Fordの円

$q=0$ なら $p=\pm1$ で、右辺は $\{\operatorname{Im}z\ge1\}$ である。$q\ne0$ なら $v$ を $-v$ に替えて $q\ge1$ としてよい。$z=x+iy$（$y>0$）とすると、$y\ge q^2\lvert z-p/q\rvert^2$ は
$$ \Bigl(x-\frac pq\Bigr)^2+\Bigl(y-\frac1{2q^2}\Bigr)^2\le\frac1{4q^4} $$
と同値であり、これは $z$ が $C(p/q)$ の囲む閉円板に入ることを表す。$y>0$ により接点 $p/q$ は除かれる。$\square$

$\gamma\tilde z=\binom{az+b}{cz+d}=(cz+d)\,\widetilde{\gamma z}$ なので、$\gamma v=\binom{p'}{q'}$ とおくと
$$ p'-q'\gamma z=\det\bigl(\gamma v,\widetilde{\gamma z}\bigr)=\frac{\det(\gamma v,\gamma\tilde z)}{cz+d}=\frac{\det\gamma\cdot\det(v,\tilde z)}{cz+d}=\frac{p-qz}{cz+d} $$
である。これと虚部の式を合わせると
$$ \operatorname{Im}(\gamma z)-\lvert q'\gamma z-p'\rvert^2=\frac{\operatorname{Im}z-\lvert qz-p\rvert^2}{\lvert cz+d\rvert^2} $$
となる。lem-ford-disc-equation により $z\in B(r)$ と $\gamma z\in B(\gamma r)$ は同値であり、$z\mapsto\gamma z$ は $\mathfrak H$ の全単射なので $\gamma(B(r))=B(\gamma r)$ である。
推移性：既約分数 $p/q$ について、Bézoutの等式 により $pd-qb=1$ となる整数 $b,d$ があり、$\gamma=\begin{pmatrix}p&b\\q&d\end{pmatrix}\in\operatorname{SL}_2(\mathbb Z)$ は $\gamma(B(\infty))=B(p/q)$ を満たす。固定部分群：$\gamma(B(\infty))=B(\infty)$ は $\gamma\binom10=\pm\binom10$、すなわち $a=\pm1$、$c=0$ と同値で、このとき $ad=1$ から $d=a$ である。逆にこの形の元は $z\mapsto z+n$ で、$B(\infty)$ を保つ。$\square$

まず $r_1=\infty$、$v_1=\binom10$ の場合を示す。$r_2=p'/q'$（$q'\ge1$）で、$\lvert\det(v_1,v_2)\rvert=q'$ である。$B(p'/q')$ の点の虚部は最大でも $1/q'^2$ で、それに達するのは最上点 $\frac{p'}{q'}+\frac{i}{q'^2}$ だけである。$q'\ge2$ なら虚部は $\frac14$ 以下なので $B(\infty)$ と交わらない。$q'=1$ なら $B(\infty)$ との共通部分はちょうど 1 点 $p'+i$ で、内部どうしは交わらない。
一般の場合、thm-ford-action の証明のように $\gamma\binom10=v_1$ となる $\gamma\in\operatorname{SL}_2(\mathbb Z)$ をとる。$w:=\gamma^{-1}v_2$ とおくと、$\gamma$ は $\mathfrak H$ の同相写像で、$B(\infty)$ と $B(\gamma^{-1}r_2)$ を $B(r_1)$ と $B(r_2)$ に移す。$\det\gamma=1$ より $\det\bigl(\tbinom10,w\bigr)=\det(\gamma\tbinom10,\gamma w)=\det(v_1,v_2)$ なので、前半の場合に帰着する。$\square$

