座標環

同義語：coordinate ringアフィン座標環affine coordinate ring

概要

前提知識: 多項式環, 剰余環, アフィン代数的集合, Hilbertの零点定理, 体上有限生成環

定義

本記事で環とは単位元をもつ可換環を指す。$k$ を体とし、$A_n:=k[x_1,\dots,x_n]$ を $n$ 変数の多項式環とする。部分集合 $S\subset A_n$ の共通零点の集合を $V(S):=\{a\in k^n\mid \text{すべての }f\in S\text{ で }f(a)=0\}$ と書き、この形の $k^n$ の部分集合を $k^n$ のアフィン代数的集合という。部分集合 $X\subset k^n$ に対し、$X$ 上で消える多項式の全体
$$ I(X):=\{f\in A_n\mid \text{すべての }a\in X\text{ で }f(a)=0\} $$
は $A_n$ のイデアルであり、$X$ の消滅イデアルという。

アフィン代数的集合の座標環

$X\subset k^n$ をアフィン代数的集合とする。剰余環
$$ k[X]:=A_n/I(X)=k[x_1,\dots,x_n]/I(X) $$
を $X$ の座標環（coordinate ring）またはアフィン座標環という。$f\in A_n$ の類を $\bar f$ と書き、$\bar x_1,\dots,\bar x_n$ を $X$ の座標関数という。

$k[X]$ は $\Gamma(X)$、$A(X)$、$\mathcal{O}(X)$ とも書かれる。$\bar f$ は $X$ 上の関数 $a\mapsto f(a)$ を定める。$f-g\in I(X)$ なら $X$ の各点で $f(a)=g(a)$ なので、この値は代表 $f$ のとり方によらない。

アフィン代数的集合の間の多項式写像

$X\subset k^n$、$Y\subset k^m$ をアフィン代数的集合とする。

写像 $\varphi\colon X\to Y$ が多項式写像（多項式写像。正則写像、射ともいう）であるとは、多項式 $\varphi_1,\dots,\varphi_m\in A_n$ があって、すべての $a\in X$ について $\varphi(a)=(\varphi_1(a),\dots,\varphi_m(a))$ となることをいう。
多項式写像 $\varphi\colon X\to Y$ に対し、$\varphi^*\colon k[Y]\to k[X]$ を $\varphi^*(\bar g):=\overline{g(\varphi_1,\dots,\varphi_m)}$ で定め、$\varphi$ による引き戻しという。関数として見れば $\varphi^*(\bar g)=\bar g\circ\varphi$ である。
多項式写像 $\varphi\colon X\to Y$ が同型（同型）であるとは、多項式写像 $\psi\colon Y\to X$ で $\psi\circ\varphi=\mathrm{id}_X$、$\varphi\circ\psi=\mathrm{id}_Y$ となるものが存在することをいう。

引き戻しは代表のとり方によらない。$g\in I(Y)$ なら、$a\in X$ について $\varphi(a)\in Y$ なので $g(\varphi_1(a),\dots,\varphi_m(a))=g(\varphi(a))=0$ であり、$g(\varphi_1,\dots,\varphi_m)\in I(X)$ となるからである。また $\varphi_i$ を $I(X)$ の元だけ取り替えても $X$ 上の値は変わらないので、$\varphi^*$ は写像 $\varphi$ だけで決まる。$\varphi^*$ は $k$ 上の環準同型（$k$ の元を動かさない環準同型、以下 $k$ 準同型という）である。

直感

座標環は「図形 $X$ の上の多項式関数の全体」である。$k^n$ の座標 $x_1,\dots,x_n$ を $X$ に制限したものが座標関数で、$X$ 上の関数はそれらの多項式として書ける。$X$ 上で恒等的に $0$ になる多項式を $0$ とみなすので、同じ関数を与える多項式は同一視される。図形の性質は座標環の性質に翻訳される。$X$ が 2 つの小さな図形に分かれないこと（既約性）は $k[X]$ が整域であることに、$X$ の点は $k[X]$ の極大イデアルに、図形の間の多項式写像は座標環の間の逆向きの $k$ 準同型に対応する。とくに、2 つの図形が同型であるかどうかは座標環が同型であるかどうかで判定でき、座標環という環が図形を完全に記録する。この見方を任意の可換環に押し広げたものがアフィンスキームである。

