コホモロジー的Brauer群

段 0（完全列）。正則なネータースキームは正規なので、連結成分は有限個の整スキームであり、コホモロジーは成分ごとの直積になる。よって $X$ は整としてよい。$g\colon\operatorname{Spec}K\to X$ を生成点、$X^{(1)}$ を余次元 $1$ の点の集合、$x\in X^{(1)}$ に対し $i_x\colon\operatorname{Spec}\kappa(x)\to X$ を包含とする。エタールな $U\to X$ について $U$ は正則で、$\Gamma(U,g_*\mathbb{G}_{m,K})$ は $U$ の各連結成分の関数体の単元群の直積、$\Gamma(U,i_{x*}\mathbb{Z})$ は $U$ の $x$ の上にある点（余次元 $1$ の点 $u$。その局所環は離散付値環）で添字づけられた $\mathbb{Z}$ の直積である。有理関数 $f$ の位数 $v_u(f)$ は有限個の $u$ を除いて $0$ なので、$f\mapsto(v_u(f))_u$ は層の射 $g_*\mathbb{G}_{m,K}\to\bigoplus_{x\in X^{(1)}}i_{x*}\mathbb{Z}$ を定める。列
$$ 0\to\mathbb{G}_m\to g_*\mathbb{G}_{m,K}\to\bigoplus_{x\in X^{(1)}}i_{x*}\mathbb{Z}\to0 $$
を (W) と呼び、これがエタール層の完全列であることを示す。幾何的点 $\bar y$ での茎をとり、$\mathcal{O}:=\mathcal{O}^{\mathrm{sh}}_{X,\bar y}$ とおく。(F5) により $\mathcal{O}$ は正則局所環、したがって一意分解整域である。$\mathbb{G}_m$ の茎は $\mathcal{O}^\times$ である。$g_*\mathbb{G}_{m,K}$ の茎は (F2)（$q=0$）により $(\mathcal{O}\otimes_{\mathcal{O}_X}K)^\times$ で、$\mathcal{O}\otimes_{\mathcal{O}_X}K$ は整域 $\mathcal{O}$ の局所化で $K$ 上整だから体、すなわち $\mathcal{O}$ の商体 $L$ である。$\bigoplus_xi_{x*}\mathbb{Z}$ の茎は (F2)・(F6) により、$\mathcal{O}$ の高さ $1$ の素イデアル $\mathfrak{q}$ で添字づけられた $\bigoplus_{\mathfrak{q}}\mathbb{Z}$ で、茎での射は $f\mapsto(v_{\mathfrak{q}}(f))_{\mathfrak{q}}$（$v_{\mathfrak{q}}$ は離散付値環 $\mathcal{O}_{\mathfrak{q}}$ の付値）である。列 $0\to\mathcal{O}^\times\to L^\times\to\bigoplus_{\mathfrak{q}}\mathbb{Z}\to0$ は完全である。実際、すべての $v_{\mathfrak{q}}(f)=0$ なら (F5) により $f,f^{-1}\in\bigcap_{\mathfrak{q}}\mathcal{O}_{\mathfrak{q}}=\mathcal{O}$ で $f\in\mathcal{O}^\times$ であり、$\mathcal{O}$ は一意分解整域なので各 $\mathfrak{q}$ は素元 $\pi_{\mathfrak{q}}$ で生成され、$v_{\mathfrak{q}}(\pi_{\mathfrak{q}})=1$、$\mathfrak{q}'\ne\mathfrak{q}$ なら $v_{\mathfrak{q}'}(\pi_{\mathfrak{q}})=0$ だから右の射は全射である。
段 1（真ん中の項）。$n\ge1$ について $H^n(X,g_*\mathbb{G}_{m,K})$ が捩れ群であることを示す。(F4) の Leray スペクトル系列 $E_2^{p,q}=H^p(X,R^qg_*\mathbb{G}_{m,K})\Rightarrow H^{p+q}(K,\mathbb{G}_m)$ を考える。$q\ge1$ のとき $R^qg_*\mathbb{G}_{m,K}$ の茎は (F2) により体 $L$ の $H^q(L,\mathbb{G}_m)$ で、(F1) により捩れ群だから、$R^qg_*\mathbb{G}_{m,K}$ は捩れ層で、(F3) により $E_2^{p,q}$ は $q\ge1$ で捩れ群である。収束先 $H^n(K,\mathbb{G}_m)$ は $n\ge1$ で (F1) により捩れ群で、$E_\infty^{n,0}$ はその部分群だから捩れ群である。$E_2^{n,0}=H^n(X,g_*\mathbb{G}_{m,K})$ から $E_\infty^{n,0}$ への全射の核は、微分 $d_r\colon E_r^{n-r,r-1}\to E_r^{n,0}$（$r\ge2$）の像を順に積み上げた有限のフィルトレーションをもち、各 $E_r^{n-r,r-1}$ は $E_2^{n-r,r-1}$（$r-1\ge1$）の部分商だから捩れ群である。捩れ群の捩れ群による拡大は捩れ群なので、$E_2^{n,0}$ は捩れ群である。
