初期値への滑らかな依存性

$\overline{B}_{2r}(\xi_0)$ は凸なので、その 2 点 $x,y$ について $s\mapsto f(x+s(y-x))$ に微分積分学の基本定理と連鎖律を使うと $f(y)-f(x)=\int_0^1Df(x+s(y-x))(y-x)\,ds$ であり、$\lvert f(y)-f(x)\rvert\le L\lvert y-x\rvert$ である（ベクトル値の積分について $\lvert\int g\rvert\le\int\lvert g\rvert$）。すなわち $f$ はその上で Lipschitz 定数 $L$ の Lipschitz 写像である（Lipschitz連続の記事の命題「連続微分可能な写像の局所Lipschitz性」と同じ議論）。$\xi\in B$ なら $\overline{B}_r(\xi)\subset\overline{B}_{2r}(\xi_0)$ なので、Picard–Lindelöfの定理の記事の定理「Picard–Lindelöf の定理」を $V:=[-\varepsilon,\varepsilon]\times\overline{B}_r(\xi)$、$\delta:=r$ で使える。$V$ の上で $\lvert f\rvert\le M$ なので、保証される時間は $\min\{\varepsilon,r/M\}=\varepsilon$ 以上であり（$M=0$ なら $\varepsilon$ そのもの）、$[-\varepsilon,\varepsilon]$ 上の解が $\overline{B}_r(\xi)$ の中に存在する。解は最大解の制限なので $[-\varepsilon,\varepsilon]\subset I_\xi$ であり、(i) が従う。
(ii)：$\xi,\eta\in B$ とすると、$\varphi(\cdot,\xi)$ と $\varphi(\cdot,\eta)$ は $[-\varepsilon,\varepsilon]$ で $\overline{B}_{2r}(\xi_0)$ にとどまるので、$\lvert f(\varphi(t,\xi))-f(\varphi(t,\eta))\rvert\le L\lvert\varphi(t,\xi)-\varphi(t,\eta)\rvert$ である。開区間 $(-\varepsilon,\varepsilon)$ の上で常微分方程式の記事の定理「初期値への連続依存性」を使うと $\lvert\varphi(t,\xi)-\varphi(t,\eta)\rvert\le e^{L\lvert t\rvert}\lvert\xi-\eta\rvert$ であり、$t=\pm\varepsilon$ でも連続性から同じ不等式が成り立つ。また積分方程式から $\lvert\varphi(t,\eta)-\varphi(s,\eta)\rvert\le\bigl\lvert\int_s^t\lvert f(\varphi(u,\eta))\rvert\,du\bigr\rvert\le M\lvert t-s\rvert$ である。三角不等式で 2 つを合わせればよい。$\square$

段 1（1 次の近似の誤差）．$K:=\overline{B}_{2r}(\xi_0)$ とし、
$$ \omega(\rho):=\sup\bigl\{\|Df(u)-Df(v)\|\ \big|\ u,v\in K,\ \lvert u-v\rvert\le\rho\bigr\} $$
とおく。$Df$ はコンパクト集合 $K$ の上で一様連続なので、$\rho\to0$ で $\omega(\rho)\to0$ である。$x,y\in K$ なら、$K$ は凸なので $s\mapsto f(x+s(y-x))$ に微分積分学の基本定理を使って
$$ f(y)-f(x)=Df(x)(y-x)+R(y,x)(y-x),\qquad R(y,x):=\int_0^1\bigl(Df(x+s(y-x))-Df(x)\bigr)\,ds $$
と書け、$\|R(y,x)\|\le\omega(\lvert y-x\rvert)$ である。
段 2（微分可能性）．$\xi\in B$ を固定し、$\lvert h\rvert$ を $\xi+h\in B$ となるほど小さくとる。$0\le t<\varepsilon$ とし、
$$ \theta(t):=\varphi(t,\xi+h)-\varphi(t,\xi)-Y_\xi(t)h $$
とおく。$\theta(0)=0$ であり、段 1 を $x=\varphi(t,\xi)$、$y=\varphi(t,\xi+h)$（どちらも $K$ の点）に使うと、$A(t):=Df(\varphi(t,\xi))$ として
