アフィン変換

1. $(f\circ g)(x)=T(Sx+c)+b=TSx+(Tc+b)$ であり、$TS$ は全単射な線形写像なので $f\circ g$ はアフィン変換である。$h(x):=T^{-1}x-T^{-1}b$ もアフィン変換で、$f(h(x))=x-b+b=x$、$h(f(x))=x+T^{-1}b-T^{-1}b=x$ なので $h=f^{-1}$ である。恒等写像はアフィン変換であり、写像の合成は結合的なので、$\mathrm{Aff}(V)$ は群である。
2. 1 の式から $L(f\circ g)=TS=L(f)L(g)$ なので $L$ は準同型である。$T\in\mathrm{GL}(V)$ は $L(T)=T$ を満たすので全射である。$L(f)=\mathrm{id}$ は $f(x)=x+b$、すなわち $f=t_b$ と同値なので、核は $\mathrm{Tr}(V)$ である。$t_b\circ t_c=t_{b+c}$ なので $b\mapsto t_b$ は $V$ から $\mathrm{Tr}(V)$ への同型である。準同型の核なので正規部分群である。
3. $f\circ t_v\circ f^{-1}(x)=T\bigl(T^{-1}x-T^{-1}b+v\bigr)+b=x+Tv$ なので $t_{Tv}$ である。$f(x)=Tx+b$ は $f=t_b\circ T$ と書け、$t_b\circ T=t_{b'}\circ T'$ なら $0$ での値から $b=b'$、すると $T=T'$ である。$\mathrm{Tr}(V)\cap\mathrm{GL}(V)=\{\mathrm{id}\}$ で、$\mathrm{Tr}(V)$ が正規部分群、$\mathrm{GL}(V)$ の作用が $t_v\mapsto t_{Tv}$ なので、$\mathrm{Aff}(V)$ は半直積である。$\square$

$u_i:=p_i-p_0$（$i=1,\dots,n$）は $n$ 個の線形独立なベクトルなので、$V$ の基底である。

1. 存在：基底 $u_1,\dots,u_n$ の行き先を指定すると線形写像が決まるので、$T(u_i)=q_i-q_0$ となる線形写像 $T\colon V\to W$ がある。$f(x):=T(x-p_0)+q_0=T(x)+\bigl(q_0-T(p_0)\bigr)$ はアフィン写像で、$f(p_0)=q_0$、$f(p_i)=T(u_i)+q_0=q_i$ である。一意性：$g(x)=S(x)+c$ も条件を満たすとすると、$S(u_i)=g(p_i)-g(p_0)=q_i-q_0=T(u_i)$ なので、基底の上で一致する線形写像として $S=T$ である。さらに $c=g(p_0)-S(p_0)=q_0-T(p_0)$ なので $g=f$ である。
2. $f$ がアフィン変換であることは、線形部分 $T$ が全単射であること、すなわち基底 $u_1,\dots,u_n$ の像 $q_1-q_0,\dots,q_n-q_0$ が $V$ の基底であることと同値である。$\dim V=n$ なので、これは $q_1-q_0,\dots,q_n-q_0$ が線形独立であること、すなわち $q_0,\dots,q_n$ がアフィン枠であることと同値である。$\square$

すべて $f(y)-f(x)=T(y-x)$ から出る。

1. $f(a+u)=f(a)+T(u)$ なので $f(a+U)=f(a)+T(U)$ である。$T$ は単射なので $\dim T(U)=\dim U=k$ であり、$f$ は単射なので $a+U$ から像への全単射である。
2. 方向が等しい $a+U$ と $a'+U$ の像は、方向がともに $T(U)$ である。
3. $f(z)-f(w)=T(z-w)=T(\lambda(y-x))=\lambda T(y-x)=\lambda(f(y)-f(x))$ である。$\lambda$ は 2 つの線分の（向きを込めた）長さの比であり、内分点 $(1-t)x+ty$ の像が $(1-t)f(x)+tf(y)$ であることはアフィン結合が保たれることの特別な場合である。
4. 凸集合については 凸集合 の記事の命題「アフィン写像による像と逆像」による。重心 $\sum\frac1mx_i$ は係数の和が $1$ のアフィン結合なので、像は $\sum\frac1mf(x_i)$ である。$\square$

