テンソル積

存在。集合 $M\times N$ を基底にもつ自由加群 $F=A^{(M\times N)}$ をとる。$F$ の元は有限個の $(m,n)\in M\times N$ の $A$ 係数の形式的な一次結合であり、基底の元 $(m,n)$ を $e_{(m,n)}$ と書く。$F$ の部分加群 $R$ を、次の 4 種類の元すべてで生成される部分加群とする。
$$ \begin{aligned} &e_{(m+m',n)}-e_{(m,n)}-e_{(m',n)},\qquad e_{(m,n+n')}-e_{(m,n)}-e_{(m,n')},\\ &e_{(am,n)}-a\,e_{(m,n)},\qquad e_{(m,an)}-a\,e_{(m,n)} \end{aligned} $$
（$m,m'\in M$、$n,n'\in N$、$a\in A$）。商加群 $T:=F/R$ とおき、$\tau\colon M\times N\to T$ を $\tau(m,n):=e_{(m,n)}+R$ で定める。$R$ の生成元が $T$ で $0$ になるという事実は、$\tau$ が双線形であることをそのまま述べている。
この $(T,\tau)$ が普遍性をもつことを示す。$f\colon M\times N\to P$ を双線形写像とする。$F$ は $M\times N$ を基底にもつ自由加群だから、自由加群の普遍性（加群の記事の命題「自由加群の普遍性」）により、$\tilde f(e_{(m,n)})=f(m,n)$ をみたす線形写像 $\tilde f\colon F\to P$ がただ 1 つ存在する。$f$ が双線形であることから、$\tilde f$ は $R$ の生成元をすべて $0$ に送る。たとえば
$$ \tilde f\bigl(e_{(m+m',n)}-e_{(m,n)}-e_{(m',n)}\bigr)=f(m+m',n)-f(m,n)-f(m',n)=0 $$
であり、他の 3 種類も同様である。よって $R\subset\ker\tilde f$ であり、$\tilde f$ は線形写像 $\bar f\colon T=F/R\to P$、$\bar f(x+R)=\tilde f(x)$ を誘導する。定義から $\bar f(\tau(m,n))=f(m,n)$、すなわち $f=\bar f\circ\tau$ である。一意性を示す。$g\colon T\to P$ が線形で $g\circ\tau=f$ をみたすとする。$F$ は $e_{(m,n)}$ たちで生成されるので、$T$ は $\tau(m,n)$ の形の元で生成される。$g$ と $\bar f$ はこれらの生成元の上で $g(\tau(m,n))=f(m,n)=\bar f(\tau(m,n))$ と一致するから、線形性により $T$ 全体で一致し、$g=\bar f$ である。
一意性。$(T,\tau)$ と $(T',\tau')$ がともにテンソル積とする。$\tau'\colon M\times N\to T'$ は双線形だから、$(T,\tau)$ の普遍性により $\tau'=\theta\circ\tau$ をみたす線形写像 $\theta\colon T\to T'$ がただ 1 つ存在する。同様に $(T',\tau')$ の普遍性により $\tau=\theta'\circ\tau'$ をみたす線形写像 $\theta'\colon T'\to T$ がただ 1 つ存在する。このとき $\theta'\circ\theta\colon T\to T$ は $(\theta'\circ\theta)\circ\tau=\theta'\circ\tau'=\tau$ をみたす。恒等写像 $\mathrm{id}_T$ も同じ式 $\mathrm{id}_T\circ\tau=\tau$ をみたすので、$(T,\tau)$ の普遍性における一意性から $\theta'\circ\theta=\mathrm{id}_T$ である。同様に $\theta\circ\theta'=\mathrm{id}_{T'}$ であり、$\theta$ は同型である。

1 は $\tau\colon(m,n)\mapsto m\otimes n$ が双線形であることの言い換えである。$m\otimes 0=m\otimes(0\cdot 0)=0\cdot(m\otimes 0)=0$ であり、$0\otimes n$ も同様である。2 と 3 は、$M\otimes_A N$ が単純テンソルで生成されることから従う。実際、$M\otimes_A N$ の部分加群 $T_0$ を単純テンソルで生成される部分加群とし、$\tau_0\colon M\times N\to T_0$ を $\tau$ の値域を $T_0$ に制限したものとすると、$(T_0,\tau_0)$ も普遍性をもつ。存在は、$f$ が双線形なら $\bar f\circ\tau=f$ をみたす $\bar f\colon M\otimes_A N\to P$ を $T_0$ に制限すればよい。一意性は、$g\circ\tau_0=f$ をみたす $g\colon T_0\to P$ は生成元 $m\otimes n$ での値 $f(m,n)$ で決まることによる。よって thm-tensor-product-existence の一意性の部分により、包含写像 $T_0\to M\otimes_A N$ は同型、すなわち $T_0=M\otimes_A N$ である。したがって任意の元は単純テンソルの有限和であり、単純テンソル上で一致する線形写像は全体で一致する。4 は普遍性そのものである。