$E(r_1,r_2)$ は、$r_1,r_2$ を通り複素共役 $z\mapsto\bar z$ で自分に移る円または直線のうち実軸 $\mathbb R\cup\{\infty\}$ 以外のものの、$\mathfrak H$ に入る部分である（共役で保たれる円は中心が実軸上にあり、$r_1,r_2$ を通るならそれを直径の両端とする）。$\gamma\in\operatorname{SL}_2(\mathbb Z)$ の係数は実数なので $\gamma(\bar z)=\overline{\gamma z}$ であり、Möbius 変換は円と直線の全体を自分に移す（Möbius変換 の定理「円は円に移る」）。したがって $\gamma$ は、$r_1,r_2$ を通り共役で保たれる円または直線を、$\gamma r_1,\gamma r_2$ を通り共役で保たれる円または直線に移す。$\gamma$ は実軸 $\mathbb R\cup\{\infty\}$ を自分に移すので、実軸以外のものは実軸以外のものに移る。$\gamma$ は $\mathfrak H$ を保つので $\gamma(E(r_1,r_2))=E(\gamma r_1,\gamma r_2)$ であり、$\lvert\det(\gamma v_1,\gamma v_2)\rvert=\lvert\det(v_1,v_2)\rvert$ なので右辺も Farey の弧である。逆に Farey の隣接 $r_1,r_2$ を表す原始ベクトルを、必要なら $v_2$ の符号を替えて $\det(v_1,v_2)=1$ ととると、$\gamma:=(v_1\ v_2)\in\operatorname{SL}_2(\mathbb Z)$ は $\gamma\infty=r_1$、$\gamma0=r_2$ を満たし、$E(r_1,r_2)=\gamma(E(\infty,0))$ である。
2。$C(\infty)$ と $C(0/1)$ の接点は $i$ で、虚軸の上にある。1 の $\gamma$ は thm-ford-action により $B(\infty),B(0)$ を $B(r_1),B(r_2)$ に移すので、接点 $i$ を $C(r_1)$ と $C(r_2)$ の接点 $\gamma i$ に移し、$\gamma i\in\gamma(E(\infty,0))=E(r_1,r_2)$ である。$\square$

どちらも成り立たないとすると、$x-\frac pq\ge\frac1{2q^2}$ かつ $\frac rs-x\ge\frac1{2s^2}$ である。足すと、$\frac rs-\frac pq=\frac{qr-ps}{qs}=\frac1{qs}$ から
$$ 0\ge\frac1{2q^2}+\frac1{2s^2}-\frac1{qs}=\frac12\Bigl(\frac1q-\frac1s\Bigr)^2\ge0 $$
となるので、すべて等号である。よって $q=s$ で、$qr-ps=q(r-p)=1$ から $q=s=1$ であり、$x-p=\frac12$ となって $x$ が有理数になり、矛盾する。$\square$

$m:=\lfloor x\rfloor$ とおき、$x-m\in(0,1)$ に対して示せば、平行移動で分母は変わらないので $x$ に対しても成り立つ。そこで $0< x< 1$ とする。正の整数 $n$ をとる。$x$ は無理数なので、$F_n$ の隣り合う 2 項 $\frac pq<\frac rs$ で $\frac pq< x<\frac rs$ となるものがある。Farey数列（高校数学） の定理「隣り合う 2 項のたすき掛け」により $qr-ps=1$、定理「中間の分数による挿入」の (1) により $q+s>n$ である（HW60 Theorems 28・30）。lem-ford-neighbors により、$\frac pq,\frac rs$ の一方 $\frac ab$ は $\lvert x-\frac ab\rvert<\frac1{2b^2}$ を満たす。さらに
$$ \Bigl\lvert x-\frac ab\Bigr\rvert<\frac rs-\frac pq=\frac1{qs}\le\frac1{\max(q,s)}<\frac2n $$
である（$q+s>n$ から $\max(q,s)>n/2$）。$x$ は無理数なので $\lvert x-\frac ab\rvert>0$ であり、$n\to\infty$ のとき $\lvert x-\frac ab\rvert\to0$ となる。よって得られる分数は無限に多くの異なる値をとる。$\square$