fppf位相

1. $V$ を $X$ 上エタールとすると、どちらの層でも $V$ 上の切断は $\operatorname{Hom}_X(V,G)$ である。$\varepsilon_*$ は制限なので、$\varepsilon_*(G_{\mathrm{fppf}})(V)=G_{\mathrm{fppf}}(V)=G_{\text{ét}}(V)$ である。
2. 景の射 $\varepsilon$ についての Leray スペクトル系列
   $$ E_2^{s,t}=H^s(X_{\text{ét}},R^t\varepsilon_*G_{\mathrm{fppf}})\Longrightarrow H^{s+t}(X_{\mathrm{fppf}},G_{\mathrm{fppf}}) $$
   の低次の完全列は
   $$ 0\to H^1(X_{\text{ét}},\varepsilon_*G_{\mathrm{fppf}})\to H^1(X_{\mathrm{fppf}},G_{\mathrm{fppf}})\to H^0(X_{\text{ét}},R^1\varepsilon_*G_{\mathrm{fppf}})\to\cdots $$
   である。(1) により $\varepsilon_*G_{\mathrm{fppf}}=G_{\text{ét}}$ なので、左の二項が $i=1$ での単射を与え、辺準同型 $H^i(X_{\text{ét}},\varepsilon_*G_{\mathrm{fppf}})\to H^i(X_{\mathrm{fppf}},G_{\mathrm{fppf}})$ が比較写像である。$i=0$ では両辺とも $G(X)=\operatorname{Hom}_X(X,G)$ である。

核が $\mu_n$ であるのは定義どおりである。全射性を示す。$U$ を $X_{\mathrm{fppf}}$ の対象、$a\in\Gamma(U,\mathcal O_U)^\times$ とし、
$$ U':=\operatorname{Spec}_U\mathcal O_U[T]/(T^n-a) $$
と置く。$\mathcal O_U[T]/(T^n-a)$ は $1,T,\dots,T^{n-1}$ を基底とする階数 $n$ の自由 $\mathcal O_U$ 加群なので、$U'\to U$ は有限・平坦・有限表示であり、階数が正なので全射である。よって $\{U'\to U\}$ は fppf 被覆であり、$U'$ の上で $a=T^n$ は $n$ 乗である。

$\alpha_p$ の場合。 Frobenius 写像 $F:\mathbb G_a\to\mathbb G_a$、$a\mapsto a^p$ は（標数 $p$ なので）群の準同型であり、核は定義により $\alpha_p$ である。$F$ は fppf 層として全射である。実際、$U$ 上の切断 $a$ に対し $U':=\operatorname{Spec}_U\mathcal O_U[T]/(T^p-a)$ は階数 $p$ の自由加群を与えるので fppf 被覆であり、その上で $a=T^p$ となる。よって
$$ 0\to\alpha_p\to\mathbb G_a\xrightarrow{F}\mathbb G_a\to0 $$
は $k_{\mathrm{fppf}}$ 上の完全列であり、コホモロジーの長完全列の始まりは
$$ 0\to\alpha_p(k)\to k\xrightarrow{F}k\to H^1(k_{\mathrm{fppf}},\alpha_p) $$
である。$F$ の像は $k^p$ なので、$k/k^p$ が $H^1(k_{\mathrm{fppf}},\alpha_p)$ に単射で入る。
$\mu_p$ の場合。 上の命題「fppf位相でのKummer完全列」を $n=p$ に当てると、長完全列の始まりは
$$ 1\to\mu_p(k)\to k^\times\xrightarrow{a\mapsto a^p}k^\times\to H^1(k_{\mathrm{fppf}},\mu_p) $$
なので、$k^\times/(k^\times)^p$ が単射で入る。
$0$ でないこと。 $k$ が完全でなければ $a\in k\setminus k^p$ がとれる。$a$ は $k/k^p$ の $0$ でない元を与え、また $a\neq0$ なので単数であって $p$ 乗でないから、$k^\times/(k^\times)^p$ の $0$ でない元も与える。
分離閉でも変わらないこと。 上の議論は $k$ の分離性について何も仮定していない。$a$ の $p$ 乗根を添加する拡大 $T^p-a$ は純非分離であり、分離閉包の中には $a$ の $p$ 乗根が無いからである。

$N$ は有限なので、単純な部分群による有限の組成列をもち、各段の商は無限小で、分類により $\alpha_p$ または $\mu_p$ である。
(1) 上の計算により $\alpha_p$、$\mu_p$ の $H^i$（$i\geq2$）は $0$ なので、組成列の長さについての帰納法と長完全列から従う。
(2) $N_1\subseteq N$ を $0$ でない単純な部分群とし、$Q:=N/N_1$ と置く。長完全列の始まり
$$ 0\to N_1(k)\to N(k)\to Q(k)\to H^1(k_{\mathrm{fppf}},N_1)\to H^1(k_{\mathrm{fppf}},N) $$
で、無限小群スキームの $k$ 点は単位元だけである（台が一点で、その局所環は剰余体 $k$ のアルティン局所環であり、$k$ 点はその極大イデアルを消す $k$ 代数の射にあたる）。よって $Q(k)=0$ であり、$H^1(k_{\mathrm{fppf}},N_1)\to H^1(k_{\mathrm{fppf}},N)$ は単射である。$N_1$ は $\alpha_p$ か $\mu_p$ なので、上の例により $H^1(k_{\mathrm{fppf}},N_1)\neq0$ であり、$H^1(k_{\mathrm{fppf}},N)\neq0$ となる。

$V$ を $k$ 上エタールなスキームとすると、$V$ は被約である。$V$ 上の単数 $a$ が $a^p=1$ を満たすなら、標数 $p$ なので $(a-1)^p=a^p-1=0$ であり、被約性から $a=1$ である。よって $\mu_p$ のエタール層としての制限は $0$ であり、$H^1(k_{\text{ét}},\mu_p)=0$ である。他方、上の例により $H^1(k_{\mathrm{fppf}},\mu_p)\neq0$ である。