写像 $M\times N\to M'\otimes_A N'$、$(m,n)\mapsto f(m)\otimes g(n)$ は、$f,g$ の線形性と prop-tensor-product-generators の 1 により双線形である。よって prop-tensor-product-generators の 4 により線形写像 $f\otimes g$ が定まり、一意性は 3 による。$\mathrm{id}_M\otimes\mathrm{id}_N$ と $\mathrm{id}_{M\otimes_A N}$ は単純テンソル上で一致するので等しい。合成についても、両辺は $m\otimes n$ を $f'(f(m))\otimes g'(g(n))$ に送るので単純テンソル上で一致し、等しい。

1. 写像 $A\times M\to M$、$(a,m)\mapsto am$ は加群の公理により双線形なので、線形写像 $\varphi\colon A\otimes_A M\to M$、$a\otimes m\mapsto am$ が定まる。$\psi\colon M\to A\otimes_A M$、$m\mapsto 1\otimes m$ は prop-tensor-product-generators の 1 により線形である。$\varphi(\psi(m))=1\cdot m=m$ であり、$\psi(\varphi(a\otimes m))=1\otimes am=a(1\otimes m)=(a\cdot 1)\otimes m=a\otimes m$ である。後者は単純テンソル上での一致なので $\psi\circ\varphi=\mathrm{id}$ であり、$\varphi$ は同型である。
2. $(m,n)\mapsto n\otimes m$ は双線形なので線形写像 $\sigma\colon M\otimes_A N\to N\otimes_A M$ が定まり、同様に $\sigma'\colon N\otimes_A M\to M\otimes_A N$、$n\otimes m\mapsto m\otimes n$ が定まる。$\sigma'\circ\sigma$ と $\sigma\circ\sigma'$ はそれぞれ単純テンソル上で恒等写像に一致するので、$\sigma$ は同型である。
3. $p\in P$ を固定すると、$(m,n)\mapsto m\otimes(n\otimes p)$ は双線形なので線形写像 $\alpha_p\colon M\otimes_A N\to M\otimes_A(N\otimes_A P)$ が定まる。次に $(x,p)\mapsto\alpha_p(x)$ が $(M\otimes_A N)\times P$ 上で双線形であることを確かめる。$x$ について線形であることは $\alpha_p$ の線形性である。$p$ について、$\alpha_{p+p'}$ と $\alpha_p+\alpha_{p'}$ は単純テンソル $m\otimes n$ をともに $m\otimes(n\otimes p)+m\otimes(n\otimes p')$ に送るので等しく、$\alpha_{ap}$ と $a\alpha_p$ も同様に等しい。よって線形写像 $\alpha\colon(M\otimes_A N)\otimes_A P\to M\otimes_A(N\otimes_A P)$、$x\otimes p\mapsto\alpha_p(x)$ が定まり、$\alpha((m\otimes n)\otimes p)=m\otimes(n\otimes p)$ である。まったく同様に、$m$ を固定して $(n,p)\mapsto(m\otimes n)\otimes p$ から出発すれば、線形写像 $\beta\colon M\otimes_A(N\otimes_A P)\to(M\otimes_A N)\otimes_A P$、$m\otimes(n\otimes p)\mapsto(m\otimes n)\otimes p$ が定まる。$(M\otimes_A N)\otimes_A P$ の任意の元は $\sum_j x_j\otimes p_j$ と書け、各 $x_j$ は単純テンソルの和だから、双線形性により $(m\otimes n)\otimes p$ の形の元の和に書ける。$\beta\circ\alpha$ はこれらの生成元を動かさないので恒等写像であり、同様に $\alpha\circ\beta$ も恒等写像である。よって $\alpha$ は同型である。