例と反例

以下の例で、無限集合である体 $k$ 上の多項式が $k$ のすべての点で $0$ になれば零多項式であること（多項式環の記事の定理「根の個数」）を繰り返し使う。

アフィン空間と点

$k$ が無限体なら $I(k^n)=(0)$ であり（多項式環の記事の定理「無限体上の多項式の非零点」）、$k[k^n]=A_n$ である。$k$ が $q$ 個の元からなる有限体 $\mathbb{F}_q$ なら、$x^q-x$ は $\mathbb{F}_q$ のすべての点で $0$ になる零でない多項式である。$x^q-x$ は $\mathbb{F}_q$ の $q$ 個の元をすべて根にもつ $q$ 次のモニック多項式なので、因数定理（多項式環の記事の系「剰余定理と因数定理」）により $x^q-x=\prod_{a\in\mathbb{F}_q}(x-a)$ であり、$\mathbb{F}_q$ の全点で消える多項式は各 $x-a$ で、したがってこの積で割り切れる。よって $I(\mathbb{F}_q)=(x^q-x)$、$k[\mathbb{F}_q]=\mathbb{F}_q[x]/(x^q-x)$ である（中国剰余定理により、1 点ずつの剰余環の直積 $\mathbb{F}_q^{\,q}$ に同型）。有限体上では $k^n$ も有限集合であり、$X$ 上のすべての関数が多項式で表せる。実際、$a\in k^n$ に対し $\delta_a:=\prod_{i=1}^n\bigl(1-(x_i-a_i)^{q-1}\bigr)$ は $a$ で $1$、他の点で $0$ をとる（$c\in\mathbb{F}_q^\times$ なら $c^{q-1}=1$）ので、関数 $h$ は $\sum_{a\in X}h(a)\delta_a$ で表される。したがって座標環は有限個の点の上の関数の環にすぎない。1 点 $X=\{a\}$ については $I(\{a\})=(x_1-a_1,\dots,x_n-a_n)$（極大イデアルの記事の例「多変数多項式環の点に対応する極大イデアル」）であり、$k[\{a\}]\cong k$ である。空集合については $I(\emptyset)=A_n$ で、$k[\emptyset]$ は零環である。

放物線

$k$ を無限体とし、$X:=V(y-x^2)\subset k^2$ とする。$g\in I(X)$ とすると、$y$ に $x^2$ を代入した $g(x,x^2)\in k[x]$ について $g(x,y)-g(x,x^2)$ は $y-x^2$ で割り切れる（$k[x][y]$ で $y\equiv x^2\pmod{y-x^2}$ だから）。$g(a,a^2)=0$ がすべての $a\in k$ で成り立つので $g(x,x^2)=0$ であり、$g\in(y-x^2)$ である。よって $I(X)=(y-x^2)$、$k[X]=k[x,y]/(y-x^2)$ である。$k$ 準同型 $k[X]\to k[t]$、$\bar x\mapsto t$、$\bar y\mapsto t^2$ は同型であり、これは多項式写像 $\varphi\colon k\to X$、$t\mapsto(t,t^2)$ の引き戻しである（$k=V(0)\subset k^1$ とみなす）。実際 $\varphi$ は逆写像 $\psi\colon X\to k$、$(a,b)\mapsto a$ をもつ多項式写像なので同型であり、放物線は直線と同型である。

