等質空間

1．$U\subset G$ が開集合なら $\pi^{-1}(\pi(U))=UH=\bigcup_{h\in H}Uh$ は右移動（同相写像）による開集合の像の和なので開集合で、商位相の定義から $\pi(U)$ は開集合である。$\mathrm{id}\times\pi\colon G\times G\to G\times G/H$ は連続な開写像の積なので連続な開全射であり、したがって商写像である。作用を $\alpha$、積を $m$ とすると $\alpha\circ(\mathrm{id}\times\pi)=\pi\circ m$ は連続なので、$\alpha$ は連続である。
2．$G/H$ が Hausdorff なら 1 点 $\{eH\}$ は閉集合で、$H=\pi^{-1}(eH)$ は閉集合である。逆に $H$ が閉集合で $aH\ne bH$ とすると $a^{-1}b\notin H$ であり、$(x,y)\mapsto x^{-1}y$ の連続性から、$a$、$b$ の開近傍 $A$、$B$ で $A^{-1}B\cap H=\emptyset$ となるものがある。1 から $\pi(A)$、$\pi(B)$ は開集合で、$xH=yH$（$x\in A$、$y\in B$）なら $x^{-1}y\in H$ となり矛盾するので、$\pi(A)\cap\pi(B)=\emptyset$ である。
3．$G$ の可算な開基 $\{U_i\}$ について、$\{\pi(U_i)\}$ は開集合の族で、$G/H$ の開集合 $V$ と点 $aH\in V$ に対し $a\in U_i\subset\pi^{-1}(V)$ となる $U_i$ をとれば $aH\in\pi(U_i)\subset V$ なので、開基をなす。$\square$

$\mathfrak{g}=\mathfrak{m}\oplus\mathfrak{h}$ となる部分空間 $\mathfrak{m}$ を 1 つとり、$\Phi\colon\mathfrak{m}\times H\to G$、$\Phi(X,h):=\exp(X)h$ とおく。$H$ は埋め込まれた部分多様体なので $\Phi$ は滑らかである。
段 1（局所微分同相）． $\Phi(X,e)=\exp X$、$\Phi(0,h)=h$ なので、$d\Phi_{(0,e)}(X,Y)=X+Y$（$X\in\mathfrak{m}$、$Y\in\mathfrak{h}$）であり、$\mathfrak{g}=\mathfrak{m}\oplus\mathfrak{h}$ から同型である。$k\in H$ の右移動を $R_k$ と書くと $\Phi(X,hk)=R_k\Phi(X,h)$ なので、$d\Phi_{(X,k)}\circ(\mathrm{id}\times dR_k)=dR_k\circ d\Phi_{(X,e)}$ であり、$d\Phi_{(X,k)}$ が同型であることと $d\Phi_{(X,e)}$ が同型であることは同値である。後者は $X$ について開条件（行列式が $0$ でない）で $X=0$ で成り立つので、$0$ の開近傍 $W_0\subset\mathfrak{m}$ があって、$\Phi$ は $W_0\times H$ の各点で局所微分同相である。
段 2（単射性）． $\Psi\colon\mathfrak{m}\times\mathfrak{h}\to G$、$\Psi(X,Y):=\exp(X)\exp(Y)$ も $0$ での微分が $(X,Y)\mapsto X+Y$ なので、逆写像定理により $0$ の開近傍 $W_1\subset\mathfrak{m}$、$U_1\subset\mathfrak{h}$ があって $\Psi$ は $W_1\times U_1$ から $e$ の開近傍 $V$ への微分同相である。$\exp|_{\mathfrak{h}}$ は $H$ に値をとる滑らかな写像で、$0$ での微分は $\mathfrak{h}=T_eH$ の恒等写像なので、$U_1$ を小さくとり直せば $\exp(U_1)$ は $H$ の開集合である。$H$ は相対位相をもつので、$G$ の開集合 $O$ で $H\cap O=\exp(U_1)$ となるものがある。$\exp$ と積の連続性から、$0$ の開近傍 $W\subset W_0\cap W_1$ を、$X,X'\in W$ なら $\exp X\in V$ かつ $\exp(-X')\exp(X)\in O$ となるようにとる。
