有理標準形

$\varphi(e_j)=e_j$ なので $\varphi$ は全射である。$(xI-A)e_j=xe_j-\sum_ia_{ij}e_i$ について $\varphi((xI-A)e_j)=Ae_j-\sum_ia_{ij}e_i=0$ であり、$N$ はこれらで生成されるので $N\subset\ker\varphi$ である。
逆を示す。上の式から $xe_j\equiv\sum_ia_{ij}e_i\pmod N$ なので、$x\cdot K^n\subset K^n+N$ である。$xN\subset N$ と合わせると、$K^n+N$ は $x$ を掛けても閉じた部分加群であり、$e_1,\dots,e_n$ を含むので $K[x]^n$ 全体に等しい。$u\in\ker\varphi$ を $u=c+w$（$c\in K^n$、$w\in N$）と書くと、$0=\varphi(u)=\varphi(c)=c$ だから $u=w\in N$ である。$\square$

$f=x^d+\sum_{k< d}c_kx^k$ とする。$T:=xI-C(f)$ は、対角成分が $x$、すぐ下の斜めの成分が $-1$、最後の列が $(c_0,c_1,\dots,c_{d-2},x+c_{d-1})^{\top}$ の行列である。
第 1 行と第 $d$ 列を除いた $d-1$ 次の小行列は、対角成分が $-1$ の上三角行列なので、その行列式は $(-1)^{d-1}$ で単元である。よって $I_{d-1}(T)=(1)$ である（$d=1$ でも $I_0(T)=K[x]$ なので同じ）。
$\det T$ を最後の列で展開する。第 $i$ 行・第 $d$ 列を除いた小行列は、左上の $i-1$ 次の部分が対角成分 $x$ の下三角行列、右下の $d-i$ 次の部分が対角成分 $-1$ の上三角行列で、第 $1,\dots,i-1$ 行は左上の部分の列にしか $0$ でない成分をもたない。よってその行列式は $x^{i-1}(-1)^{d-i}$ で、符号 $(-1)^{i+d}$ と合わせて第 $i$ 項は $c_{i-1}x^{i-1}$（$i=d$ では $(x+c_{d-1})x^{d-1}$）である。和をとると $\det T=f$ である。
$T$ の Smith 標準形を $\operatorname{diag}(s_1,\dots,s_d)$ とすると、Smith標準形 の定理「Smith標準形の一意性と行列式因子」の 1 により $(s_1\cdots s_{d-1})=I_{d-1}(T)=(1)$、$(s_1\cdots s_d)=I_d(T)=(f)$ である。よって $s_1,\dots,s_{d-1}$ は単元で、$s_d$ は $f$ の単元倍であり、Smith 標準形は単元倍を除いて $\operatorname{diag}(1,\dots,1,f)$ である。$\square$

Smith標準形 の定理「Smith標準形の存在」により、$U,V\in\mathrm{GL}_n(K[x])$ で $U(xI-A)V=\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)$、$d_1\mid\cdots\mid d_r$ となるものがある。$\det U\det V$ は単元で $\det(xI-A)=\chi_A\neq0$ なので、$d_1\cdots d_r$ は $0$ でなく $r=n$ である。$K[x]$ の単元は $0$ でない定数なので、行に定数を掛けて各 $d_i$ をモニックにできる。単元は整除の列の先頭に集まるので、$d_1=\cdots=d_{n-m}=1$ で、残りを $a_1,\dots,a_m$（次数 $1$ 以上）とおく。
lem-rcf-presentation と Smith標準形 の命題「Smith 標準形による余核の分解」から、$K[x]$ 加群の同型
$$ \psi\colon V_A\xrightarrow{\ \sim\ }K[x]/(a_1)\oplus\cdots\oplus K[x]/(a_m) $$
を得る（$K[x]/(1)=0$ の項は消える）。$K[x]/(a_i)$ では、割り算の余りを考えると $1,x,\dots,x^{\deg a_i-1}$ の類が $K$ 上の基底をなし、$x$ を掛ける写像のこの基底での表現行列は $C(a_i)$ である（def-rcf-companion の直後の式）。これらの基底を並べたものを $\psi^{-1}$ で $K^n$ に移した基底を $p_1,\dots,p_n$ とし、これを列に並べた行列を $P$ とする。$\psi$ は $K$ 線形で $x$ の作用と可換なので、$A\psi^{-1}(u)=\psi^{-1}(xu)$ であり、$A$ の基底 $p_1,\dots,p_n$ での表現行列は $C(a_1)\oplus\cdots\oplus C(a_m)$、すなわち $P^{-1}AP$ に等しい。$\square$