双曲線と円

$k$ を無限体とし、$H:=V(xy-1)\subset k^2$ とする。局所化の記事の注意「1 つの元による局所化の多項式表示」により、$k[x,y]/(xy-1)\to k[x,x^{-1}]$、$\bar x\mapsto x$、$\bar y\mapsto x^{-1}$ は同型である（$k[x,x^{-1}]$ は有理関数体 $k(x)$ の部分環）。$g\in I(H)$ なら、$g(x,x^{-1})=x^{-N}p(x)$（$p\in k[x]$、$N\ge0$）と書くと、$p$ は無限集合 $k^\times$ のすべての点で $0$ になるので $p=0$ であり、$g\in(xy-1)$ である。よって $k[H]\cong k[x,x^{-1}]$ である。
$H$ は直線 $k$ と同型でない。同型なら、後の thm-coordinate-ring-maps により $k$ 同型 $\theta\colon k[x,x^{-1}]\to k[t]$ がある。$x$ は単元なので $\theta(x)$ は $k[t]$ の単元であり、次数を比べると $k[t]$ の単元は $0$ でない定数に限るので、$\theta(x)=c\in k^\times$ である。すると $\theta(x-c)=0$ だが $x-c\ne0$ であり、$\theta$ の単射性に反する。幾何学的には、$H$ は射影 $(a,b)\mapsto a$ によって直線から原点を除いた集合と 1 対 1 に対応し、その上の関数 $1/x$ が多項式になっている。
$k$ の標数が $2$ でなく、$i^2=-1$ となる $i\in k$ があるとする（たとえば標数が $2$ でない代数閉体）。線形な座標変換 $u=x+iy$、$v=x-iy$ は逆 $x=(u+v)/2$、$y=(u-v)/(2i)$ をもち、$x^2+y^2=uv$ である。したがってこの座標変換は円 $C:=V(x^2+y^2-1)$ から $H'=V(uv-1)$ への同型な多項式写像であり、$k[C]\cong k[u,u^{-1}]$ となる。こうして円は双曲線と同型であり、直線とは同型でない。

反例：可約な集合の座標環

$k$ を無限体とし、$X:=V(xy)\subset k^2$（2 本の座標軸の和）とする。$g\in I(X)$ なら、$g(x,0)$ は $k$ の全点で $0$ なので零多項式であり、$y\mid g$、$g=yh$ と書ける。$g(0,y)=yh(0,y)$ も零多項式なので $h(0,y)=0$、すなわち $x\mid h$ である。よって $I(X)=(xy)$、$k[X]=k[x,y]/(xy)$ である。$\bar x\ne0$、$\bar y\ne0$ だが $\bar x\bar y=0$ なので、$k[X]$ は零因子をもち整域でない。$X$ は 2 本の直線 $V(x)$、$V(y)$ の和に分かれ、既約でない。これは後の prop-coordinate-ring-irreducible の「$X$ が既約 $\Leftrightarrow$ $k[X]$ が整域」の、既約性を外した場合にあたる。

反例：全単射だが同型でない多項式写像

$k$ を無限体とし、尖点をもつ曲線 $X:=V(y^2-x^3)\subset k^2$ と多項式写像 $\varphi\colon k\to X$、$t\mapsto(t^2,t^3)$ を考える。$\varphi$ は全単射である。実際 $(a,b)\in X$ について、$a\ne0$ なら $t=b/a$ が $t^2=b^2/a^2=a$、$t^3=b\cdot b^2/a^3=b$ を満たす唯一の $t$ であり（$t^2=a$ と $t^3=b$ から $t=t^3/t^2$）、$a=0$ なら $b=0$ で $t=0$ だけが対応する。
一方、引き戻し $\varphi^*\colon k[X]\to k[t]$ は $\bar x\mapsto t^2$、$\bar y\mapsto t^3$ で与えられ、像は $k[t^2,t^3]$ である。この部分環の元は $t$ の 1 次の係数が $0$ なので、$t$ は像に属さず、$\varphi^*$ は全射でない。よって thm-coordinate-ring-maps により $\varphi$ は同型でない。逆写像 $(a,b)\mapsto b/a$ は多項式で書けない。この例は「全単射な多項式写像は同型である」という含意を破る。なお $\varphi$ は全射なので $\varphi^*$ は単射であり（$\bar g\circ\varphi=0$ なら $\bar g$ は $X=\varphi(k)$ 上で $0$）、$k[X]\cong k[t^2,t^3]$ である。