$$ \theta'(t)=A(t)\,\theta(t)+R\bigl(\varphi(t,\xi+h),\varphi(t,\xi)\bigr)\bigl(\varphi(t,\xi+h)-\varphi(t,\xi)\bigr) $$
である。lem-sd-local (ii) から $\lvert\varphi(t,\xi+h)-\varphi(t,\xi)\rvert\le e^{L\varepsilon}\lvert h\rvert$ なので、第 2 項の大きさは $\beta(h):=\omega(e^{L\varepsilon}\lvert h\rvert)\,e^{L\varepsilon}\lvert h\rvert$ 以下である。$\|A(t)\|\le L$ なので、積分して
$$ \lvert\theta(t)\rvert\le\varepsilon\,\beta(h)+L\int_0^t\lvert\theta(s)\rvert\,ds $$
を得る。常微分方程式の記事の補題「Grönwall の不等式」により $\lvert\theta(t)\rvert\le\varepsilon\,\beta(h)\,e^{L\varepsilon}$ であり、右辺を $\lvert h\rvert$ で割ったものは $\varepsilon\,e^{2L\varepsilon}\,\omega(e^{L\varepsilon}\lvert h\rvert)\to0$（$h\to0$）である。したがって $\xi\mapsto\varphi(t,\xi)$ は $\xi$ で微分可能で、$D_\xi\varphi(t,\xi)=Y_\xi(t)$ である。$-\varepsilon< t<0$ のときは、$\tilde f:=-f$ の解が $\varphi(-t,\xi)$ であり $\tilde f$ も同じ $M$、$L$、$\omega$ をもつので、同じ議論が使える。
段 3（導関数の連続性）．$\xi,\eta\in B$、$0\le t<\varepsilon$ とする。$Y_\eta=I+\int_0^tA_\eta Y_\eta$（$A_\eta(s):=Df(\varphi(s,\eta))$、$\|A_\eta\|\le L$）に Grönwall の不等式を使うと $\|Y_\eta(t)\|\le e^{L\varepsilon}$ である。次に
$$ Y_\xi(t)-Y_\eta(t)=\int_0^t\Bigl(A_\xi(s)\bigl(Y_\xi(s)-Y_\eta(s)\bigr)+\bigl(A_\xi(s)-A_\eta(s)\bigr)Y_\eta(s)\Bigr)\,ds $$
であり、$\|A_\xi(s)-A_\eta(s)\|\le\omega(e^{L\varepsilon}\lvert\xi-\eta\rvert)$ だから、Grönwall の不等式により
$$ \|Y_\xi(t)-Y_\eta(t)\|\le\varepsilon\,e^{2L\varepsilon}\,\omega\bigl(e^{L\varepsilon}\lvert\xi-\eta\rvert\bigr) $$
である（$t<0$ も同様）。また $\|Y_\eta'(t)\|\le Le^{L\varepsilon}$ から $\|Y_\eta(t)-Y_\eta(s)\|\le Le^{L\varepsilon}\lvert t-s\rvert$ である。この 2 つを三角不等式で合わせると、$(t,\xi)\mapsto Y_\xi(t)$ は $(-\varepsilon,\varepsilon)\times B$ の上で連続である。
段 4（まとめ）．$\partial_t\varphi(t,\xi)=f(\varphi(t,\xi))$ は解の定義そのものであり、lem-sd-local (ii) により $(t,\xi)$ について連続である。段 2・段 3 により $\xi$ についての偏導関数 $D_\xi\varphi=Y_\xi(t)$ も存在して連続である。偏導関数がすべて存在して連続な写像は $C^1$ 級である（Leb26 Proposition 8.4.6）。$\square$

「任意の次元 $m$、任意の開集合 $W'\subset\mathbb{R}^m$ と $C^k$ 級の $g\colon W'\to\mathbb{R}^m$ について主張が成り立つ」ことを $k$ についての帰納法で示す。$k=1$ は thm-sd-c1 である。
$k\ge2$ とし、$k-1$ で主張が成り立つとする。$n$ 次正方行列の全体 $M_n(\mathbb{R})$ を $\mathbb{R}^{n^2}$ と同一視し、開集合 $W\times M_n(\mathbb{R})$ の上の写像
$$ F(x,Y):=\bigl(f(x),\ Df(x)\,Y\bigr) $$