$X,X'\in W$、$h,h'\in H$ で $\exp(X)h=\exp(X')h'$ とすると、$k:=\exp(-X')\exp(X)=h'h^{-1}$ は $H\cap O=\exp(U_1)$ に属するので $k=\exp Y$（$Y\in U_1$）と書ける。すると $\Psi(X,0)=\exp X=\exp(X')\exp(Y)=\Psi(X',Y)$ で、$\Psi$ は $W_1\times U_1$ の上で単射なので $X=X'$、$Y=0$ であり、$k=e$ から $h=h'$ である。よって $\Phi$ は $W\times H$ の上で単射である。
段 3（座標）． 段 1・2 から、$\Omega:=\Phi(W\times H)=\exp(W)H$ は $G$ の開集合で、$\Phi\colon W\times H\to\Omega$ は微分同相である。$\sigma\colon W\to G/H$、$\sigma(X):=\exp(X)H$ とおく。$\sigma(X)=\sigma(X')$ なら $\exp X'=\exp(X)h$ となる $h\in H$ があり、$\Phi(X',e)=\Phi(X,h)$ から $X=X'$ なので、$\sigma$ は単射である。$W$ の開集合 $W'$ について $\pi^{-1}(\sigma(W'))=\Phi(W'\times H)$ は開集合なので $\sigma(W')$ は開集合であり、$\sigma$ は連続（$\pi\circ\exp$）で開な単射、つまり開集合 $\sigma(W)$ の上への同相写像である。$a\in G$ の左移動 $\tau_a(bH):=abH$ は $G/H$ の同相写像なので（prop-hom-quotient-topology の 1）、$\sigma_a:=\tau_a\circ\sigma$ も開集合 $a\sigma(W)$ の上への同相写像で、これらの像は $G/H$ を覆う。
座標変換を調べる。$\sigma_a(X)=\sigma_b(X')$ は $b^{-1}a\exp(X)\in\exp(X')H$、すなわち $\Phi^{-1}\bigl(b^{-1}a\exp X\bigr)=(X',h)$（ある $h\in H$）と同値である。したがって $\sigma_b^{-1}\circ\sigma_a$ は $X\mapsto\mathrm{pr}_1\Phi^{-1}(b^{-1}a\exp X)$ であり、滑らかな写像の合成なので滑らかである。prop-hom-quotient-topology の 2・3 から $G/H$ は Hausdorff かつ第 2 可算なので、$\{(a\sigma(W),\sigma_a^{-1})\}$ を座標近傍系として $G/H$ は $\dim\mathfrak{m}=\dim G-\dim H$ 次元の滑らかな多様体になる。
段 4（沈め込み・切断・作用）． $\pi^{-1}(a\sigma(W))=a\Omega$ の上で、$\sigma_a^{-1}\circ\pi\bigl(a\Phi(X,h)\bigr)=X$ である。座標 $a\Phi(X,h)\leftrightarrow(X,h)$ で見ると $\pi$ は射影 $(X,h)\mapsto X$ なので、$\pi$ は滑らかな沈め込みである。$s_a(\sigma_a(X)):=a\exp X$ は $a\sigma(W)$ の上の滑らかな局所切断である。作用については、$(g,\sigma_a(X))$ を $g\cdot\sigma_a(X)=\sigma_{ga}(X)$ に送る写像を $b\sigma(W)$ の座標で書くと $(g,X)\mapsto\mathrm{pr}_1\Phi^{-1}(b^{-1}ga\exp X)$ で、$(g,X)$ について滑らかである。
段 5（一意性）． 写像 $F\colon G/H\to N$ について、$F\circ\pi$ が滑らかなら、局所切断を使って局所的に $F=(F\circ\pi)\circ s_a$ と書けるので $F$ は滑らかである。$G/H$ の別の滑らかな構造で $\pi$ が滑らかな沈め込みになるものがあれば、その構造についても沈め込みの局所切断がある（Lee13 Theorem 4.26、p. 88）。恒等写像に両方向からこの議論を当てはめると、2 つの構造の間の恒等写像は両方向に滑らかである。$\square$

