Apolloniusの円

方針：直線 $AB$ を数直線とみて、$A=0$、$B=b$（$b>0$）とし、$D$、$E$、$O$、$r$ を $k$ と $b$ で書く。
段 1（$D$ と $E$）。内分点・外分点の公式（内分点・外分点の座標）により
$$ D=\frac{1\cdot0+k\cdot b}{k+1}=\frac{kb}{k+1},\qquad E=\frac{-1\cdot0+k\cdot b}{k-1}=\frac{kb}{k-1} $$
である。
段 2（$O$ と $r$）。
$$ O=\frac{D+E}2=\frac{kb}2\left(\frac1{k+1}+\frac1{k-1}\right)=\frac{kb}2\cdot\frac{2k}{k^2-1}=\frac{k^2b}{k^2-1} $$
$$ r=\frac{|E-D|}2=\frac{kb}2\left|\frac1{k-1}-\frac1{k+1}\right|=\frac{kb}2\cdot\frac{2}{|k^2-1|}=\frac{kb}{|k^2-1|} $$
である。
段 3（$OA$ と $OB$）。$OA=|O-0|=\dfrac{k^2b}{|k^2-1|}=k\,r$ である。また $O-b=\dfrac{k^2b-(k^2-1)b}{k^2-1}=\dfrac b{k^2-1}$ なので $OB=\dfrac b{|k^2-1|}=\dfrac rk$ である。掛けると $OA\cdot OB=k\,r\cdot\dfrac rk=r^2$ である。
段 4（位置）。$O-0=\dfrac{k^2b}{k^2-1}$ と $O-b=\dfrac b{k^2-1}$ は同じ符号（$k^2-1$ の符号）をもつので、$A$ と $B$ は $O$ から見て同じ向きにあり、$O$ は線分 $AB$ の外にある。$k>1$ なら $O>b>0$ で $O$ は $B$ の側にあり、$OB=\dfrac rk< r$ なので $B$ は円の内部、$OA=kr>r$ なので $A$ は円の外部にある。$k<1$ なら不等号が逆になる。$\square$

方針：反転の定義「$O$ を端とする半直線の上で $OA\cdot OB=r^2$」を確かめる。
prop-apo-center により、$A$、$B$ は $O$ を端とする同じ半直線の上にあり、$OA\cdot OB=r^2$ である。これは、中心 $O$、半径 $r$ の円に関する反転（円に関する反転）で $A$ が $B$ に移ることの定義そのものである。$\square$

