Poncelet–Steinerの定理

方針：直線が中心 $O$ を通れば、$\Gamma$ との 2 つの交点の中点が $O$ なので、定規だけの作図 の主定理 2 がそのまま使える。$O$ を通らない直線には、等間隔の平行線 3 本で中点つきの線分を作る。以下、$R$ が直線 $XY$ の上にあるときは、求める平行線は $XY$ そのものなので、$R$ は $XY$ の上にないとしてよい。
段 1（$O$ を通る直線）。直線 $XY$ が $O$ を通るとする。$XY$ と $\Gamma$ の 2 つの交点を $E$、$F$ とすると、$EF$ は直径で、中点は $O$ である。定規だけの作図 の主定理 2 の条件 (ii)（中点から平行線）を線分 $EF$ と中点 $O$ に使うと、$R$ を通り $EF$、つまり $XY$ に平行な直線が引ける。
段 2（$O$ を通らない直線）。直線 $XY$ が $O$ を通らないとする。$X\ne O$、$Y\ne O$ で、$O$、$X$、$Y$ は一直線に並ばない。直線 $OX$ と $\Gamma$ の交点を $E_1$、$F_1$、直線 $OY$ と $\Gamma$ の交点を $E_2$、$F_2$ とする。段 1 により、$E_2$ と $F_2$ を通って直線 $OX$ に平行な直線 $g_1$、$g_2$ が引ける。$g_0$ を直線 $OX$ とする。
段 3（中点つきの線分）。$g_1$、$g_0$、$g_2$ は平行で、直線 $E_2F_2$ を $E_2$、$O$、$F_2$ で切り、$O$ は $E_2F_2$ の中点である。直線 $XY$ は $g_0$ と $X$ で交わるので $g_0$ に平行でなく、$g_1$、$g_2$ とも 1 点ずつで交わる。その交点を $X_1$、$X_2$ とする。平行な 3 本の直線は、どの直線も同じ比に切るので（平行線と線分の比）、$X_1X:XX_2=E_2O:OF_2=1:1$ で、$X$ は線分 $X_1X_2$ の中点である。
段 4（平行線と中点）。直線 $XY$ の上に、線分 $X_1X_2$ とその中点 $X$ ができた。定規だけの作図 の主定理 2 の条件 (ii) により、$R$ を通り $XY$ に平行な直線が引ける。$XY$ の中点は、$XY$ の上にない点を通って $XY$ に平行な直線を引いてから、同じ主定理の条件 (i) を使えば作図できる。段 1 の場合も同じである。$\square$

方針：$m$ に平行な弦の中点と中心 $O$ を結ぶ直線は、その弦の垂直二等分線で、$m$ に垂直である。
段 1（$m$ に平行な直径）。lem-pst-parallel で $O$ を通り $m$ に平行な直線を引き、$\Gamma$ との交点を $E$、$F$ とする。
段 2（平行な弦）。$\Gamma$ の上に、$E$、$F$ と異なる勝手な点 $G$ をとる。lem-pst-parallel で $G$ を通り $EF$ に平行な直線を引き、$\Gamma$ との $G$ 以外の交点 $G'$ をとる（この直線が $\Gamma$ に接して $G'$ がないのは、$G$ が $EF$ に垂直な直径の端のときだけで、そのときは手順が実行できないだけである）。
段 3（垂直二等分線）。lem-pst-parallel で弦 $GG'$ の中点 $N$ を作図する。$OG=OG'$（半径）、$NG=NG'$ なので、$O$ と $N$ はどちらも線分 $GG'$ の両端から等距離にあり、$GG'$ の垂直二等分線の上にある（定規とコンパスによる作図 の補題の証明と同じ計算）。$N\ne O$ である（$N=O$ なら直線 $GG'$ は $O$ を通り $EF$ に平行なので $EF$ そのものになり、$G$ が $E$ か $F$ になる）。よって直線 $ON$ は $GG'$ の垂直二等分線で、$GG'\parallel m$ に垂直である。
段 4。lem-pst-parallel で、$R$ を通り $ON$ に平行な直線を引けば、それが求める垂線である。$\square$

段 1（$C$ が直線 $UV$ の上にないとき）。lem-pst-parallel で、$C$ を通り $UV$ に平行な直線と、$V$ を通り $UC$ に平行な直線を引く。2 直線は平行でない（$UV$ と $UC$ が平行でないから）ので交わり、その交点を $T$ とすると、四角形 $UVTC$ は 2 組の対辺が平行なので平行四辺形で、$\overrightarrow{CT}=\overrightarrow{UV}$ である。
段 2（$C$ が直線 $UV$ の上にあるとき）。要点：直線 $UV$ の上にない点 $W$ を経由して、段 1 を 2 回使う。