反例：座標環にならない環

$k[x]/(x^2)$ は $0$ でない冪零元 $\bar x$ をもつので、後の prop-coordinate-ring-basic により、どのアフィン代数的集合の座標環とも同型でない。$V(x^2)=\{0\}$ の座標環は $k[x]/(x)\cong k$ であり、イデアル $(x^2)$ が記録していた「重複度 2」は座標環には残らない。一般に $J$ が根基イデアルでなければ $A_n/J$ は $V(J)$ の座標環でない。
代数閉でない体では根基イデアルでも起こる。$k=\mathbb{R}$、$J=(x^2+y^2)$ とすると、$J$ は素イデアルだが（Hilbertの零点定理の記事の例「反例：代数閉でない体」）、$V(J)=\{(0,0)\}$ の座標環は $\mathbb{R}$ であり、$\mathbb{R}$ 上無限次元の $\mathbb{R}[x,y]/J$ とは異なる。座標環を定める消滅イデアル $I(V(J))=(x,y)$ は $J$ より真に大きい。さらに $\mathbb{R}[x,y]/J$ は、どのアフィン代数的集合の座標環とも $\mathbb{R}$ 上同型でない。実際、$\mathbb{R}$ 上の座標環 $\mathbb{R}[X]$ で $\bar f^2+\bar g^2=0$ なら、$X$ の各点で $f(a)^2+g(a)^2=0$ なので $f(a)=g(a)=0$ であり、prop-coordinate-ring-basic の 2 により $\bar f=\bar g=0$ である。一方 $\mathbb{R}[x,y]/J$ では $\bar x^2+\bar y^2=0$ だが、$J$ の $0$ でない元の全次数は $2$ 以上なので $\bar x\ne0$ である。

性質

関数の環としての座標環

座標環の基本性質

$X\subset k^n$ をアフィン代数的集合とする。

$k[X]$ は座標関数 $\bar x_1,\dots,\bar x_n$ で生成される $k$ 上有限生成な環である。
$\bar f\mapsto(a\mapsto f(a))$ は $k[X]$ から $X$ 上の $k$ 値関数全体のなす環（各点ごとの和と積）への単射な $k$ 準同型であり、その像は多項式で与えられる関数の全体である。
$k[X]$ は被約環である。すなわち $0$ 以外の冪零元をもたない。
$V(I(X))=X$ である。

値による判定

1 は $A_n$ が $x_1,\dots,x_n$ で生成されることから従う。
2：写像が代表によらないことは定義の直後に見た。和と積は各点での値の和と積に写るので $k$ 準同型である。$\bar f$ が零関数に写ることは $f$ が $X$ の全点で $0$ になること、すなわち $f\in I(X)$、$\bar f=0$ と同値なので単射である。像についての主張は定義から明らかである。
3：$\bar f^m=0$ なら $f^m\in I(X)$ なので、各 $a\in X$ で $f(a)^m=0$、体の中で $f(a)=0$ である。よって $f\in I(X)$、$\bar f=0$ である。
4：$X=V(S)$ と書く。$X$ の各点で $I(X)$ の元は消えるので $X\subset V(I(X))$ である。$S\subset I(X)$ なので $V(I(X))\subset V(S)=X$ である。$\square$

2 により、$k[X]$ の元を $X$ 上の関数と同一視してよい。以下 $\bar f(a):=f(a)$ と書く。

既約性と整域性

$k^n$ のアフィン代数的集合を閉集合とする位相を $k^n$ の（古典的な）Zariski位相という。アフィン代数的集合 $X$ に部分空間の位相を入れると、その閉集合は $X$ に含まれるアフィン代数的集合である（$X\cap V(S)=V(I(X)\cup S)$）。$X$ が既約（既約空間）であるとは、$X\ne\emptyset$ であり、$X$ に真に含まれる 2 つの閉集合の和に書けないことをいう。

既約性と整域性

アフィン代数的集合 $X\subset k^n$ について、次は同値である。

$X$ は既約である。
$I(X)$ は $A_n$ の素イデアルである。
$k[X]$ は整域である。

分解と積の往復

2 と 3 の同値は、素イデアルの記事の命題「剰余環が整域であることとの同値」である。
1 ⇒ 2：$X\ne\emptyset$ なので、$X$ の点で $1$ は消えず、$I(X)\ne A_n$ である。$fg\in I(X)$ とすると、$X$ の各点で $f(a)g(a)=0$ なので $X=(X\cap V(f))\cup(X\cap V(g))$ であり、右辺の 2 つは $X$ の閉集合である。$X$ は既約なので、どちらかが $X$ に等しい。$X\cap V(f)=X$ なら $f\in I(X)$、$X\cap V(g)=X$ なら $g\in I(X)$ である。
2 ⇒ 1：対偶を示す。$X=\emptyset$ なら $I(X)=A_n$ は素イデアルでない。$X=X_1\cup X_2$、$X_1,X_2$ は $X$ に真に含まれる閉集合とする。$X_i\subset X$ から $I(X)\subset I(X_i)$ であり、等号が成り立つと prop-coordinate-ring-basic の 4 により $X_i=V(I(X_i))=V(I(X))=X$ となって矛盾する。よって $f_i\in I(X_i)\setminus I(X)$ がとれる。$f_1f_2$ は $X_1$ 上でも $X_2$ 上でも消えるので $f_1f_2\in I(X)$ だが、$f_1,f_2\notin I(X)$ であり、$I(X)$ は素イデアルでない。$\square$

