擬コンパクト空間

$X$ を可算コンパクト空間、$f\colon X\to\mathbb{R}$ を連続関数とする。各 $n\ge1$ に対し $U_n=f^{-1}\bigl((-n,n)\bigr)$ とおくと、$f$ の連続性より $U_n$ は開集合である。任意の $x\in X$ について $|f(x)|< n$ となる $n$ があるので $\{U_n\}_{n\ge1}$ は $X$ の高々可算な開被覆である。可算コンパクト性より有限部分被覆 $U_{n_1},\dots,U_{n_k}$ が取れる。$N=\max\{n_1,\dots,n_k\}$ とおくと $U_{n_j}\subset U_N$ なので $X=U_N$ であり、すべての $x$ で $|f(x)|< N$ となる。よって $f$ は有界である。$\square$

まず、$X$ の空でない二つの開集合は必ず交わる。実際、$U,V$ が空でない開集合なら $X\setminus U$ と $X\setminus V$ は高々可算なので、その合併 $X\setminus(U\cap V)$ も高々可算であり、$X$ が非可算だから $U\cap V\neq\emptyset$ である。
$f\colon X\to\mathbb{R}$ を連続関数とし、$f$ が定数でないと仮定する。$a\neq b$ なる $a,b\in f(X)$ を取り、$\varepsilon=|a-b|/2$ とおくと、開区間 $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$ と $(b-\varepsilon,b+\varepsilon)$ は交わらない。それぞれの逆像は空でない開集合であり、しかも交わらない。これは前段に反する。よって $f$ は定数であり、有界である。$\square$

$X$ は非可算なので、相異なる点からなる可算無限列 $d_1,d_2,\dots$ を取ることができる（無限集合から相異なる点を可算無限個選ぶ操作には可算選択公理を使う）。$D=\{d_n\mid n\ge1\}$ とおき、各 $n\ge1$ に対し
$$U_n=X\setminus\{d_m\mid m>n\}$$
とおく。$X\setminus U_n=\{d_m\mid m>n\}$ は可算なので $U_n$ は開集合である。$\{U_n\}$ は $X$ を覆う：$x\notin D$ ならすべての $U_n$ に属し、$x=d_j$ なら $n\ge j$ で $U_n$ に属する。一方 $U_1\subset U_2\subset\cdots$ なので、有限部分族 $U_{n_1},\dots,U_{n_k}$ の合併は $U_N$（$N=\max n_j$）に等しく、$d_{N+1}$ を含まない。よって有限部分被覆は存在せず、$X$ は可算コンパクトでない。$\square$

可算コンパクトならば擬コンパクトであることは prop-pseudocompact-space-countably-compact による（正規性も $T_1$ 性も使わない）。逆を対偶で示す。$X$ が可算コンパクトでないとする。
まず、可算無限で閉かつ離散な部分集合が取れることを見る。可算コンパクトでないので、高々可算な開被覆 $\{V_n\}_{n\ge1}$ で有限部分被覆を持たないものがある。$W_n=V_1\cup\dots\cup V_n$ とおくと $W_n$ は開で増大し、合併は $X$、どの $W_n$ も $X$ と異なる。そこで $x_n\in X\setminus W_n$ を選ぶ（可算選択公理）。各点 $y\in X$ はある $W_m$ に属し、$W_m$ は $y$ の開近傍で、$n\ge m$ のとき $x_n\notin W_m$ だから、$W_m$ が含む $x_n$ の添字は $n< m$ に限られる。すなわち各点は、列 $(x_n)$ の項を有限個しか含まない近傍を持つ。したがって値の集合 $D=\{x_n\mid n\ge1\}$ は無限である（有限なら、ある値が無限回現れ、その点のどの近傍も無限個の項を含む）。さらに $y\in X$ に対し、$y$ の近傍 $W_m$ から $D\cap W_m$ の点のうち $y$ 以外の有限個を除けば（$T_1$ より一点集合は閉なので有限集合も閉であり、除いた後も開集合である）、$D$ と高々 $\{y\}$ でしか交わらない $y$ の開近傍が得られる。よって $D$ は $X$ の閉集合であり、部分空間として離散である。
$D$ の点を重複なく $y_1,y_2,\dots$ と並べ、$g\colon D\to\mathbb{R}$ を $g(y_k)=k$ で定める。$D$ は離散なので $g$ は連続である。$X$ は $T_1$ かつ正規で $D$ は閉集合だから、Tietze の拡張定理により $g$ は連続関数 $G\colon X\to\mathbb{R}$ に拡張される（Mun00 §35 を引用し、本記事では証明しない）。$G(y_k)=k$ なので $G$ は有界でなく、$X$ は擬コンパクトでない。$\square$