$f(c)=c$ は $(\mathrm{id}-T)c=b$ と同値である。$1$ が $T$ の固有値でないことは $\mathrm{id}-T$ が単射であること、有限次元では全単射であることと同値なので、解 $c=(\mathrm{id}-T)^{-1}b$ がただ 1 つある。このとき $f(x)-c=f(x)-f(c)=T(x-c)$ である。$\square$

加法性から $\sigma(0)=0$、$\sigma(-t)=-\sigma(t)$ であり、$\sigma(1)=1$ と合わせて整数 $m$ について $\sigma(m)=m$ である。整数 $q\ne0$ について $q\,\sigma(p/q)=\sigma(q)\sigma(p/q)=\sigma(p)=p$ なので、有理数 $r$ について $\sigma(r)=r$ である。
$t\ge0$ なら $\sigma(t)=\sigma(\sqrt t)^2\ge0$ である。よって $s\le t$ なら $\sigma(t)-\sigma(s)=\sigma(t-s)\ge0$ であり、$\sigma$ は大小を保つ。実数 $a$ と、$r< a< s$ を満たす有理数 $r,s$ について $r=\sigma(r)\le\sigma(a)\le\sigma(s)=s$ である。$r,s$ はいくらでも $a$ に近くとれるので $\sigma(a)=a$ である。$\square$