ex-coordinate-ring-parabola と ex-coordinate-ring-hyperbola の座標環 $k[t]$、$k[x,x^{-1}]$ は整域なので、放物線・双曲線・円（ex-coordinate-ring-hyperbola の仮定の下で）は既約である。ex-coordinate-ring-two-lines の $V(xy)$ は既約でない。既約なアフィン代数的集合をアフィン代数多様体と呼ぶ流儀では、その座標環はつねに整域である。

多項式写像と座標環の準同型

多項式写像と座標環の準同型の対応

$X\subset k^n$、$Y\subset k^m$、$Z\subset k^l$ をアフィン代数的集合とする。

$\varphi\mapsto\varphi^*$ は、多項式写像 $X\to Y$ 全体から $k$ 準同型 $k[Y]\to k[X]$ 全体への全単射である。
多項式写像 $\varphi\colon X\to Y$、$\psi\colon Y\to Z$ について、$\psi\circ\varphi$ は多項式写像であり、$(\psi\circ\varphi)^*=\varphi^*\circ\psi^*$、$(\mathrm{id}_X)^*=\mathrm{id}_{k[X]}$ である。
多項式写像 $\varphi\colon X\to Y$ が同型であることと、$\varphi^*$ が $k$ 上の環の同型であることは同値である。

座標関数の行き先で写像を決める

$Y$ の座標関数を $\bar y_1,\dots,\bar y_m$ と書く。
2：$\varphi$ を $\varphi_1,\dots,\varphi_m$、$\psi$ を $\psi_1,\dots,\psi_l$ で与えると、$\psi\circ\varphi$ は多項式 $\psi_j(\varphi_1,\dots,\varphi_m)$ で与えられるので多項式写像である。関数として $(\psi\circ\varphi)^*(\bar h)=\bar h\circ\psi\circ\varphi=\varphi^*(\psi^*(\bar h))$ であり、prop-coordinate-ring-basic の 2 により関数として等しい元は $k[X]$ で等しい。$\mathrm{id}_X$ は $x_1,\dots,x_n$ で与えられ、引き戻しは恒等写像である。
1（単射）：$\varphi^*(\bar y_j)=\bar\varphi_j$ であり、$\varphi(a)=(\bar\varphi_1(a),\dots,\bar\varphi_m(a))$ なので、$\varphi^*$ から $\varphi$ が復元される。
1（全射）：$k$ 準同型 $\theta\colon k[Y]\to k[X]$ を与える。$\bar\varphi_j=\theta(\bar y_j)$ となる $\varphi_j\in A_n$ を選ぶ。$a\in X$ と $g\in I(Y)$ について、$\theta$ は $k$ 準同型なので多項式の式と可換であり、
$$ \overline{g(\varphi_1,\dots,\varphi_m)}=g\bigl(\theta(\bar y_1),\dots,\theta(\bar y_m)\bigr)=\theta\bigl(g(\bar y_1,\dots,\bar y_m)\bigr)=\theta(\bar g)=\theta(0)=0 $$
が $k[X]$ で成り立つ。よって $g(\varphi_1(a),\dots,\varphi_m(a))=0$ であり、点 $(\varphi_1(a),\dots,\varphi_m(a))$ は $V(I(Y))$ に属する。prop-coordinate-ring-basic の 4 により $V(I(Y))=Y$ なので、$\varphi(a):=(\varphi_1(a),\dots,\varphi_m(a))$ は多項式写像 $\varphi\colon X\to Y$ を定める。$\varphi^*$ と $\theta$ は生成元 $\bar y_j$ で一致する $k$ 準同型なので等しい。
3：$\psi$ が $\varphi$ の逆写像なら、2 により $\varphi^*\circ\psi^*=(\psi\circ\varphi)^*=\mathrm{id}$、$\psi^*\circ\varphi^*=\mathrm{id}$ である。逆に $\varphi^*$ が逆 $\theta$ をもてば、1 により $\theta=\psi^*$ となる多項式写像 $\psi\colon Y\to X$ があり、$(\psi\circ\varphi)^*=\varphi^*\circ\psi^*=\mathrm{id}=(\mathrm{id}_X)^*$ である。1 の単射性から $\psi\circ\varphi=\mathrm{id}_X$ であり、同様に $\varphi\circ\psi=\mathrm{id}_Y$ である。$\square$