を考える。$Df$ は $C^{k-1}$ 級、$(B,Y)\mapsto BY$ は多項式なので、$F$ は $C^{k-1}$ 級である。$F$ の解の写像を $\Psi(t,(\xi,Y_0))$ と書く。
段 1（連立系の解）．$\xi\in W$ について、$t\mapsto\bigl(\varphi(t,\xi),Y_\xi(t)\bigr)$（$t\in I_\xi$）は、変分方程式の定義から、初期値 $(\xi,I)$ の $x'=f(x)$、$Y'=Df(x)Y$ の解である。$k-1\ge1$ なので $F$ は $C^1$ 級で局所 Lipschitz 条件をみたし、解は一意だから、$\Psi(t,(\xi,I))=\bigl(\varphi(t,\xi),Y_\xi(t)\bigr)$ が両辺の定義される範囲で成り立つ。
段 2（$D_\xi\varphi$ の滑らかさ）．帰納法の仮定を $F$ と点 $(\xi_0,I)$ に使うと、$\varepsilon'>0$ と $(\xi_0,I)$ の開近傍 $B'$ があって、$\Psi$ は $(-\varepsilon',\varepsilon')\times B'$ の上で $C^{k-1}$ 級である。$\xi\mapsto(\xi,I)$ は滑らかなので、$\varepsilon$ を $\varepsilon'$ 以下に、$B$ を $\{\xi\mid(\xi,I)\in B'\}$ との共通部分に小さくとり直すと、$(t,\xi)\mapsto Y_\xi(t)$ は $(-\varepsilon,\varepsilon)\times B$ の上で $C^{k-1}$ 級である（段 1 により $\Psi(t,(\xi,I))$ の第 2 成分）。thm-sd-c1 により、これが $D_\xi\varphi(t,\xi)$ である。
段 3（1 回ずつ上げる）．$(-\varepsilon,\varepsilon)\times B$ の上で $\varphi$ が $C^j$ 級（$1\le j\le k-1$）だとする。$\varphi$ の偏導関数は $\partial_t\varphi=f\circ\varphi$ と $D_\xi\varphi=Y_\xi(t)$ である。前者は $C^k$ 級の $f$ と $C^j$ 級の $\varphi$ の合成なので $C^j$ 級、後者は段 2 により $C^{k-1}$ 級、したがって $C^j$ 級である。1 階の偏導関数がすべて $C^j$ 級なので、$\varphi$ は $C^{j+1}$ 級である。thm-sd-c1 の $j=1$ から始めてこれを繰り返すと、$\varphi$ は $C^k$ 級である。$\square$

$s\mapsto\varphi(s+t,\xi)$（$s\in I_\xi-t$）は、$f$ が時刻によらないので $x'=f(x)$ の解であり、$s=0$ で $\eta$ をとる。初期値 $\eta$ の任意の解は最大解の制限なので、$I_\xi-t\subset I_\eta$ かつ $\varphi(s,\eta)=\varphi(s+t,\xi)$ である。とくに $\varphi(-t,\eta)=\xi$ なので、$\eta$ と $\xi$ の役割を入れ替えた同じ議論から $I_\eta+t\subset I_\xi$ である。よって $I_\eta=I_\xi-t$ である。$\square$

まず $k$ を有限とする。$k=\infty$ のときは、すべての有限の $k$ について以下を当てはめれば、$\Omega$ は $k$ によらないので、$\varphi$ は $\Omega$ 上ですべての $k$ について $C^k$ 級、すなわち $C^\infty$ 級である。(i)(ii) を示す。$(t_0,\xi_0)\in\Omega$ とし、$t_0>0$ とする（$t_0<0$ は同様、$t_0=0$ は thm-sd-ck そのもの）。
段 1（一様な短い時間）．解の軌跡 $C:=\{\varphi(t,\xi_0)\mid0\le t\le t_0\}$ は連続写像によるコンパクト集合の像なのでコンパクトである。$C$ の各点 $c$ に thm-sd-ck の $\varepsilon_c$ と開近傍 $B_c$ をとり、有限個 $B_{c_1},\dots,B_{c_N}$ で $C$ を覆う。$\varepsilon:=\min_i\varepsilon_{c_i}$、$G:=\bigcup_iB_{c_i}$ とおくと、$(-\varepsilon,\varepsilon)\times G\subset\Omega$ で、$\varphi$ はそこで $C^k$ 級である。
