Schwarzの補題

$|g|$ はコンパクト集合 $\overline{D}(0,r)$ の上の連続関数なので、ある点 $w$ で最大値をとる。$|w|=r$ なら主張は明らかである。$|w|< r$ なら、$|g|$ は連結な開円板 $D(0,r)$ の点 $w$ で極大値をとるので、開写像定理(複素解析) の系「正則関数の最大値原理」により $g$ は $D(0,r)$ の上で定数であり、連続性から $\overline{D}(0,r)$ の上でも定数である。このとき周の上の値も同じなので、やはり主張が成り立つ。

$h(w):=f(rw)/s$ とおくと $h\colon\mathbb{D}\to\mathbb{D}$ は正則で $h(0)=0$、$h'(0)=rf'(0)/s$ である。thm-schwarz-main を $h$ に使い、$w=z/r$ を代入すれば $|f(z)|/s\le|z|/r$、$r|f'(0)|/s\le1$ を得る。等号の場合は $h(w)=cw$ なので $f(z)=sh(z/r)=c\frac srz$ である。

仮定から $f(z)=\sum_{k\ge m}a_kz^k$ であり、$g(z):=\sum_{k\ge m}a_kz^{k-m}$ は $\mathbb{D}$ 上で正則で、$z\neq0$ では $g(z)=f(z)/z^m$、$g(0)=a_m=f^{(m)}(0)/m!$ である。$|z|=r<1$ では $|g(z)|<1/r^m$ なので、lem-schwarz-max により $|z|\le r$ で $|g(z)|\le1/r^m$ であり、$r\to1$ として $\mathbb{D}$ 上で $|g|\le1$ を得る。等号の場合は $|g|$ が内部で最大値 $1$ をとるので、prf-schwarz-main の最後と同じく $g$ は絶対値 $1$ の定数である。

$a\neq b$ をともに不動点とする。$g:=\varphi_a\circ f\circ\varphi_{-a}$ は $\mathbb{D}$ の正則な自己写像で、$g(0)=\varphi_a(f(a))=\varphi_a(a)=0$ である。$c:=\varphi_a(b)$ は $\varphi_a$ が単射なので $0$ でなく、$g(c)=\varphi_a(f(b))=\varphi_a(b)=c$ である。$|g(c)|=|c|$ だから thm-schwarz-main の 3 により $g(z)=\lambda z$（$|\lambda|=1$）であり、$\lambda c=c$ から $\lambda=1$ である。よって $g$ は恒等写像で、$f=\varphi_{-a}\circ g\circ\varphi_a$ も恒等写像となり、仮定に反する。

$\varphi_a$ は $\mathbb{D}$ の中で $a$ だけに 1 位の零点をもつので、$B$ の零点は $a_j$ たちで、点 $a$ での位数はちょうど $m_a$ である。$a$ の近くで $f(z)=(z-a)^{m_a}f_1(z)$、$B(z)=(z-a)^{m_a}B_1(z)$、$B_1(a)\neq0$ と書けるので、$g:=f/B$ は $a$ で除去可能な特異点をもつだけであり、$\mathbb{D}$ 上の正則関数に延びる。

$|1-\bar az|\ge1-|a|$ と上の $1-|\varphi_a(z)|^2$ の式から、$1-|\varphi_a(z)|^2\le\frac{1+|a|}{1-|a|}(1-|z|^2)$ である。よって $\varepsilon>0$ を与えると、$1$ に十分近い $r$ では $|z|=r$ の上で $|B(z)|\ge1-\varepsilon$ である。このとき $|z|=r$ の上で $|g(z)|\le1/(1-\varepsilon)$ であり、lem-schwarz-max により $|z|\le r$ でも同じ評価が成り立つ。$z\in\mathbb{D}$ を固定して $r\to1$、続けて $\varepsilon\to0$ とすれば $|g(z)|\le1$、すなわち $|f(z)|\le|B(z)|$ を得る。

平行移動して $p=0$ としてよい。$U$ は有界なので $U\subset D(0,R)$ となる $R$ があり、$U$ は開集合なので $\overline{D}(0,r)\subset U$ となる $r>0$ がある。$f^{\ell}:=f\circ\cdots\circ f$（$\ell$ 回）は $U$ から $U$ への正則関数で $f^{\ell}(0)=0$ であり、円周 $|z|=r$ の上で $|f^{\ell}|< R$ である。Cauchyの積分公式 の命題「Cauchy の評価式」により、$f^{\ell}$ の $0$ での $k$ 次の Taylor 係数は絶対値が $R/r^k$ 以下である。

連鎖律により $(f^{\ell})'(0)=f'(0)^{\ell}$ なので、$|f'(0)|^{\ell}\le R/r$ がすべての $\ell$ で成り立つ。$|f'(0)|>1$ なら左辺は $\ell\to\infty$ で発散するので、$|f'(0)|\le1$ である。

$f'(0)=1$ で $f$ が恒等写像でないとする。一致の定理（一致の定理）により $f$ は $0$ の近くでも恒等写像でないので、$0$ のまわりの展開は $f(z)=z+a_mz^m+(\text{$m+1$ 次以上の項})$、$m\ge2$、$a_m\neq0$ の形である。$\ell$ についての帰納法で、$f^{\ell}(z)=z+\ell a_mz^m+(\text{$m+1$ 次以上の項})$ を示す。$\ell-1$ で成り立つとすると、$w:=f^{\ell-1}(z)=z+O(z^m)$ について $w^m=z^m+O(z^{2m-1})$ であり、$2m-1\ge m+1$ なので $f^{\ell}(z)=f(w)=w+a_mw^m+O(w^{m+1})=z+(\ell-1)a_mz^m+a_mz^m+O(z^{m+1})$ となる。したがって Cauchy の評価式から $\ell|a_m|\le R/r^m$ がすべての $\ell$ で成り立ち、$a_m=0$ となって矛盾する。よって $f$ は $0$ の近くで恒等写像であり、$U$ は連結なので一致の定理により $U$ 全体で恒等写像である。