴づけは Bre11 Theorem 5.6（p. 138、証明は pp. 138–140）にある。同書は対称な場合を新しい内積についての射影として示しており、prf-st-symmetric の直接の計算とは筋が違う。射影の特徴づけと非拡大性は同書 Theorem 5.2（p. 132）と Proposition 5.3（p. 134）、cor-st-lax-milgram は同書 Corollary 5.8（p. 140）、prop-st-convex は同書 Exercise 5.10（p. 149）に演習として挙げられている。変分不等式の理論と力学・自由境界問題・最適制御への応用の文献案内は、同書の Chapter 5 への Comments の 2（p. 145）にある。
関連項目
- 前提: Hilbert空間, 凸集合, Banachの不動点定理, Rieszの表現定理
- 比較: Lax–Milgramの定理, 最適化, 変分法
- 直後に読む: 単調作用素, 極大単調作用素, Fejér単調列
- 応用: 楕円型偏微分方程式, Poincaréの不等式
参考文献
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