段 2（小さな時間の合成）．正の整数 $m$ を $\tau:=t_0/m<\varepsilon$ となるようにとり、$\psi:=\varphi(\tau,\cdot)\colon G\to W$（$C^k$ 級）とおく。
$$ G_m:=\bigl\{\xi\in G\ \big|\ \psi(\xi),\ \psi^2(\xi),\ \dots,\ \psi^m(\xi)\text{ がすべて定義されて }G\text{ に属する}\bigr\} $$
は、連続写像による開集合の逆像を順にとったものなので開集合である。lem-sd-group を $j$ についての帰納法で使うと、$\xi\in G_m$ なら $j\tau\in I_\xi$ かつ $\varphi(j\tau,\xi)=\psi^j(\xi)$（$0\le j\le m$）である。$\psi^j(\xi_0)=\varphi(j\tau,\xi_0)\in C\subset G$ なので $\xi_0\in G_m$ である。
段 3（$t_0$ の近く）．$\lvert t-t_0\rvert<\varepsilon$、$\xi\in G_m$ とする。$\psi^m(\xi)\in G$ なので $t-t_0\in(-\varepsilon,\varepsilon)\subset I_{\psi^m(\xi)}$ であり、lem-sd-group により $t\in I_\xi$ かつ
$$ \varphi(t,\xi)=\varphi\bigl(t-t_0,\ \psi^m(\xi)\bigr) $$
である。よって $(t_0-\varepsilon,t_0+\varepsilon)\times G_m\subset\Omega$ であり、その上で $\varphi$ は $C^k$ 級の写像 $(t,\xi)\mapsto(t-t_0,\psi^m(\xi))\in(-\varepsilon,\varepsilon)\times G$ と $\varphi$ の合成なので $C^k$ 級である。$(t_0,\xi_0)$ は任意だったので、$\Omega$ は開集合で $\varphi$ は $\Omega$ 上 $C^k$ 級である。
(iii)：前半は解の定義である。後半を示す。$\xi\in W$ を固定し、$Z(t):=D_\xi\varphi(t,\xi)$（$t\in I_\xi$）とおく。$t_1\in I_\xi$、$\eta_1:=\varphi(t_1,\xi)$ とすると、$\xi$ の近くの $\xi'$ と $t_1$ の近くの $t$ について lem-sd-group から $\varphi(t,\xi')=\varphi\bigl(t-t_1,\varphi(t_1,\xi')\bigr)$ であり、連鎖律から $Z(t)=D_\xi\varphi(t-t_1,\eta_1)\,Z(t_1)$ である。thm-sd-c1 により、$t$ が $t_1$ に近いとき $D_\xi\varphi(t-t_1,\eta_1)=Y_{\eta_1}(t-t_1)$ であり、これは $s=t-t_1$ について $Y'=Df(\varphi(s,\eta_1))\,Y$ をみたす。$\varphi(s,\eta_1)=\varphi(s+t_1,\xi)$ なので、$Z'(t)=Df(\varphi(t,\xi))\,Z(t)$ が $t_1$ の近くで成り立つ。$t_1$ は任意なので $Z$ は $I_\xi$ 全体で変分方程式をみたし、$Z(0)=I$ だから、線形方程式の解の一意性により $Z=Y_\xi$ である。$\square$

$z=(s,x,\mu)\in U$ についての自励系 $z'=g(z)$、$g(s,x,\mu):=(1,f(s,x,\mu),0)$ を考える。$g$ は $C^k$ 級である。初期値 $z(0)=(t_0,x_0,\lambda)$ の最大解を $\Phi(\sigma,(t_0,x_0,\lambda))$ とする。$\sigma\mapsto\bigl(t_0+\sigma,\ \phi(t_0+\sigma;t_0,x_0,\lambda),\ \lambda\bigr)$ はこの自励系の解であり、逆に自励系の解の第 1 成分は $t_0+\sigma$、第 3 成分は $\lambda$ で一定なので、第 2 成分は $x'=f(t,x,\lambda)$ の解である。一意性により
$$ \phi(t;t_0,x_0,\lambda)=\operatorname{pr}_x\Phi\bigl(t-t_0,(t_0,x_0,\lambda)\bigr) $$
が両辺の定義域（一致する）で成り立つ。右辺は主定理により開集合の上の $C^k$ 級写像と $C^\infty$ 級写像 $(t,t_0,x_0,\lambda)\mapsto(t-t_0,(t_0,x_0,\lambda))$ の合成なので、主張が従う。$\square$