Krein–Milmanの定理

1：$\{a\}$ は Hausdorff 空間の 1 点なので閉である。端集合の条件は「$(1-t)x+ty=a$ なら $x=y=a$」となり、端点の定義そのものである。
2：$S$ はコンパクト集合 $K$ の閉部分集合なのでコンパクトであり、連続関数 $u$ は $S$ 上で最大値 $M$ をとる。よって $S_u$ は空でなく、$S\cap u^{-1}(M)$ として閉である。$x,y\in K$、$0< t<1$、$z=(1-t)x+ty\in S_u$ とする。$z\in S$ と $S$ が端集合であることから $x,y\in S$ であり、$u(x),u(y)\le M$ である。一方 $M=u(z)=(1-t)u(x)+tu(y)$ なので、$u(x)< M$ または $u(y)< M$ なら右辺は $M$ より小さくなる。よって $u(x)=u(y)=M$、すなわち $x,y\in S_u$ である。

段 1（すき間の近傍）。各 $k\in K$ について $x_0-k\ne0$ だから、Hausdorff 性により $x_0-k$ を含まない $0$ の開近傍 $O_k$ がある。位相ベクトル空間 の記事の命題「原点近傍の小さい和」により $W'+W'\subset O_k$ となる $0$ の近傍 $W'$ があり、上の注意によりその中に開・凸・均衡な $0$ 近傍 $W_k$ がとれる。すると $x_0\notin k+W_k+W_k$ である。$\{k+W_k\}_{k\in K}$ は $K$ の開被覆なので、有限個 $k_1,\dots,k_n$ で $K\subset\bigcup_i(k_i+W_{k_i})$ となる。$W=\bigcap_iW_{k_i}$ は開・凸・均衡な $0$ 近傍である。$x_0=k+w$（$k\in K$、$w\in W$）と書けたとすると、ある $i$ で $k\in k_i+W_{k_i}$ なので $x_0\in k_i+W_{k_i}+W_{k_i}$ となり矛盾する。よって $x_0\notin D:=K+W$ である。
段 2（分離）。$D=\bigcup_{k\in K}(k+W)$ は開集合の和なので開で、凸集合の和 $K+W$ として凸、空でない。$E$ をスカラーを実数に制限した実位相ベクトル空間とみて、Hahn–Banachの定理 の記事の補題「点と開凸集合の分離」を $D$ と $x_0$ に用いると、連続な実線形汎関数 $u$ で $u(k)+u(w)< u(x_0)$（$k\in K$、$w\in W$）となるものがある。特に $u\ne0$ である。$u(y)>0$ となる $y$ をとると、十分小さい $\lambda>0$ で $\lambda y\in W$（命題「原点近傍の小さい和」の後半）だから、$s:=\sup_Wu$ は正であり、上の不等式から有限である。$w$ について上限をとれば $u(k)+s\le u(x_0)$、すなわち $\max_Ku\le u(x_0)-s< u(x_0)$ である（最大値は $K$ のコンパクト性からとられる）。
段 3（複素数の場合）。$\mathbb K=\mathbb C$ なら $f(x)=u(x)-iu(ix)$ とおく。Hahn–Banachの定理 の記事の補題「実部と複素線形汎関数」により $f$ は複素線形で $\operatorname{Re}f=u$ であり、$x\mapsto ix$ が連続なので $f$ も連続である。$\mathbb K=\mathbb R$ なら $f=u$ とすればよい。

1 の証明。$S$ を $K$ の端集合とし、$S$ に含まれる $K$ の端集合全体を $\mathcal F$ とする。$\mathcal F$ に逆向きの包含で順序を入れる（$A\le B\iff B\subset A$）。$S\in\mathcal F$ なので $\mathcal F$ は空でない。$\mathcal F$ の空でない全順序部分集合 $\{A_i\}_{i\in I}$ をとり、$A=\bigcap_iA_i$ とおく。有限個の $A_{i_1},\dots,A_{i_m}$ の共通部分は全順序性からそのうち最小のものに等しく、空でない。コンパクト集合 $K$ の閉集合族が有限交叉性をもつので $A\ne\emptyset$ である。$A$ は閉で、$(1-t)x+ty\in A$（$x,y\in K$、$0< t<1$）なら各 $A_i$ が端集合であることから $x,y\in A_i$、よって $x,y\in A$ となる。したがって $A\in\mathcal F$ であり、全順序部分集合の上界である。空の全順序部分集合には $S$ が上界になる。Zornの補題 の記事の定理「鎖の上界から得られる極大元」により、$\mathcal F$ は極大元、すなわち包含について極小な端集合 $S_0\subset S$ をもつ。
$S_0$ が異なる 2 点 $a,b$ を含むとする。lem-km-separation を $\{b\}$ と $a$ に用いて、連続線形汎関数 $f$ で $u=\operatorname{Re}f$ が $u(b)< u(a)$ を満たすものをとる。lem-km-extreme-set の 2 により $(S_0)_u=\{s\in S_0:u(s)=\max_{S_0}u\}$ は $K$ の端集合で $S_0$ に含まれる。$u(b)< u(a)\le\max_{S_0}u$ なので $b\notin(S_0)_u$ であり、$(S_0)_u\subsetneq S_0$ となって極小性に反する。よって $S_0$ は 1 点 $\{e\}$ であり、lem-km-extreme-set の 1 により $e$ は $K$ の端点である。$S=K$ とすれば $K$ が端点をもつことも分かる。
2 の証明。$C=\overline{\operatorname{conv}}\,(\operatorname{ext}K)$ とおく。$K$ は凸なので $\operatorname{conv}(\operatorname{ext}K)\subset K$ であり、$K$ は Hausdorff 空間のコンパクト集合なので閉じているから $C\subset K$ である。$C$ は 1 により空でなく、コンパクト集合 $K$ の閉部分集合なのでコンパクトで、凸である。
$C\ne K$ と仮定し、$x_0\in K\setminus C$ をとる。lem-km-separation により、連続線形汎関数 $f$ で $u=\operatorname{Re}f$ が $\max_Cu< u(x_0)$ を満たすものがある。lem-km-extreme-set の 2 を $S=K$ に用いると、$K_u=\{k\in K:u(k)=\max_Ku\}$ は $K$ の端集合であり、1 により $K$ の端点 $e$ を含む。$e\in\operatorname{ext}K\subset C$ だから
$$ u(e)\le\max_Cu< u(x_0)\le\max_Ku=u(e) $$
となり矛盾する。よって $C=K$ である。

全射な線形等長写像 $T\colon c_0\to Y^*$ があったとする。$T$ は線形な全単射で、ノルムを保つから閉単位球 $B_{c_0}$ を $B_{Y^*}$ の上へ写す。線形な全単射は凸結合を保ち、その逆写像も同様なので、端点を端点へ一対一に写す。$c_0\ne\{0\}$ なので $Y^*\ne\{0\}$ で、$B_{Y^*}$ は空でない。上の議論により $B_{Y^*}$ は端点をもつから、$B_{c_0}$ も端点をもつ。これは ex-km-c0 に反する。