拡張長い半直線

Hausdorff：$u< v$ を $\overline R$ の二点とする。$v\in R$ なら、二点は Hausdorff 空間 $R$（長い直線の記事の命題「有界な区間と局所モデル」）の開集合で分離でき、それらは $\overline R$ でも開である。$v=\infty$ なら、$u=(\alpha,t)$ に対し $c:=(\alpha+1,0)$ とおくと $\{x\mid x< c\}$ と $(c,\infty]$ が $u$ と $\infty$ を分離する。
コンパクト：$\overline R$ の開被覆から $\infty$ を含む成員 $O$ を一つとると、$O$ はある $(a,\infty]$ を含む。残る $[0_R,a]$ は実数の閉区間と同相で（同じ命題）コンパクトなので、有限個の成員で覆える。それに $O$ を加えれば有限部分被覆になる。
点列コンパクト：点列に $\infty$ が無限回現れれば定値の部分列をとる。そうでなければ、ある番号から先は $R$ の点列であり、$R$ は点列コンパクトなので（長い直線の記事の命題「コンパクト性と点列コンパクト性」）、$R$ の中で収束する部分列がある。$R$ は開部分空間なので、これは $\overline R$ でも収束する。
正規性はコンパクト Hausdorff 空間の一般論による（コンパクト空間の記事の命題「コンパクトHausdorff空間の正規性」）。$\square$

可算性の要は、$R$ の高々可算な部分集合が有界であること（長い直線の記事の補題「有界集合の可算合併は有界」）である。
1：$\infty$ の近傍の可算族 $(N_n)$ をとり、各 $N_n$ に含まれる $(a_n,\infty]$ を選ぶ。$\{a_n\}$ は有界なので、すべての $a_n$ より大きい $b\in R$ がとれる。$b\in(a_n,\infty]\subset N_n$ だが $b\notin(b,\infty]$ なので、どの $N_n$ も近傍 $(b,\infty]$ に含まれない。よって $(N_n)$ は基本近傍系でない。距離空間や $\mathbb R^n$ の開集合は第 1 可算なので、後半が従う。
2：$\infty$ の近傍 $(a,\infty]$ は $R$ の点を含むので、$R$ は稠密である。$R$ の点列 $(x_n)$ は有界なので、ある $b$ 以下に収まり、近傍 $(b,\infty]$ に一度も入らない。よって $\infty$ に収束しない。$R$ の点列の極限は $R$ に属するので $R$ は点列の極限について閉じているが、$\infty$ は $R$ の閉包に属するので $R$ は閉集合でない。
3：$D\subset\overline R$ を高々可算とすると、$D\setminus\{\infty\}$ はある $b\in R$ 以下に収まる。開集合 $\{x\in R\mid b< x\}$ は空でなく $D$ と交わらないので、$D$ は稠密でない。第2可算空間は可分なので（可算開基の各成員から一点ずつ選べばよい）、$\overline R$ は第2可算でもない。$\square$

連結性：$R$ は弧状連結なので連結であり（長い直線の記事の命題「有界な区間と局所モデル」）、$R$ は $\overline R$ で稠密なので、$\overline R$ は連結集合の閉包として連結である。
道が存在しないこと：全順序集合の順序位相で、連結な部分集合 $S$ は順序凸である。実際、$u< t< v$、$u,v\in S$、$t\notin S$ なら、$\{x\mid x< t\}\cap S$ と $\{x\mid x>t\}\cap S$ が $S$ を二つの空でない開集合に分ける。いま $x\in R$ から $\infty$ への道 $\gamma\colon[0,1]\to\overline R$ があるとすると、像 $S:=\gamma([0,1])$ は連結なので $[x,\infty]$ を含む。$S$ は可分である。$[0,1]\cap\mathbb Q$ の像が $S$ で稠密だからである。ところが $S$ の高々可算な部分集合 $D$ について、$D\setminus\{\infty\}$ はある $b\ge x$ 以下に収まり、$S$ の開集合 $S\cap\{y\in R\mid b< y\}$ は空でなく（$S\supset[x,\infty]$）$D$ と交わらない。よって $S$ は可分でなく、矛盾である。
局所弧状連結でないこと：$\infty$ の弧状連結な開近傍 $V$ があれば、$V$ はある $(a,\infty]$ を含むので $R$ の点を含み、その点と $\infty$ が $V$ の中の道で結ばれてしまう。$\square$

