Newton–Gauss線

(i) 定義の式を展開すると
$$ (x_1-x)(y_2-y)-(x_2-x)(y_1-y)=x_1y_2-x_1y-xy_2+xy-x_2y_1+x_2y+xy_1-xy $$
で、$xy$ と $-xy$ が打ち消し合う。残りを $x$、$y$ について整理すると $(x_1y_2-x_2y_1)+(y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y$ である。$\sigma(P)$ は 1 次式 4 つの和と差なので、1 次式である。
(ii) (i) の式を 4 つ足す。定数項の和は
$$ \frac12\bigl\{(x_Ay_B-x_By_A)+(x_By_C-x_Cy_B)+(x_Cy_D-x_Dy_C)+(x_Dy_A-x_Ay_D)\bigr\}=S(ABCD) $$
である（靴ひも公式）。$x$ の係数の和は $\dfrac12\{(y_A-y_B)+(y_B-y_C)+(y_C-y_D)+(y_D-y_A)\}=0$、$y$ の係数の和も同じく $\dfrac12\{(x_B-x_A)+(x_C-x_B)+(x_D-x_C)+(x_A-x_D)\}=0$ である。
(iii) $K\left(\dfrac{x_P+x_Q}2,\dfrac{y_P+y_Q}2\right)$ を代入すると $f(K)=\dfrac{(\alpha x_P+\beta y_P+\gamma)+(\alpha x_Q+\beta y_Q+\gamma)}2$ となる。$\square$

方針：$\sigma$ は 1 次式なので、$\sigma(P)=0$ を満たす点の集まりは直線である。$M$、$N$、$L$ で $\sigma$ の値が $0$ になることを確かめる。符号つき面積は、3 点の順を巡回させても（$S(PXY)=S(XYP)=S(YPX)$）変わらない（たどる向きが変わらないから）ことを使う。
段 1（$M$ での値）。lem-ngl-linear の (iii) より $\sigma(M)=\dfrac{\sigma(A)+\sigma(C)}2$ である。同じ点を 2 つ含む三角形の符号つき面積は $0$ なので
$$ \sigma(A)=\underbrace{S(AAB)}_{0}+S(ACD)-S(ABC)-\underbrace{S(ADA)}_{0}=S(ACD)-S(ABC) $$
$$ \sigma(C)=S(CAB)+\underbrace{S(CCD)}_{0}-\underbrace{S(CBC)}_{0}-S(CDA)=S(ABC)-S(ACD) $$
である（巡回させて $S(CAB)=S(ABC)$、$S(CDA)=S(ACD)$）。$\sigma(C)=-\sigma(A)$ なので $\sigma(M)=0$ である。
段 2（$N$ での値）。同じく $\sigma(B)=S(BCD)-S(BDA)$、$\sigma(D)=S(DAB)-S(DBC)=S(BDA)-S(BCD)$ なので、$\sigma(N)=\dfrac{\sigma(B)+\sigma(D)}2=0$ である。
段 3（$E$、$F$ での値）。$E$ は直線 $AB$ と直線 $CD$ の上にあるので $S(EAB)=S(ECD)=0$ である。lem-ngl-linear の (ii) より $S(EBC)+S(EDA)=S(ABCD)$ なので
$$ \sigma(E)=0+0-\bigl(S(EBC)+S(EDA)\bigr)=-S(ABCD) $$
である。$F$ は直線 $BC$ と直線 $DA$ の上にあるので $S(FBC)=S(FDA)=0$ で、同じように $\sigma(F)=S(FAB)+S(FCD)=S(ABCD)$ である。
段 4（$L$ での値）。$L$ は線分 $EF$ の中点なので、lem-ngl-linear の (iii) より
$$ \sigma(L)=\frac{\sigma(E)+\sigma(F)}2=\frac{-S(ABCD)+S(ABCD)}2=0 $$
である。
段 5（直線であること）。lem-ngl-linear の (i) の式で $\sigma(P)=\alpha x+\beta y+\gamma$ の係数を集めると $\alpha=(y_A+y_C)-(y_B+y_D)=2(y_M-y_N)$、$\beta=(x_B+x_D)-(x_A+x_C)=2(x_N-x_M)$ である。もし $M=N$ なら、点 $A$、$B$、$C$、$D$ の位置ベクトルを $\vec a$、$\vec b$、$\vec c$、$\vec d$ として $\vec a+\vec c=\vec b+\vec d$ から $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ となり、直線 $AB$ と直線 $CD$ が平行になって、どの 2 本も平行でないという仮定に反する。よって $M\ne N$ で、$(\alpha,\beta)\ne(0,0)$ である。したがって $\sigma(P)=0$ を満たす点の集まりは直線で、段 1・2・4 より $M$、$N$、$L$ はその上にある。$\square$