$\iota_i\colon M_i\to\bigoplus_i M_i$ を第 $i$ 成分への標準的な単射、$\pi_i\colon\bigoplus_i M_i\to M_i$ を第 $i$ 成分への射影とする。写像 $\bigl(\bigoplus_i M_i\bigr)\times N\to\bigoplus_i(M_i\otimes_A N)$、$((m_i)_i,n)\mapsto(m_i\otimes n)_i$ は、$m_i\neq 0$ となる $i$ が有限個なので値が確かに直和に入り、各成分が双線形なので双線形である。よって $\Phi$ が定まる。
逆向きの写像 $\Psi\colon\bigoplus_i(M_i\otimes_A N)\to\bigl(\bigoplus_i M_i\bigr)\otimes_A N$ を、第 $i$ 成分 $M_i\otimes_A N$ の上では $\iota_i\otimes\mathrm{id}_N$ であるような線形写像として定める（直和からの線形写像は各成分からの線形写像の族で定まる）。
$\Phi\circ\Psi=\mathrm{id}$：$\bigoplus_i(M_i\otimes_A N)$ は、第 $i$ 成分が単純テンソル $m_i\otimes n$ で他の成分が $0$ であるような元で生成される。この元を $\Psi$ で送ると $\iota_i(m_i)\otimes n$ であり、さらに $\Phi$ で送ると $(\pi_j(\iota_i(m_i))\otimes n)_j$、すなわち第 $i$ 成分が $m_i\otimes n$ で他が $0$ の元に戻る。
$\Psi\circ\Phi=\mathrm{id}$：単純テンソル $(m_i)_i\otimes n$ を $\Phi$ で送ると $(m_i\otimes n)_i$ であり、これを $\Psi$ で送ると $\sum_i\iota_i(m_i)\otimes n=\bigl(\sum_i\iota_i(m_i)\bigr)\otimes n=(m_i)_i\otimes n$ である（和は有限和）。単純テンソル上で恒等写像に一致するので $\Psi\circ\Phi=\mathrm{id}$ である。

prop-tensor-product-direct-sum により $A^{(I)}\otimes_A N\cong\bigoplus_i(Ae_i\otimes_A N)$ であり、各成分は prop-tensor-product-basic-isomorphisms の 1 により $Ae_i\otimes_A N\cong N$、$ae_i\otimes n\mapsto an$ である。合成すると主張の写像になる。後半は $I=\{1,\ldots,m\}$、$N=A^n$ の場合であり、この同型で $e_i\otimes f_j$ は $N^{(I)}=(A^n)^m$ の「第 $i$ 成分が $f_j$ で他が $0$」の元に送られる。これらは $(A^n)^m$ の基底をなすので、$e_i\otimes f_j$ たちは $A^m\otimes_A A^n$ の基底である。

写像 $(A/I)\times M\to M/IM$、$(a+I,m)\mapsto am+IM$ は代表元 $a$ の取り方によらない。実際 $a-a'\in I$ なら $am-a'm=(a-a')m\in IM$ である。この写像が双線形であることは直ちに確かめられるので、線形写像 $\varphi\colon(A/I)\otimes_A M\to M/IM$ が定まる。
逆写像を作る。線形写像 $M\to(A/I)\otimes_A M$、$m\mapsto(1+I)\otimes m$ を考える。$m=\sum_k a_km_k$（$a_k\in I$）が $IM$ の元なら
$$ (1+I)\otimes m=\sum_k(1+I)\otimes a_km_k=\sum_k\bigl(a_k(1+I)\bigr)\otimes m_k=\sum_k(a_k+I)\otimes m_k=0 $$
である（$a_k\in I$ だから $a_k+I=0$）。よってこの写像は $IM$ を $0$ に送り、線形写像 $\psi\colon M/IM\to(A/I)\otimes_A M$、$m+IM\mapsto(1+I)\otimes m$ を誘導する。$\varphi(\psi(m+IM))=m+IM$ であり、$\psi(\varphi((a+I)\otimes m))=(1+I)\otimes am=(a+I)\otimes m$ は単純テンソル上での一致だから $\psi\circ\varphi=\mathrm{id}$ である。よって $\varphi$ は同型である。