方針：直線の行き先から平行四辺形が保たれることを導き、和を保つことを示す。スカラー倍については、各直線の上に誘導される写像が実数体の自己同型になることを示し、lem-aff-real-automorphism を使う。
段 0（原点を固定する）。平行移動は直線を直線に移すアフィン変換なので、$f$ の代わりに $t_{-f(0)}\circ f$ を考えれば、$f(0)=0$ と仮定してよい。$f$ は単射なので、異なる直線は異なる直線に移り、交わらない 2 直線の像は交わらない。
段 1（平面は平面の中に移る）。点 $p$ で交わる異なる 2 直線 $L_1,L_2$ と、それらを含む平面 $\Pi$ をとる。$f(L_1)$ と $f(L_2)$ は $f(p)$ で交わる異なる 2 直線なので、それらを含む平面 $\Pi'$ がある。$x\in\Pi$ について $f(x)\in\Pi'$ を示す。$x\in L_1\cup L_2$ なら明らかなので、$x\notin L_1\cup L_2$ とする。$L_1$ の点 $q_1\ne p$ で、直線 $xq_1$ が $L_2$ に平行でないものをとる（直線 $xq_1$ が $L_2$ に平行になる $q_1$ は、$x$ を通り $L_2$ に平行な直線と $L_1$ の交点の高々 1 つである）。直線 $M:=xq_1$ は $\Pi$ に含まれ $L_2$ に平行でないので、$L_2$ と 1 点 $q_2$ で交わる。$q_1\notin L_2$（$q_1\ne p$ だから）なので $q_1\ne q_2$ であり、$M$ は $q_1$ と $q_2$ を通る直線である。像 $f(M)$ は異なる 2 点 $f(q_1)\in f(L_1)$、$f(q_2)\in f(L_2)$ を通る直線なので $\Pi'$ に含まれ、$f(x)\in f(M)\subset\Pi'$ である。
段 2（平行線は平行線に移る）。$L,M$ を異なる平行な 2 直線とし、それらを含む平面を $\Pi$、$L$ と $M$ の両方に交わる $\Pi$ の直線を $N$ とする。$\Pi$ は交わる 2 直線 $L,N$ を含む平面なので、段 1 により $f(\Pi)$ は $f(L)$ と $f(N)$ を含む平面 $\Pi'$ に含まれる。よって $f(L)$ と $f(M)$ は同じ平面 $\Pi'$ の上の交わらない 2 直線であり、平行である（平面の中で交わらない相異なる 2 直線は平行である。アフィン部分空間 の記事の節「交わりと結び」）。
段 3（線形独立性は保たれる）。$x,y$ が線形独立なら $f(x),f(y)$ も線形独立である。実際、$f$ は直線 $\mathbb{R}x$ を $0=f(0)$ と $f(x)$ を通る直線 $\mathbb{R}f(x)$ の上へ全単射に移す。$f(y)\in\mathbb{R}f(x)$ なら $f(y)=f(z)$ となる $z\in\mathbb{R}x$ があり、単射性から $y=z\in\mathbb{R}x$ となって矛盾する。
段 4（和を保つ）。$x,y$ が線形独立なとき、$0,x,x+y,y$ は平行四辺形の 4 頂点で、直線 $0x$ と直線 $y(x+y)$、直線 $0y$ と直線 $x(x+y)$ はそれぞれ平行である。段 2 により、$f(x+y)$ は $f(y)$ を通り $\mathbb{R}f(x)$ に平行な直線と、$f(x)$ を通り $\mathbb{R}f(y)$ に平行な直線の上にある。よって $f(x+y)=f(y)+\alpha f(x)=f(x)+\beta f(y)$ と書け、段 3 の線形独立性から $\alpha=\beta=1$、すなわち $f(x+y)=f(x)+f(y)$ である。
$x,y$ が線形従属なときを考える。$x=0$ または $y=0$ なら明らかなので、$x,y\ne0$ とし、$n\ge2$ を使って $z\notin\mathbb{R}x$ をとる。$y\in\mathbb{R}x$ なので、$x$ と $y+z$、$y$ と $z$、$-x$ と $z$、$x$ と $-x+z$ はどれも線形独立である。$x+y\ne0$ のときは $x+y$ と $z$ も線形独立なので、線形独立な場合の結果を繰り返し使って
$$ f(x+y)+f(z)=f(x+y+z)=f(x)+f(y+z)=f(x)+f(y)+f(z) $$
となり、$f(x+y)=f(x)+f(y)$ である。$x+y=0$ のときは $f(z)=f(x+(-x+z))=f(x)+f(-x)+f(z)$ から $f(-x)=-f(x)$ であり、$f(x+y)=f(0)=0=f(x)+f(y)$ である。
段 5（スカラー倍を保つ）。$x\ne0$ について、$f$ は $\mathbb{R}x$ を $\mathbb{R}f(x)$ の上へ全単射に移すので、全単射 $\sigma_x\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ が $f(\lambda x)=\sigma_x(\lambda)f(x)$ で定まる。段 4 から $\sigma_x$ は加法的で、$\sigma_x(1)=1$ である。$\sigma_x$ が $x$ によらないことを示す。$x,y$ が線形独立なら、
$$ \sigma_{x+y}(\lambda)\bigl(f(x)+f(y)\bigr)=f(\lambda x+\lambda y)=\sigma_x(\lambda)f(x)+\sigma_y(\lambda)f(y) $$
と段 3 から $\sigma_x(\lambda)=\sigma_{x+y}(\lambda)=\sigma_y(\lambda)$ である。$x,y\ne0$ が線形従属なら、$z\notin\mathbb{R}x$ をとって $\sigma_x=\sigma_z=\sigma_y$ である。そこで共通の写像を $\sigma$ と書くと、$\mu\ne0$ について
$$ \sigma(\lambda\mu)f(x)=f(\lambda\mu x)=\sigma(\lambda)f(\mu x)=\sigma(\lambda)\sigma(\mu)f(x) $$
なので $\sigma(\lambda\mu)=\sigma(\lambda)\sigma(\mu)$ であり、$\mu=0$ でも両辺は $0$ である。lem-aff-real-automorphism により $\sigma$ は恒等写像で、$f(\lambda x)=\lambda f(x)$ である。
段 6（まとめ）。段 4・5 により、$f(0)=0$ と仮定した $f$ は線形写像で、全単射なので $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ の元である。段 0 の平行移動を戻せば、もとの $f$ はアフィン変換である。$\square$