段 2（右の項）。$x\in X^{(1)}$ について、$H^n(X,i_{x*}\mathbb{Z})$ は $n\ge1$ で捩れ群、$n=1$ では $0$ であることを示す。段 1 と同じ議論を $i_x$ と定数層 $\mathbb{Z}$ に当てる。$R^qi_{x*}\mathbb{Z}$（$q\ge1$）の茎は (F2) により $\kappa(x)$ の有限個の分離代数拡大 $F'$ についての $H^q(F',\mathbb{Z})$ の直積で、(F1) により捩れ群であり、収束先 $H^n(\kappa(x),\mathbb{Z})$ も $n\ge1$ で捩れ群だから、$H^n(X,i_{x*}\mathbb{Z})$ は $n\ge1$ で捩れ群である。$n=1$ では (F4) により $H^1(X,i_{x*}\mathbb{Z})\hookrightarrow H^1(\kappa(x),\mathbb{Z})=\operatorname{Hom}_{\mathrm{cont}}(G_{\kappa(x)},\mathbb{Z})$ で、コンパクト群から離散群 $\mathbb{Z}$ への連続準同型は像が有限部分群、すなわち $0$ なので右辺は $0$ である。(F3) により $H^n(X,\bigoplus_xi_{x*}\mathbb{Z})=\bigoplus_xH^n(X,i_{x*}\mathbb{Z})$ なので、これも $n\ge1$ で捩れ群、$n=1$ で $0$ である。
段 3（主張 1）。(W) の長完全列の一部 $H^{q-1}(X,\bigoplus_xi_{x*}\mathbb{Z})\to H^q(X,\mathbb{G}_m)\to H^q(X,g_*\mathbb{G}_{m,K})$ において、$q\ge2$ なら左は段 2、右は段 1 により捩れ群である。真ん中の群は捩れ群の像を部分群にもち、その商が捩れ群に単射に写るので、捩れ群である。
段 4（主張 2）。(W) の長完全列と段 2 の $H^1(X,\bigoplus_xi_{x*}\mathbb{Z})=0$ から、$H^2(X,\mathbb{G}_m)\to H^2(X,g_*\mathbb{G}_{m,K})$ は単射である。次に (F4) の低次の完全列 $H^0(X,R^1g_*\mathbb{G}_{m,K})\to H^2(X,g_*\mathbb{G}_{m,K})\to H^2(K,\mathbb{G}_m)$ を見る。$R^1g_*\mathbb{G}_{m,K}$ の茎は (F2) により体 $L$ の $H^1(L,\mathbb{G}_m)$ で、Hilbert の定理 90（F1）により $0$ である。よって $H^2(X,g_*\mathbb{G}_{m,K})\to H^2(K,\mathbb{G}_m)$ は単射で、合成 $H^2(X,\mathbb{G}_m)\to H^2(K,\mathbb{G}_m)=\mathrm{Br}(K)$ が単射であることが従う。thm-cbg-injective と合わせて $\mathrm{Br}(X)\subset\mathrm{Br}'(X)=H^2(X,\mathbb{G}_m)\subset\mathrm{Br}(K)$ を得る。$\square$

次の 2 つの事実を用いる。(K1) $H^2(X,\mu_n)\cong\mathbb{Z}/n$ である（Mil80 第 V 章 §2。そこでの証明は Tsen の定理を経由する）。(K2) 次数 $0$ の可逆層の類の群 $\mathrm{Pic}^0(X)$ は $n$ 可除である（可除群）。実際、$\mathrm{Pic}^0(X)$ は $X$ の Jacobi多様体 $J$ の $k$ 有理点の群であり、アーベル多様体の $n$ 倍写像は全射な準同型（同種写像）なので、代数閉体 $k$ の上で $J(k)\xrightarrow{\,n\,}J(k)$ は全射である（Mum70 §4・§6）。
$X$ は代数閉体上の曲線なので次数 $1$ の閉点をもち、次数写像 $\deg\colon\mathrm{Pic}(X)\to\mathbb{Z}$ は全射で、核は $\mathrm{Pic}^0(X)$ である。完全列 $0\to\mathrm{Pic}^0(X)\to\mathrm{Pic}(X)\to\mathbb{Z}\to0$ に $\mathbb{Z}/n$ をテンソルすると、テンソル積の右完全性により $\mathrm{Pic}^0(X)/n\to\mathrm{Pic}(X)/n\to\mathbb{Z}/n\to0$ は完全で、(K2) により左端は $0$ だから $\mathrm{Pic}(X)/n\cong\mathbb{Z}/n$ である。Kummer 完全列から得た完全列 $0\to\mathrm{Pic}(X)/n\to H^2(X,\mu_n)\to\mathrm{Br}'(X)[n]\to0$ において、左の射は位数 $n$ の有限群 $\mathrm{Pic}(X)/n$ から、(K1) により位数 $n$ の有限群 $H^2(X,\mu_n)$ への単射だから全単射である。よって余核 $\mathrm{Br}'(X)[n]$ は $0$ である。$\square$