この定理は基礎体 $k$ についての仮定を何も使わない。圏の言葉では、$X\mapsto k[X]$ はアフィン代数的集合と多項式写像の圏から $k$ 上の環の圏への反変関手であり、充満忠実関手である。とくに $k$ が無限体なら $k[k]=k[t]$ なので、多項式写像 $X\to k$ は $k$ 準同型 $k[t]\to k[X]$、すなわち $t$ の行き先である $k[X]$ の元と一対一に対応する。これは座標環が「$X$ 上の多項式関数の環」であることの言い換えである。

代数閉体上での点と部分集合の復元

基礎体が代数閉体なら、Hilbertの零点定理により、座標環から $X$ の点と部分集合が読み取れる。

代数閉体上の座標環の特徴づけ

$k$ を代数閉体とする。

$k$ 上の環 $R$ があるアフィン代数的集合の座標環と $k$ 上同型であるための必要十分条件は、$R$ が $k$ 上有限生成な被約環であることである。
アフィン代数的集合 $X\subset k^n$ の点 $a$ に対し $\mathfrak{m}_{X,a}:=\{\bar f\in k[X]\mid f(a)=0\}$ とおく。$a\mapsto\mathfrak{m}_{X,a}$ は $X$ から $k[X]$ の極大イデアル全体への全単射である。また $a\mapsto(\bar f\mapsto f(a))$ は $X$ から $k$ 準同型 $k[X]\to k$ 全体への全単射である。
$Y\mapsto I(Y)/I(X)$ は、$X$ に含まれるアフィン代数的集合 $Y$ 全体から $k[X]$ の根基イデアル全体への、包含の向きを逆にする全単射である。このとき $k[Y]\cong k[X]/(I(Y)/I(X))$ であり、制限 $k[X]\to k[Y]$ は全射である。

零点定理による復元

1：必要性は prop-coordinate-ring-basic の 1・3 である。十分性を示す。$R$ が $r_1,\dots,r_n$ で生成されるとすると、$x_i\mapsto r_i$ で定まる全射な $k$ 準同型 $A_n\to R$ があり、その核を $J$ とすると $R\cong A_n/J$ である（体上有限生成環の記事の命題「多項式環の剰余環としての表示」）。$R$ が被約なので $J$ は根基イデアルである（$f^m\in J$ なら $\bar f^m=0$ なので $\bar f=0$、$f\in J$）。$X:=V(J)$ とおくと、強零点定理（Hilbertの零点定理の記事の定理「Hilbertの零点定理」の 3）により $I(X)=\sqrt{J}=J$ であり、$k[X]=A_n/J\cong R$ である。
2：まず後半を示す（ここは $k$ が代数閉でなくても成り立つ）。$\bar f\mapsto f(a)$ は代表によらない全射な $k$ 準同型 $\mathrm{ev}_a\colon k[X]\to k$ である。逆に $k$ 準同型 $\theta\colon k[X]\to k$ に対し $a_i:=\theta(\bar x_i)$、$a:=(a_1,\dots,a_n)$ とおくと、$g\in I(X)$ について $g(a)=\theta(\bar g)=0$ なので $a\in V(I(X))=X$ であり（prop-coordinate-ring-basic の 4）、$\theta$ と $\mathrm{ev}_a$ は生成元 $\bar x_i$ で一致するので等しい。$\mathrm{ev}_a(\bar x_i)=a_i$ から $a$ は $\mathrm{ev}_a$ で決まるので、対応は全単射である。
前半：$\mathfrak{m}_{X,a}=\ker\mathrm{ev}_a$ であり、$\mathrm{ev}_a$ は体への全射なので $\mathfrak{m}_{X,a}$ は極大イデアルである。$a\ne b$ なら $a_i\ne b_i$ となる $i$ について $\bar x_i-a_i\in\mathfrak{m}_{X,a}\setminus\mathfrak{m}_{X,b}$ なので単射である。$k[X]$ の極大イデアル $\mathfrak{n}$ は、剰余環の記事の定理「イデアルの対応定理」により、$I(X)$ を含む $A_n$ の極大イデアル $\mathfrak{m}$ を用いて $\mathfrak{n}=\mathfrak{m}/I(X)$ と書ける。Hilbertの零点定理の記事の定理の 1 により $\mathfrak{m}=\mathfrak{m}_a=(x_1-a_1,\dots,x_n-a_n)$ となる $a\in k^n$ があり、$\mathfrak{m}_a$ の元は $a$ で消える多項式にほかならないので、$I(X)\subset\mathfrak{m}_a$ から $a\in V(I(X))=X$ である。このとき $\mathfrak{n}=\mathfrak{m}_a/I(X)=\mathfrak{m}_{X,a}$ である。
3：$Y\subset X$ なら $I(X)\subset I(Y)$ であり、$I(Y)$ は根基イデアルである（$f^m$ が $Y$ 上で消えれば $f$ も消える）。Hilbertの零点定理の記事の系「根基イデアルとアフィン代数的集合の対応」により、$Y\mapsto I(Y)$ は $X$ に含まれるアフィン代数的集合と、$I(X)$ を含む $A_n$ の根基イデアルとの、包含を逆にする全単射である。イデアルの対応定理により $I(X)$ を含むイデアル $J$ と $k[X]$ のイデアル $J/I(X)$ は一対一に対応し、$A_n/J\cong k[X]/(J/I(X))$ なので、$J$ が根基イデアルであることと $J/I(X)$ が根基イデアルであることは同値である（どちらも剰余環が被約であることと同値）。最後の主張は $k[Y]=A_n/I(Y)\cong k[X]/(I(Y)/I(X))$ から従う。$\square$

