関手圏(豊穣圏)

同義語：豊穣関手圏

概要

定義

以下 $\mathcal V$ は局所小で完備な対称モノイダル閉圏とする。テンソル積を $\otimes$、単位を $I$、内部Homを $[U,V]$ と書く。内部Homは任意の $T$ に自然な全単射
$$\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(T,[U,V]) \cong\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(T\otimes U,V)$$
を満たす。小ささは固定した宇宙で解釈し、関手全体を集める際には必要に応じて大きい宇宙に移る。
豊穣圏 $\mathcal A,\mathcal B$ はHom対象、結合的な合成
$\mathcal A(b,c)\otimes\mathcal A(a,b)\to\mathcal A(a,c)$、単位 $I\to\mathcal A(a,a)$ を持つ。豊穣関手（関手(豊穣圏)）$F$ は対象とHom対象を運び、合成・単位を保つ。以下 $\mathcal A$ の対象集合は小さいとする。

豊穣関手圏

関手圏(豊穣圏)（enriched functor category）$[\mathcal A,\mathcal B]$ は、対象を豊穣関手 $F:\mathcal A\to\mathcal B$ とし、Hom対象 $E(F,G)$ を $\mathcal V$ の積(圏論)の間の等化子
$$ E(F,G)\longrightarrow \prod_a\mathcal B(Fa,Ga) \rightrightarrows \prod_{a,b}[\mathcal A(a,b),\mathcal B(Fa,Gb)] $$
で定める豊穣圏である。二射は「$G$ の作用を成分の後に合成する」射と「$F$ の作用の後に成分を合成する」射である。後述のパラメータ付き自然性が、これらを完全に指定する。

このHom対象を豊穣エンド（エンド(豊穣圏)）
$$[\mathcal A,\mathcal B](F,G)=\int_a\mathcal B(Fa,Ga)$$
とも書く。通常の自然変換の集合ではなく、自然性を満たす成分の族を集めた $\mathcal V$ の対象である。Kel82 §§2.1–2.2、式(2.2),(2.10)–(2.16)。

パラメータ付き自然性

任意の対象から見た自然変換

任意の $T\in\mathcal V$ に対し、$T\to E(F,G)$ は、族
$$\alpha_a:T\longrightarrow\mathcal B(Fa,Ga)$$
で、すべての $a,b$ に対して次の二射 $T\otimes\mathcal A(a,b)\to\mathcal B(Fa,Gb)$ が一致するものに自然に対応する。
$$ m\circ(\alpha_b\otimes F_{a,b}),\qquad m\circ(G_{a,b}\otimes\alpha_a)\circ\tau_{T,\mathcal A(a,b)}. $$
ここで $\tau$ は対称性の同型である。$T=I$ の場合が豊穣自然変換（自然変換(豊穣圏)）$\alpha:F\to G$ である。

積と等化子の普遍性

$T$ から積への射は成分 $\alpha_a$ の族に一意に対応する。二射の $a,b$ 成分を内部Homの随伴で移すと、上の二つの合成になる。従って等化子を経由する条件は、すべての $a,b$ での自然性にちょうど一致する。逆にこの等式を満たす族は一意に等化子へ入る。前合成 $T'\to T$ は各成分への前合成に対応するので、対応は $T$ に自然である。

この条件は $\mathcal A(a,b)$ 全体に対する射の等式である。$I\to\mathcal A(a,b)$ の個々の元だけを代入して確認することは、一般には十分でない。

例

通常の関手圏

$\mathcal V=\mathbf{Set}$ の場合、$E(F,G)$ は自然性の四角形を満たす成分の族の集合である。従って通常の関手圏を回収する。任意の集合 $T$ から $E(F,G)$ への写像は、$t\in T$ ごとに自然変換を選ぶことに等しい。

単位豊穣圏

一対象 $*$ とHom対象 $I$ を持ち、合成・単位を標準のものとする豊穣圏を $\mathbb I$ とする。豊穣関手 $\mathbb I\to\mathcal B$ は $\mathcal B$ の一対象を選ぶだけであり、Homへの写像は単位保存によって決まる。自然性は単位律そのものなので
$$[\mathbb I,\mathcal B]\cong\mathcal B$$
である。この一致は任意の $T$ での成分にも成立する。