$R:=C(b_1)\oplus\cdots\oplus C(b_l)$ とおく。$xI-R=\bigoplus_j(xI-C(b_j))$ であり、lem-rcf-companion-smith による各ブロックの同値変換 $U_j(xI-C(b_j))V_j=\operatorname{diag}(1,\dots,1,b_j)$ を区分対角に並べると、$xI-R$ は $\bigoplus_j\operatorname{diag}(1,\dots,1,b_j)$ と同値になる。行と列を同じ置換で並べ替える（置換行列は可逆）と、これは
$$ \operatorname{diag}(\underbrace{1,\dots,1}_{n-l},\ b_1,\dots,b_l) $$
と同値であり、$1\mid\cdots\mid1\mid b_1\mid\cdots\mid b_l$ なのでこれは $xI-R$ の Smith 標準形である。
$A$ と $R$ は相似なので、Smith標準形 の命題「相似な行列の特性行列」により $xI-A$ と $xI-R$ は同値であり、上の対角行列は $xI-A$ の Smith 標準形でもある。同じ記事の定理「Smith標準形の一意性と行列式因子」の 3 により、$xI-A$ のどの Smith 標準形も、対角成分が上のものの単元倍である。単元でない成分の個数は $l$ で、モニックにすれば $b_1,\dots,b_l$ に戻る。よって $b_1,\dots,b_l$ は $A$ から決まる。$\square$

1 ⇒ 3 は Smith標準形 の命題「相似な行列の特性行列」である。3 ⇒ 2：同値な行列の Smith 標準形は単元倍を除いて一致するので、thm-rcf-uniqueness により不変因子が一致する。2 ⇒ 1：$A$ と $B$ はどちらも同じ有理標準形に相似であり、相似は同値関係である。$\square$

相似な行列の固有多項式と最小多項式は等しいので、$A=C(a_1)\oplus\cdots\oplus C(a_m)$ としてよい。lem-rcf-companion-smith により $\chi_{C(a_i)}=a_i$ で、区分対角行列の固有多項式は積なので $\chi_A=\prod_ia_i$ である。$C(a)$ の最小多項式は $a$ である。実際 $a(C(a))e_1=0$ で、$e_k=C(a)^{k-1}e_1$ について $a(C(a))e_k=C(a)^{k-1}a(C(a))e_1=0$ なので $a(C(a))=O$ であり、次数 $\deg a$ 未満の $0$ でない $p$ では $p(C(a))e_1$ が $e_1,\dots,e_{\deg a}$ の自明でない線形結合になって $0$ でない。最小多項式(線形代数) の命題「区分対角行列の最小多項式」により $\mu_A=\operatorname{lcm}(a_1,\dots,a_m)=a_m$ である。$\square$

1：$K$ の上の有理標準形 $R=P^{-1}AP$（$P\in\mathrm{GL}_n(K)$）は、$L$ の上でも有理標準形の条件を満たし（モニック性と整除関係は $K[x]\subset L[x]$ で保たれる）、$P\in\mathrm{GL}_n(L)$ なので、$L$ の上の一意性（thm-rcf-uniqueness）により $L$ の上の有理標準形でもある。2：$L$ の上で相似なら $L$ の上の有理標準形が一致し、1 により $K$ の上の有理標準形が一致するので、cor-rcf-similarity により $K$ の上で相似である。$\square$

2 ⇔ 3：cor-rcf-char-min により $\chi_A=a_1\cdots a_m$、$\mu_A=a_m$ で、$a_1,\dots,a_{m-1}$ は次数 $1$ 以上だから、$\chi_A=\mu_A$ は $m=1$ と同値である。2 ⇒ 1：$C(\chi_A)$ では $e_1$ が巡回ベクトルであり、相似で移したベクトルは $A$ の巡回ベクトルである。1 ⇒ 3：$v,Av,\dots,A^{n-1}v$ が線形独立なので、次数 $n$ 未満の $0$ でない $p$ について $p(A)v\neq0$ である。よって $\deg\mu_A\ge n$ で、$\mu_A\mid\chi_A$ と $\deg\chi_A=n$ から $\mu_A=\chi_A$ である。$\square$

互いに素なモニックな $g,h$ について、$K[x]/(gh)\cong K[x]/(g)\oplus K[x]/(h)$（$K[x]$ 加群として）である。$ug+vh=1$ となる $u,v$ をとれば、$p\mapsto(p\bmod g,\ p\bmod h)$ は核が $(g)\cap(h)=(gh)$ で、$(r,s)$ の逆像として $rvh+sug$ がとれるので全射だからである。これを thm-rcf-existence の証明の同型 $\psi$ の各成分に繰り返し使うと、$V_A\cong\bigoplus_kK[x]/(q_k)$ を得る。同じ証明のとおり基底を移せば、$A$ は $\bigoplus_kC(q_k)$ に相似である。