(i) lem-ngl-linear の (iii) より、線分 $MN$ の中点での $\sigma$ の値は $\dfrac{\sigma(M)+\sigma(N)}2=0$ である。対角線 $AC$、$BD$ が平行でなければ、Varignon の平行四辺形の中心は線分 $MN$ の中点である（Varignonの定理 の系）。
(ii) 頂点が反時計回りに並ぶように名前を付けると、内部の点 $P$ について 4 つの符号つき面積はふつうの面積である（時計回りなら全部の符号が変わるだけで、以下は同じ）。$\sigma(P)=0$ は与えられた等式そのものである。そのとき lem-ngl-linear の (ii) より 4 つの和が四角形の面積なので、両辺はその半分である。$\square$

内接円が辺 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$ に接する点を $T_1$、$T_2$、$T_3$、$T_4$ とする。円の外の点から円に引いた 2 本の接線の長さは等しい（中心と結んでできる 2 つの直角三角形が、斜辺と他の 1 辺が等しいので合同になる）。頂点 $A$ から引いた 2 本の接線の長さを $t_A=AT_1=AT_4$ とし、$t_B=BT_1=BT_2$、$t_C=CT_2=CT_3$、$t_D=DT_3=DT_4$ とする。接点は辺の上にあるので
$$ AB+CD=(t_A+t_B)+(t_C+t_D),\qquad BC+DA=(t_B+t_C)+(t_D+t_A) $$
で、どちらも $t_A+t_B+t_C+t_D$ に等しい。$\square$

方針：thm-ngl-main と同じ 1 次式 $\sigma$ を使い、$\sigma(I)=0$ を示す。頂点は反時計回りに並ぶように名前を付ける。
段 1（$\sigma(I)=0$）。内接円の半径を $r$ とする。$I$ は四角形の内部にあり、4 辺までの距離がどれも $r$ なので、4 つの三角形の面積は
$$ \triangle IAB=\frac12r\cdot AB,\quad\triangle IBC=\frac12r\cdot BC,\quad\triangle ICD=\frac12r\cdot CD,\quad\triangle IDA=\frac12r\cdot DA $$
である。lem-ngl-pitot より
$$ \triangle IAB+\triangle ICD=\frac r2(AB+CD)=\frac r2(BC+DA)=\triangle IBC+\triangle IDA $$
で、符号つき面積もふつうの面積なので $\sigma(I)=0$ である。
段 2（$\sigma(M)=\sigma(N)=0$）。thm-ngl-main の証明の段 1・段 2 は $E$、$F$ を使っていないので、そのまま $\sigma(M)=\sigma(N)=0$ である。
段 3（$\sigma$ は定数でない）。平行四辺形は向かい合う辺の長さが等しいので、円に外接する平行四辺形では lem-ngl-pitot から $2AB=2BC$ となり、ひし形になる。$ABCD$ はひし形でないので平行四辺形でなく、直線 $AB$ と $CD$、直線 $AD$ と $BC$ の少なくとも一方の組は平行でない。直線 $AD$ と $BC$ が点 $F$ で交わるなら、thm-ngl-main の証明の段 3 と同じく $\sigma(F)=S(ABCD)\ne0$ である。直線 $AB$ と $CD$ が点 $E$ で交わるなら $\sigma(E)=-S(ABCD)\ne0$ である。どちらでも $\sigma$ は定数でない。
段 4（結論）。段 3 より $\sigma(P)=0$ を満たす点の集まりは直線で、段 1・段 2 より $I$、$M$、$N$ はその上にある。4 辺を延ばした直線が完全四辺形をつくるときは、thm-ngl-main よりこれが Newton–Gauss 線である。$\square$