方針：$\Gamma_k$ の点 $P$ が直線 $AB$ の外にあれば、$PD$、$PE$ は角 $APB$ の内角・外角の二等分線になり、$\angle DPE=90^\circ$ となる。逆向きは prop-apo-center の $OA:OP=OP:OB$ から相似な三角形を作る。$\Gamma$ で直径 $DE$ の円を表す。
段 1（直線 $AB$ の上の点）。$P$ が直線 $AB$ の上にあって $PA=kPB$ を満たすとする。$P=B$ なら $PA=AB>0$、$PB=0$ で成り立たないので $P\ne B$ であり、$P$ は線分 $AB$ を $k:1$ に内分または外分する。内分点・外分点はただ 1 つなので $P=D$ または $P=E$ である。逆に $D$、$E$ は $\Gamma_k$ の点で、$\Gamma$ の直径の両端なので $\Gamma$ の上にもある。直線 $AB$ は $\Gamma$ の中心 $O$ を通るので、$\Gamma$ と直線 $AB$ の共有点は $D$、$E$ だけである。よって、直線 $AB$ の上では $\Gamma_k$ と $\Gamma$ は一致する。
段 2（$\Gamma_k$ の点は $\Gamma$ の上）。$P$ が直線 $AB$ の外にあって $PA=kPB$ を満たすとする。三角形 $PAB$ で、$D$ は辺 $AB$ の上にあって $AD:DB=k:1=PA:PB$ を満たす。角の二等分線の定理 の逆により、$PD$ は角 $APB$ の内角の二等分線である。$E$ は直線 $AB$ の上で線分 $AB$ の外にあって $AE:EB=k:1=PA:PB$ を満たすので、同じ記事の外角の二等分線の定理の逆により、$PE$ は角 $APB$ の外角の二等分線である。内角の二等分線と外角の二等分線は垂直なので $\angle DPE=90^\circ$ であり、直径に対する円周角の逆（直径に対する円周角）により $P$ は $DE$ を直径とする円 $\Gamma$ の上にある。
段 3（$\Gamma$ の点は $\Gamma_k$ に入る）。$P$ が $\Gamma$ の上にあって $D$、$E$ と異なるとする。段 1 より $P$ は直線 $AB$ の上にない。$OP=r$ なので、prop-apo-center から
$$ \frac{OA}{OP}=\frac{kr}r=k,\qquad \frac{OP}{OB}=\frac r{r/k}=k $$
である。$A$、$B$ は $O$ から見て同じ向きにあるので $\angle AOP=\angle POB$ である。よって三角形 $OAP$ と三角形 $OPB$ は、2 組の辺の比 $OA:OP=OP:OB=k:1$ とその間の角が等しいので相似で、相似比は $k$ である（$O\leftrightarrow O$、$A\leftrightarrow P$、$P\leftrightarrow B$ が対応する）。対応する辺 $AP$ と $PB$ について $AP=k\cdot PB$ であり、$P$ は $\Gamma_k$ に入る。
段 4（まとめ）。段 1〜3 により $\Gamma_k=\Gamma$ である。$\square$

方針：prf-apo-main の段 3 は、$OA:OP=OP:OB$ と $A$、$B$ が同じ向きにあることしか使っていない。
$k=\dfrac{OA}r$ とおく。$OA\cdot OB=r^2$ から $\dfrac{OP}{OB}=\dfrac r{OB}=\dfrac{OA}r=k$ である（$P$ は $\Gamma$ の点で $OP=r$）。$P$ が直線 $OA$ の上になければ、prf-apo-main の段 3 と同じく三角形 $OAP$ と $OPB$ が相似比 $k$ で相似になり、$PA=kPB$ である。$P$ が直線 $OA$ の上にあるとき（2 点）は、$O$ を $0$、$A$ を $a>0$ とする数直線で $B=\dfrac{r^2}a$、$P=\pm r$ として直接計算すると $\dfrac{|a\mp r|}{|r^2/a\mp r|}=\dfrac{a|a\mp r|}{r|r\mp a|}=\dfrac ar=k$ である。$A\ne B$ なので $a\ne r$ で、分母は $0$ にならない。
以上で $\Gamma$ の点はすべて $\Gamma_k$ に入る。$a\ne r$ より $k\ne1$ なので、thm-apo-main により $\Gamma_k$ も円である。円 $\Gamma_k$ が円 $\Gamma$ の 3 点を含めば、3 点を通る円はただ 1 つなので $\Gamma_k=\Gamma$ である。$\square$