以下 $f\otimes\mathrm{id}_N$、$g\otimes\mathrm{id}_N$ を $f_N$、$g_N$ と略記する。
$g_N$ が全射であること：$M''\otimes_A N$ は単純テンソル $m''\otimes n$ で生成され、$g$ が全射なので $m''=g(m)$ となる $m\in M$ がとれて $m''\otimes n=g_N(m\otimes n)$ である。よって $g_N$ の像は生成元をすべて含み、$g_N$ は全射である。
$\operatorname{im}f_N\subset\ker g_N$ であること：prop-tensor-product-functoriality により $g_N\circ f_N=(g\circ f)\otimes\mathrm{id}_N$ であり、$g\circ f=0$ だからこれは単純テンソルをすべて $0$ に送り、零写像である。
$\ker g_N\subset\operatorname{im}f_N$ であること：$D:=\operatorname{im}f_N$ とおき、商加群 $Q:=(M\otimes_A N)/D$ と標準的な全射 $\pi\colon M\otimes_A N\to Q$ を考える。$D\subset\ker g_N$ だから $g_N$ は線形写像 $\bar g\colon Q\to M''\otimes_A N$、$\bar g(\pi(x))=g_N(x)$ を誘導する。$\bar g$ が同型であることを示せば、$\ker g_N=\pi^{-1}(\ker\bar g)=\pi^{-1}(0)=D$ となって主張が従う。そのために $\bar g$ の逆写像を作る。写像 $h_0\colon M''\times N\to Q$ を、$m''\in M''$ に対して $g(m)=m''$ となる $m\in M$ をとり $h_0(m'',n):=\pi(m\otimes n)$ で定める。これは $m$ の選び方によらない。実際 $g(m_1)=g(m_2)=m''$ なら $m_1-m_2\in\ker g=\operatorname{im}f$ だから $m_1-m_2=f(m')$ となる $m'\in M'$ があり、$m_1\otimes n-m_2\otimes n=f(m')\otimes n=f_N(m'\otimes n)\in D$、すなわち $\pi(m_1\otimes n)=\pi(m_2\otimes n)$ である。$h_0$ は双線形である。たとえば $g(m_1)=m''_1$、$g(m_2)=m''_2$ なら $g(m_1+m_2)=m''_1+m''_2$ だから $h_0(m''_1+m''_2,n)=\pi((m_1+m_2)\otimes n)=h_0(m''_1,n)+h_0(m''_2,n)$ であり、$g(am_1)=am''_1$ から $h_0(am''_1,n)=\pi(am_1\otimes n)=a\,h_0(m''_1,n)$ である。$n$ についての線形性は $m\otimes n$ の $n$ についての線形性から従う。よって線形写像 $h\colon M''\otimes_A N\to Q$、$m''\otimes n\mapsto\pi(m\otimes n)$（$g(m)=m''$）が定まる。
$\bar g\circ h$ は単純テンソル $m''\otimes n$ を $\bar g(\pi(m\otimes n))=g_N(m\otimes n)=g(m)\otimes n=m''\otimes n$ に送るので恒等写像である。$h\circ\bar g$ は $Q$ の生成元 $\pi(m\otimes n)$ を $h(g(m)\otimes n)=\pi(m\otimes n)$ に送るので恒等写像である。よって $\bar g$ は同型であり、証明が終わる。

$f\colon M'\to M$ を単射線形写像とする。cor-tensor-product-free の同型 $\Phi_{M'}\colon A^{(I)}\otimes_A M'\to M'^{(I)}$、$\Phi_M\colon A^{(I)}\otimes_A M\to M^{(I)}$ と、$f$ を各成分に施す線形写像 $f^{(I)}\colon M'^{(I)}\to M^{(I)}$、$(m'_i)_i\mapsto(f(m'_i))_i$ を考える。単純テンソル $(a_i)_i\otimes m'$ に対して
$$ f^{(I)}\bigl(\Phi_{M'}((a_i)_i\otimes m')\bigr)=(f(a_im'))_i=(a_if(m'))_i=\Phi_M\bigl((a_i)_i\otimes f(m')\bigr)=\Phi_M\bigl((\mathrm{id}\otimes f)((a_i)_i\otimes m')\bigr) $$
だから、$f^{(I)}\circ\Phi_{M'}=\Phi_M\circ(\mathrm{id}_{A^{(I)}}\otimes f)$ である。$f$ が単射なら $f^{(I)}$ は単射であり、$\Phi_{M'}$、$\Phi_M$ は同型だから、$\mathrm{id}_{A^{(I)}}\otimes f=\Phi_M^{-1}\circ f^{(I)}\circ\Phi_{M'}$ も単射である。prop-tensor-product-basic-isomorphisms の 2 の同型 $\sigma$ は単純テンソル上の計算から $(\mathrm{id}_{A^{(I)}}\otimes f)\circ\sigma_{M'}=\sigma_M\circ(f\otimes\mathrm{id}_{A^{(I)}})$ をみたすので、$f\otimes\mathrm{id}_{A^{(I)}}=\sigma_M^{-1}\circ(\mathrm{id}_{A^{(I)}}\otimes f)\circ\sigma_{M'}$ も単射であり、$A^{(I)}$ は平坦である。

写像 $B\times M\to P$、$(b,m)\mapsto b\,f(m)$ は $A$ 双線形である。実際 $b$ について加法的で、$m$ について $f$ の加法性から加法的であり、$(\varphi(a)b)f(m)=b\,\varphi(a)f(m)=b\,f(am)$ が $B$ の可換性と $f$ の $A$ 線形性から成り立つ。よって $A$ 線形写像 $F\colon B\otimes_A M\to P$、$b\otimes m\mapsto b\,f(m)$ が定まり、$F(1\otimes m)=f(m)$ である。$F$ が $B$ 線形であること：$b'\in B$ に対して、$x\mapsto F(b'x)$ と $x\mapsto b'F(x)$ はともに $A$ 線形写像 $B\otimes_A M\to P$ であり、単純テンソル $b\otimes m$ をともに $b'b\,f(m)$ に送るので等しい。一意性：$B$ 線形写像 $F'$ が $F'(1\otimes m)=f(m)$ をみたせば、$F'(b\otimes m)=F'(b\cdot(1\otimes m))=b\,F'(1\otimes m)=b\,f(m)=F(b\otimes m)$ となり、単純テンソル上で一致するので $F'=F$ である。