環の表現と準同型

単位的環 $R$ を一対象の $\mathbf{Ab}$-豊穣圏とみなし、$\mathcal B=\mathbf{Ab}$ とする。関手はアーベル群 $M$ と環準同型 $R\to\operatorname{End}_{\mathbb Z}(M)$、すなわち左 $R$-加群（左加群）である。$E(M,N)$ は
$$f(rm)=r f(m)$$
を満たす群準同型のアーベル群 $\operatorname{Hom}_R(M,N)$ になる。一般のアーベル群 $T$ からの射は、各 $t$ について $R$-線形な双加法写像 $T\otimes_{\mathbb Z}M\to N$ に対応する。

反例：成分の積だけでは自然変換にならない

通常の圏 $[1]=(0\to1)$ から集合への図式 $F=G$ を、両端で $X=\{0,1\}$、矢印で $1_X$ と定める。成分 $\alpha_0=1_X$、$\alpha_1=(0\;1)$ はともに全単射だが、自然性は $\alpha_1=\alpha_0$ を要求するため自然変換ではない。成分の積から自然性を課す等化子へ進む操作は省略できない。

合成と評価

関手圏の豊穣構造

成分ごとの合成は
$$ E(G,H)\otimes E(F,G)\longrightarrow E(F,H) $$
を定め、単位と合わせて豊穣圏の公理を満たす。各 $a$ での評価 $[\mathcal A,\mathcal B]\to\mathcal B$ は豊穣関手となる。

普遍的成分全体に自然性を適用する

$E(F,G)$ の普遍的成分を $\alpha_a$、$E(G,H)$ のものを $\beta_a$ とし、$T=E(G,H)\otimes E(F,G)$ からの成分を $\gamma_a=m(\beta_a\otimes\alpha_a)$ とする。
$\gamma$ の自然性を $T\otimes\mathcal A(a,b)$ 上で調べる。$\gamma_b$ の後に $F_{a,b}$ を合成する射は、結合律で「$\beta_b$ の後に $\alpha_b F_{a,b}$ を置く」射に書ける。$\alpha$ の自然性を使うと $\alpha_bF_{a,b}=G_{a,b}\alpha_a$、次に $\beta$ の自然性を使うと $\beta_bG_{a,b}=H_{a,b}\beta_a$ となる。結合律でまとめ直せば $H_{a,b}\gamma_a$ である。これらは要素の略記だが、実際には全対象 $T\otimes\mathcal A(a,b)$ 上の射の等式であり、因子の移動には対称性を使っている。
したがって $\gamma$ は一意に $E(F,H)$ への射を与える。各 $a$ の単位 $j_{Fa}$ も、$F$ の関手公理によって自然なので $I\to E(F,F)$ を与える。関手圏の結合律と単位律は、各成分へ射影すると $\mathcal B$ の公理になる。等化子の成分射は射の一致を検出するため、元の射も一致する。評価はこの構成により合成・単位を保つ。

豊穣前層と∞圏への接続

$\mathcal B=\mathcal V$ とし、$\mathcal A$ をその反対豊穣圏 $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ に替えた
$[\mathcal A^{\mathrm{op}},\mathcal V]$ が豊穣前層圏（前層(豊穣圏)）である。ここで反対豊穣圏 $\mathcal A^{\mathrm{op}}$ とは、Hom対象を $\mathcal A^{\mathrm{op}}(a,b)=\mathcal A(b,a)$ とし、合成 $\mathcal A^{\mathrm{op}}(b,c)\otimes\mathcal A^{\mathrm{op}}(a,b)=\mathcal A(c,b)\otimes\mathcal A(b,a)$ を対称性 $\tau$ で $\mathcal A(b,a)\otimes\mathcal A(c,b)$ に並べ替えてから $\mathcal A$ の合成 $\to\mathcal A(c,a)=\mathcal A^{\mathrm{op}}(a,c)$ を施すことで定めた豊穣圏である（単位は $\mathcal A$ と同じ）。前層間のHom対象は内部Homのエンドとなり、豊穣米田の補題（米田の補題(豊穣圏)）や重み付き極限（重み付き極限(豊穣圏)）の普遍性を記述する。
$\mathcal V=\mathrm{sSet}$ でも、ここまでの構成は厳密な単体的関手と厳密な自然変換の理論である。一方、準圏の関手圏はすべてのホモトピー整合的変換を含む。Homが局所Kan（各HomがKan複体）な単体的圏はホモトピー整合的脈体によって準圏を与えるが、未置換の厳密な関手圏をそのまま∞関手圏と同一視しない。適切なcofibrant・fibrant表示や導来自然変換の比較が必要となる。HTT09 Remark 1.2.7.1、§§2.2.5, 4.2.4。