方針：$\Delta$ を $\Gamma$ に移す相似変換 $h$ で $m$ を移し、描かれた $\Gamma$ との交点をとってから、$h$ で戻す（相似変換と相似の中心）。$h$ による点の像は、平行線だけで作図できる。点を位置ベクトルで表し、同じ文字で書く。$\Gamma$ の半径を $r$、$\Delta$ の半径を $\rho=CT$ とする。
段 1（相似変換 $h$）。lem-pst-parallel で、$O$ を通り $CT$ に平行な直線を引き、$\Gamma$ との交点の 1 つを $T_0$ とする。$T_0-O$ は $T-C$ に平行で長さが $r$ なので、$T_0-O=k(T-C)$ となる数 $k$ があり、$\lvert k\rvert=\dfrac r\rho$ である。
$$ h(X)=O+k(X-C) $$
とおく。$h(C)=O$、$h(T)=T_0$ である。$h(X)-O$ の長さは $X-C$ の長さの $\lvert k\rvert$ 倍なので、$X$ が $\Delta$ の上にある（$CX=\rho$）ことと、$h(X)$ が $\Gamma$ の上にある（$Oh(X)=r$）ことは同値である。$h$ は直線を直線に移し、逆の変換 $h^{-1}(Y)=C+\dfrac1k(Y-O)$ も同じ形である。
段 2（像の作図）。作図済みの点 $X$ が直線 $CT$ の上にないとき、$O$ を通り $CX$ に平行な直線と、$T_0$ を通り $TX$ に平行な直線を引く（lem-pst-parallel）。$h(X)-O=k(X-C)$ は $CX$ に平行、$h(X)-T_0=k(X-T)$ は $TX$ に平行なので、$h(X)$ は 2 直線の両方の上にある。$CX$ と $TX$ は平行でないので 2 直線はちょうど 1 点で交わり、その交点が $h(X)$ である。$X$ が直線 $CT$ の上にあるときは、直線 $CT$ の上にない作図済みの点 $Z$ の像 $h(Z)$ を先に作り、$O$ を通り $CT$ に平行な直線と、$h(Z)$ を通り $ZX$ に平行な直線の交点をとればよい（同じ理由で $h(X)$ になる）。$h^{-1}$ による像も、$O$ と $C$、$T_0$ と $T$ の役を入れかえて同じように作図できる。
段 3（交点）。$m$ の上の作図済みの 2 点 $X_1$、$X_2$ の像を作り、直線 $m'=h(X_1)h(X_2)$ を引く。$h$ は直線を直線に移すので、$m'$ は $m$ の像である。操作 (iv) で $m'$ と $\Gamma$ の交点をとり、段 2 で $h^{-1}$ により戻す。段 1 の同値により、$Y$ が $m\cap\Delta$ の点であることと、$h(Y)$ が $m'\cap\Gamma$ の点であることは同値なので、戻した点がちょうど $m$ と $\Delta$ の交点である。交点がないときは、$m'$ と $\Gamma$ も交わらない。$\square$