2 の後半は基礎体によらず成り立つが、前半は代数閉性を使う。$k=\mathbb{R}$、$X=\mathbb{R}$ なら $k[X]=\mathbb{R}[x]$ の極大イデアル $(x^2+1)$ は $X$ のどの点にも対応しない。1 と thm-coordinate-ring-maps を合わせると、代数閉体 $k$ の上では、アフィン代数的集合と多項式写像の圏は、$k$ 上有限生成な被約環と $k$ 準同型の圏と反変に同値である（圏同値の矢印を逆向きにしたもの）。既約なものに限れば、アフィン代数多様体の圏が $k$ 上有限生成な整域の圏と反変に同値であるという形になる（Har77 Chapter I §3）。

流儀と文献

Har77 Chapter I §1 は既約でないアフィン代数的集合 $Y$ にも座標環 $A(Y)=A/I(Y)$ を定め、Ful08 Chapter 2 は既約なもの（アフィン多様体）に対して $\Gamma(V)$ を定める。後者の流儀では座標環はつねに整域であり、その商体を $V$ の関数体 $k(V)$ という。既約な $X$ について、$k[X]$ の Krull次元は $k(X)$ の $k$ 上の超越次数に等しい（体上有限生成な整域についての事実で、$k$ は任意の体でよい。Krull次元の記事）。$k$ が代数閉体なら、これらは $X$ の位相空間としての次元（$X$ に含まれる既約閉集合の真の鎖の長さの上限）にも等しい（Har77 Chapter I §1）。代数閉でない体では、既約閉集合の鎖 $X_0\subsetneq\cdots\subsetneq X_r$ から素イデアルの鎖 $I(X_r)\subsetneq\cdots\subsetneq I(X_0)$ が得られる（真の包含であることは prop-coordinate-ring-basic の 4 による）ので、位相空間としての次元は $k[X]$ の Krull次元以下であるが、等号は一般には保証されない。
スキームの言葉では、$k[X]$ はアフィンスキーム $\operatorname{Spec}k[X]$ の構造層の大域切断であり、$X$ は $\operatorname{Spec}k[X]$ の閉点の全体と同一視される（代数閉体の場合）。任意のイデアル $J$ による $A_n/J$ を「$\operatorname{Spec}A_n/J$ の座標環」と呼ぶこともあり、この場合は ex-coordinate-ring-non-reduced の $k[x]/(x^2)$ のような被約でない環も現れる。射影空間の部分集合に対しては斉次イデアルによる剰余環（斉次座標環）を考えるが、これは射影多様体の同型で不変でなく、本記事の座標環とは性質が異なる。