段 1（$H$ は閉）． 軌道写像 $\theta_p\colon G\to M$、$\theta_p(g):=g\cdot p$ は連続で、$M$ は Hausdorff なので 1 点 $\{p\}$ は閉集合である。$H=\theta_p^{-1}(p)$ は閉集合である。thm-hom-coset-manifold により $G/H$ は多様体である。
段 2（同変な全単射）． $F$ が well-defined で $F(g'gH)=g'\cdot F(gH)$ をみたす全単射であることは、群の作用 の系「推移的な作用と剰余類」である。
段 3（滑らかさ）． $F\circ\pi=\theta_p$ は滑らかである。thm-hom-coset-manifold の局所切断 $s$ を使えば局所的に $F=\theta_p\circ s$ なので、$F$ は滑らかである。
段 4（階数は一定）． $g\in G$ の $G/H$ への作用を $\tau_g$、$M$ への作用を $\ell_g$ とすると、どちらも微分同相写像で、$F\circ\tau_g=\ell_g\circ F$ である。$eH$ で微分すると $dF_{gH}\circ(d\tau_g)_{eH}=(d\ell_g)_p\circ dF_{eH}$ で、$(d\tau_g)_{eH}$、$(d\ell_g)_p$ は同型なので、$dF_{gH}$ の階数は $dF_{eH}$ の階数 $r$ に等しい。
段 5（はめ込み）． $m:=\dim G/H$ とする。階数一定の写像の標準形（Lee13 Theorem 4.12、p. 81）により、各点のまわりの座標で $F$ は $(x^1,\dots,x^m)\mapsto(x^1,\dots,x^r,0,\dots,0)$ と書ける。$r< m$ なら $x^m$ だけが異なる 2 点の像が一致して $F$ の単射性に反するので、$r=m$ であり、$F$ ははめ込みで、$m\le\dim M$ である。
段 6（次元の一致）． $m<\dim M$ なら、$G/H$ は第 2 可算な多様体なので $F(G/H)$ は $M$ の測度 $0$ の集合である（Lee13 Corollary 6.11、p. 131）。ところが $F$ は全射で、$M$ は測度 $0$ でないので矛盾する。よって $m=\dim M$ で、$dF$ は各点で同型である。逆写像定理から $F$ は局所微分同相で、全単射なので逆写像も滑らかであり、$F$ は微分同相写像である。$\square$

1．等長写像 $\varphi$ は Levi-Civita 接続を保つ（Lee18 Proposition 5.13、p. 125）。曲率テンソルとスカラー曲率は Levi-Civita 接続と計量から作られるので、$\varphi$ はこれらも保つ。よってスカラー曲率 $S$ について $S\circ\varphi=S$ である。等長写像は任意の点を任意の点に移すので $S$ は定数である。
2．$p\in M$ を固定する。指数写像の定義域 $\mathcal{E}$ は $TM$ の開集合で零切断を含む（Lee18 Proposition 5.19、p. 128）ので、$\varepsilon>0$ を、$|v|<\varepsilon$ の $v\in T_pM$ がすべて $\mathcal{E}$ に入るようにとれる。$v$ を単位ベクトルとすると、$p$ から速度 $v$ で出る測地線 $\gamma_v$ は $\gamma_v(t)=\gamma_{tv}(1)$ なので $|t|<\varepsilon$ で定義される。点 $q$ に対し $\varphi(p)=q$ となる等長写像 $\varphi$ をとると、$\varphi$ は測地線を測地線に移し（Lee18 Proposition 5.20、p. 130）、$d\varphi_p$ は単位ベクトルを単位ベクトルに移すので、$q$ から出る単位速さの測地線もすべて $|t|<\varepsilon$ で定義される。単位速さの極大な測地線 $\gamma\colon(a,b)\to M$ で $b<\infty$ のものがあったとすると、$t_0:=b-\varepsilon/2$ での位置と速度から出る測地線は $|t|<\varepsilon$ で定義され、一意性により $\gamma(t_0+t)$ と一致するので、$\gamma$ は $b+\varepsilon/2$ まで延長でき、極大性に反する。$a>-\infty$ の場合も同様である。速さ $c>0$ の測地線は単位速さの測地線を $t\mapsto ct$ で径数変換したものであり、速さ $0$ の測地線は定値写像なので、すべての測地線が $\mathbb{R}$ 全体に延長できる。$\square$