方針：2 つの円の交点は、どちらも根軸（2 円に対する方べきが等しい点の集まりで、中心を結ぶ直線に垂直な直線）の上にある。根軸を作図すれば、lem-pst-line-circle で根軸と $\Delta_1$ の交点をとればよい。$\rho_1=C_1T_1$、$\rho_2=C_2T_2$、$d=C_1C_2$ とする。
段 1（半径を入れかえた 2 点）。lem-pst-perp で、$C_1$ を通り $C_1C_2$ に垂直な直線 $n_1$ と、$C_2$ を通り $C_1C_2$ に垂直な直線 $n_2$ を引く。lem-pst-transfer で、中心 $C_1$、半径 $\rho_2$ の円を $C_1$ とその上の 1 点で表し、lem-pst-line-circle でその円と $n_1$ の交点の 1 つ $A_1$ をとる。同じく、中心 $C_2$、半径 $\rho_1$ の円と $n_2$ の交点の 1 つ $A_2$ をとる。$C_1A_1=\rho_2$、$C_2A_2=\rho_1$ である。
段 2（点 $K$）。lem-pst-parallel と lem-pst-perp で線分 $A_1A_2$ の垂直二等分線を引き、直線 $C_1C_2$ との交点を $K$ とする（$A_1$ と $A_2$ は平行で異なる直線 $n_1$、$n_2$ の上にあるので、$A_1A_2$ は $C_1C_2$ に垂直でなく、垂直二等分線は $C_1C_2$ に平行でない）。$KA_1=KA_2$ と三平方の定理から
$$ KC_1^2+\rho_2^2=KA_1^2=KA_2^2=KC_2^2+\rho_1^2 $$
である。
段 3（根軸）。lem-pst-perp で、$K$ を通り $C_1C_2$ に垂直な直線 $s$ を引く。$C_1$ を原点、$C_2$ を $(d,0)$ とする座標で、$K=(\kappa,0)$ とすると、段 2 の式は $\kappa^2+\rho_2^2=(\kappa-d)^2+\rho_1^2$、つまり $2d\kappa=d^2+\rho_1^2-\rho_2^2$ である。点 $(x,y)$ が $\Delta_1$ と $\Delta_2$ の両方の上にあるのは
$$ x^2+y^2=\rho_1^2,\qquad (x-d)^2+y^2=\rho_2^2 $$
のときで、第 1 式から第 2 式を引くと $2dx-d^2=\rho_1^2-\rho_2^2$、つまり $x=\dfrac{d^2+\rho_1^2-\rho_2^2}{2d}=\kappa$ となる。逆に $x=\kappa$ と第 1 式から第 2 式が出る。よって $\Delta_1\cap\Delta_2=\Delta_1\cap s$ である。
段 4。lem-pst-line-circle で $s$ と $\Delta_1$ の交点をとれば、それが $\Delta_1$ と $\Delta_2$ の交点である。$\square$

方針：定規とコンパスによる作図 の作図では、新しい点は「直線と直線」「直線と円」「円と円」の交点として生まれる。作図の手順の長さについての帰納法で、定規とコンパスの手順の各段で得られる点が、定規と $\Gamma$ でも得られることを示す。
段 1（直線）。定規とコンパスで引く直線は、作図済みの 2 点を通る直線である。帰納法の仮定でその 2 点は定規と $\Gamma$ で作図できているので、同じ直線が引ける。
段 2（円）。コンパスで描く円は、作図済みの点 $C$ を中心とし、作図済みの 2 点の距離 $UV$ を半径とする円 $(C;\,UV)$ である。lem-pst-transfer で $\overrightarrow{CT}=\overrightarrow{UV}$ となる点 $T$ を作ると、この円は $(C;\,CT)$ と表せる。円は描かないが、中心と円の上の 1 点で表しておく。
段 3（交点）。新しい点が

• 2 直線の交点なら、定規で交点をとる。
• 直線と円 $(C;\,CT)$ の交点なら、lem-pst-line-circle で得られる。
• 2 つの円 $(C_1;\,C_1T_1)$、$(C_2;\,C_2T_2)$ の交点なら、中心が異なる（中心が同じ相異なる 2 円は交わらない）ので、lem-pst-circle-circle で得られる。
  段 4（選び方）。段 1〜3 の中で使った勝手な点は、どれも「有限個の点と異なる」「有限本の直線の上にない」という条件を満たせばよい。実行できない選び方も、平面の上にとる点なら有限本の直線の上の点（定規だけの作図 の主定理 2 の条件 (i) の真ん中の平行線など）、直線や $\Gamma$ の上にとる点なら有限個の点（同じ主定理の条件 (ii) の中点、lem-pst-perp の段 2 の 2 点など）に限られる。有限本の直線は平面を覆わず、有限個の点は直線や円を覆わないので、勝手な点を 1 つずつ順に選んでいけば実行できる選び方があり、どの選び方でも、得られる点の中に定規とコンパスの手順の点がすべて含まれる。
  段 5（まとめ）。手順の長さについての帰納法により、定規とコンパスで作図できる点は、すべて定規と $\Gamma$ で作図できる。$\square$

要点：定規だけの作図 の主定理 1 と同じ筋で示す。$\Gamma$ を単位円 $x^2+y^2=1$ とし、$0< t<1$ に対して $T(x,y)=\left(\dfrac{x+t}{1+tx},\ \dfrac{\sqrt{1-t^2}\,y}{1+tx}\right)$ とおく。$T$ は直線を直線に、$\Gamma$ を $\Gamma$ に移し、中心 $(0,0)$ を $(t,0)$ に移す。中心を与える実行を $T$ で丸ごと移すと、同じ手順の実行で中心が得られないものができる。