Steiner線

Simson線 と同じ三角形 $A(-3,4)$、$B(-4,-3)$、$C(4,-3)$ と、外接円 $x^2+y^2=25$ の上の点 $P(0,-5)$ を使う。足は $D(0,-3)$、$E(3,-2)$、$F\left(-\dfrac{21}5,-\dfrac{22}5\right)$ だった。
(1) 折り返した点。$P$ を直線 $BC$、$CA$、$AB$ で折り返した点を $P_a$、$P_b$、$P_c$ とする。足は線分 $PP_a$ などの中点なので、$P_a=2D-P$ などと計算できる（座標ごとに $2\times$ 足 $-$ $P$）。
$$ P_a=(0,-1),\qquad P_b=(6,1),\qquad P_c=\left(-\frac{42}5,-\frac{19}5\right) $$
(2) 一直線上にあること。直線 $P_aP_b$ の傾きは $\dfrac{1-(-1)}{6-0}=\dfrac13$、直線 $P_aP_c$ の傾きは
$$ \frac{-\frac{19}5-(-1)}{-\frac{42}5-0}=\frac{-\frac{14}5}{-\frac{42}5}=\frac13 $$
で等しい。3 点は直線 $y=\dfrac13x-1$ の上にある。これは Simson 線 $y=\dfrac13x-3$ と平行である。
(3) 垂心。$A$ から $BC$（$x$ 軸に平行）への垂線は $x=-3$ である。直線 $CA$ の向きは $(-7,7)$ なので、$B$ から $CA$ への垂線は向き $(1,1)$ で、$y+3=x+4$ である。$x=-3$ を代入して $y=-2$ なので、垂心は $H(-3,-2)$ である。$\dfrac13\cdot(-3)-1=-2$ なので、$H$ は (2) の直線の上にある。

ex-stnr-start の三角形で、$\Gamma$ の中心 $O(0,0)$ を直線 $BC$（$y=-3$）で折り返すと $(0,-6)$ なので、$\Gamma_a$ は中心 $(0,-6)$、半径 $5$ の円である。$H(-3,-2)$ は $(-3)^2+(-2+6)^2=9+16=25$、$P_a(0,-1)$ は $0^2+(-1+6)^2=25$ で、どちらも $\Gamma_a$ の上にある。同じく $O$ を直線 $CA$、$AB$ で折り返した点は $(1,1)$、$(-7,1)$ で、$H$ からの距離の 2 乗は $(-4)^2+(-3)^2=25$、$4^2+(-3)^2=25$ である。

Simson線 の鈍角三角形 $A(0,5)$、$B(-5,0)$、$C(4,3)$ を使う。外接円は $x^2+y^2=25$ で、中心が原点なので垂心は $H=A+B+C=(-1,8)$ である（三角形の垂心）。$\angle A$ が鈍角なので、$H$ は三角形の外にある。
(1) $P(-3,-4)$。足は $D\left(-\dfrac{22}5,\dfrac15\right)$、$E\left(\dfrac65,\dfrac{22}5\right)$、$F(-6,-1)$ で、折り返した点は
$$ P_a=\left(-\frac{29}5,\frac{22}5\right),\qquad P_b=\left(\frac{27}5,\frac{64}5\right),\qquad P_c=(-9,2) $$
である。$P_c$ から見た傾きは、$P_a$ へ $\dfrac{\frac{22}5-2}{-\frac{29}5+9}=\dfrac{\frac{12}5}{\frac{16}5}=\dfrac34$、$P_b$ へ $\dfrac{\frac{64}5-2}{\frac{27}5+9}=\dfrac{\frac{54}5}{\frac{72}5}=\dfrac34$、$H$ へ $\dfrac{8-2}{-1+9}=\dfrac34$ で、4 点は 1 本の直線の上にある。
(2) $P(3,-4)$。足は $D(1,2)$、$E(6,2)$、$F(-3,2)$ で、折り返した点は $P_a=(-1,8)$、$P_b=(9,8)$、$P_c=(-9,8)$ である。Steiner 線は $y=8$ で、$H(-1,8)$ を通る。ここでは $P_a=H$ で、prf-stnr-main の段 2 の場合にあたる。$H$ を $BC$ で折り返すと $P$ にもどる（折り返しを 2 回続けるともとにもどる）ので、$P$ は垂心の折り返し $H_a$ そのものである。

ex-stnr-start の鋭角三角形で考える。
(1) $P=A^*(3,-4)$（$AA^*$ は外接円の直径）。Simson線 で見たとおり、Simson 線は直線 $BC$（$y=-3$）である。折り返した点は $P_a=(3,-2)$、$P_b=(5,-2)$、$P_c=(-11,-2)$ で、Steiner 線は $y=-2$ である。$P$ を中心に直線 $y=-3$ を 2 倍に広げると、$y$ 座標は $-4+2(-3+4)=-2$ になり、一致する。$H(-3,-2)$ はこの直線の上にある。辺 $BC$ の中点 $M_a(0,-3)$ は線分 $HA^*$ の中点であり（$\left(\dfrac{-3+3}2,\dfrac{-2-4}2\right)=(0,-3)$）、これは 九点円 で示された「$H$ を $M_a$ について点対称に移した点は $A^*$」と同じことである。
(2) $P=A$（thm-stnr-main は頂点を除いたが、ここでも同じことが起こる）。$A$ は直線 $CA$、$AB$ の上にあるので $P_b=P_c=A$ で、$P_a$ は $A$ を $BC$ で折り返した点 $(-3,-10)$ である。2 点を通る直線は $x=-3$、つまり $A$ からの垂線で、$H$ を通る。Simson 線も同じ直線である。

ex-stnr-start の三角形で、$O(0,0)$ を直線 $BC$、$CA$、$AB$ で折り返すと $(0,-6)$、$(1,1)$、$(-7,1)$ になる（ex-stnr-circle の円の中心）。$(1,1)$ と $(-7,1)$ は直線 $y=1$ の上にあるが、$(0,-6)$ はない。3 点は三角形を作る。外心が原点なので、$O$ を $BC$ で折り返した点は辺 $BC$ の中点の 2 倍 $B+C$ で、3 点は $H-A$、$H-B$、$H-C$ と書ける（$H=A+B+C$）。この三角形は三角形 $ABC$ を $180^\circ$ 回して平行移動したもので、辺の長さは $\sqrt{50}$、$8$、$\sqrt{98}$、面積は $28$ と、もとの三角形と等しい。

ex-stnr-start の Steiner 線 $y=\dfrac13x-1$ は、$x=0$ で $y=-1$ なので外心 $O(0,0)$ を通らない。重心 $G\left(-1,-\dfrac23\right)$ では $\dfrac13\cdot(-1)-1=-\dfrac43\ne-\dfrac23$ で、$G$ も通らない。Steiner 線がいつも通る点は垂心であって、ほかの中心ではない。

ex-stnr-start の $P(0,-5)$ を、辺 $BC$、$CA$、$AB$ の中点 $(0,-3)$、$\left(\dfrac12,\dfrac12\right)$、$\left(-\dfrac72,\dfrac12\right)$ について点対称に移すと、$(0,-1)$、$(1,6)$、$(-7,6)$ になる（$2\times$ 中点 $-P$）。後の 2 点は直線 $y=6$ の上にあるが、$(0,-1)$ はないので、3 点は一直線上にない。外心が原点なので、中点 $M_a$ についての点対称な点は $2M_a-P=B+C-P$ で、3 点は $-A-P+(A+B+C)$ などと書ける。3 点は三角形 $ABC$ を $180^\circ$ 回して平行移動した三角形の頂点であり、決して一直線には並ばない。