1：長い直線の記事の命題「実数値連続関数は有界集合の外で定数」により、実数 $c$ と有界集合 $B\subset[0_R,b]$ があって、$x\notin B$ なら $g(x)=c$ である。$\bar g|_R:=g$、$\bar g(\infty):=c$ と定めると、$\bar g$ は開集合 $R$ の上で連続で、$\infty$ の近傍 $(b,\infty]$ の上で定数 $c$ なので $\infty$ でも連続である。$R$ は稠密で $\mathbb R$ は Hausdorff なので、延長はただ一つである（コンパクト化の記事の補題「稠密な集合の上で一致する写像」）。
2：1 を $g:=f|_R$ に当てると、延長の一意性から $f=\bar g$ であり、$\bar g$ は $(b,\infty]$ の上で定数である。$\square$

$c$ により $R\subset K$ と同一視する。$K$ は Hausdorff なので、各 $b\in R$ について $R$ のコンパクト集合 $[0_R,b]$ は $K$ の閉集合である（コンパクト空間の記事の命題「保存と閉性」の 3）。
段 1（剰余は空でない）：$K=R$ なら $R$ がコンパクトになり、長い直線の記事の命題「コンパクト性と点列コンパクト性」に反する。
段 2（剰余の点の近傍は非有界な部分を含む）：$p\in K\setminus R$ と $p$ の開近傍 $U$ について、$U\cap R$ は非有界である。実際、$U\cap R\subset[0_R,b]$ なら、$U\setminus[0_R,b]$ は $p$ の開近傍で $R$ と交わらず、$R$ が $K$ で稠密であることに反する。
段 3（剰余は一点）：$p\neq q$ が $K\setminus R$ の点だとする。コンパクト Hausdorff 空間は正規かつ $T_1$、したがって正則空間なので（コンパクト空間の記事の命題「コンパクトHausdorff空間の正規性」）、閉包が交わらない開近傍 $U_p\ni p$、$U_q\ni q$ がとれる（$p,q$ を交わらない開集合 $V_p,V_q$ で分け、正則性で $\overline{U_p}\subset V_p$、$\overline{U_q}\subset V_q$ となるものをとる）。段 2 により $U_p\cap R$ と $U_q\cap R$ は非有界なので、その $R$ における閉包 $F_p$、$F_q$ は $R$ の非有界な閉集合である。$R$ の二つの非有界な閉集合は必ず交わる（長い直線の記事の命題「非有界閉集合の可算共通部分」）。交点 $x$ は $F_p\cap F_q\subset\overline{U_p}\cap\overline{U_q}=\emptyset$ に属することになり、矛盾である。
段 4（同相の構成）：段 1・3 により $K=R\cup\{p\}$ である。$h\colon K\to\overline R$ を $R$ の上で恒等、$h(p):=\infty$ と定めると全単射である。$\overline R$ の順序位相の開基は、$\infty$ を含まない開区間と $(a,\infty]$ からなる。前者は $R$ の開集合 $O$ で、$h^{-1}(O)=O$ は $K$ の開集合である（$\{p\}$ は閉集合なので $R$ は $K$ の開部分空間）。後者については $h^{-1}((a,\infty])=K\setminus[0_R,a]$ が開集合である。よって $h$ は連続である。コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射は、閉集合をコンパクト集合すなわち閉集合へ写すので同相写像である（コンパクト空間の記事の命題「保存と閉性」）。$h\circ c$ は包含なので、二つのコンパクト化は同値である。$\square$