方針：ex-apo-start の計算を一般の $k$ で行う。2 と 4 は方程式の形から、3 は $c$ から $k$ を逆に求めて示す。
段 1（1）。$PA^2=k^2PB^2$ は $(x+1)^2+y^2=k^2\{(x-1)^2+y^2\}$ で、展開して移項すると
$$ (1-k^2)(x^2+y^2)+2(1+k^2)x+(1-k^2)=0 $$
である。$1-k^2\ne0$ で割ると $x^2+y^2-2c_kx+1=0$ となる。平方完成すると $(x-c_k)^2+y^2=c_k^2-1$ で、
$$ c_k^2-1=\frac{(k^2+1)^2-(k^2-1)^2}{(k^2-1)^2}=\frac{4k^2}{(k^2-1)^2}=\rho_k^2 $$
である。
段 2（2）。$P$ が $A$、$B$ と異なれば $PB>0$ で、$k=\dfrac{PA}{PB}$ はただ 1 つに決まり、$P$ はその $\Gamma_k$ の上にあり、ほかの $\Gamma_m$ の上にはない（$PA=mPB$ なら $m=k$）。$k=1$ のときは $\Gamma_1$ の上にある。よって比の違う 2 つの円は共有点をもたない。
段 3（3）。$c^2=1+\rho^2>1$ なので $|c|>1$ で、$\dfrac{c+1}{c-1}>0$ である。$k=\sqrt{\dfrac{c+1}{c-1}}$ とおくと $k>0$、$k\ne1$ で、$k^2(c-1)=c+1$ から $c=\dfrac{k^2+1}{k^2-1}=c_k$ である。1 により $\Gamma_k$ は中心 $(c_k,0)$、半径 $\sqrt{c_k^2-1}=\sqrt{c^2-1}=\rho$ の円で、与えられた円と一致する。
段 4（4）。2 つの円 $x^2+y^2-2c_kx+1=0$、$x^2+y^2-2c_mx+1=0$ の方程式を引くと $-2(c_k-c_m)x=0$ である。$k\ne m$ なら $c_k\ne c_m$ である（$c_k=1+\dfrac2{k^2-1}$ は、$k<1$ なら $-1$ より小さく、$k>1$ なら $1$ より大きく、どちらの範囲でも $k$ が増えると減る）。よって、根軸は $x=0$、つまり $y$ 軸である（根軸と根心）。$\square$

方針：$\Gamma_k$ の中心 $O$ の、円 $C$ に関する方べきを 2 通りに計算し、中心間の距離の 2 乗が 2 つの半径の 2 乗の和になることを示す。三平方の定理の逆で、交点での 2 本の半径が垂直になる。
段 1（記号）。$\Gamma_k$ の中心を $O$、半径を $r$、円 $C$ の中心を $Q$、半径を $\rho$ とする。
段 2（方べき）。prop-apo-center により $O$ は直線 $AB$ の上で線分 $AB$ の外にあり、$O\ne A$、$O\ne B$ である。直線 $AB$ と円 $C$ の共有点は $A$、$B$ だけで、直線上の円 $C$ の内部の点は線分 $AB$ の内部の点なので、$O$ は円 $C$ の外にある。方べきの定理（方べきの定理（高校数学））により $OA\cdot OB=OQ^2-\rho^2$ である。
段 3（中心の距離）。prop-apo-center により $OA\cdot OB=r^2$ なので、段 2 と合わせて
$$ OQ^2=r^2+\rho^2 $$
である。
段 4（2 点で交わる）。$r,\rho>0$ なので $(r-\rho)^2< r^2+\rho^2<(r+\rho)^2$、つまり $|r-\rho|< OQ< r+\rho$ である。2 つの円の中心間の距離が半径の差より大きく和より小さいので、2 つの円は 2 点で交わる（中心間の距離による 2 円の位置関係の判定。高校で習う事実として使い、証明しない）。
段 5（直交）。交点を $X$ とすると $OX=r$、$QX=\rho$ なので、$OX^2+QX^2=r^2+\rho^2=OQ^2$ である。三平方の定理の逆により $\angle OXQ=90^\circ$ で、2 本の半径 $OX$、$QX$ は垂直である。よって 2 つの円は $X$ で直交する。$\square$

方針：商の絶対値は絶対値の商であることを使う。
$z\ne\beta$ なら $|z-\beta|>0$ で、$|T(z)|=\dfrac{|z-\alpha|}{|z-\beta|}$ である。よって $|T(z)|=k$ は $|z-\alpha|=k|z-\beta|$、つまり $z$ と $\alpha$ の距離が $z$ と $\beta$ の距離の $k$ 倍であることと同値である。これは $z\in\Gamma_k$ の定義そのものである。$\square$

方針：1 次分数変換の差 $S(z)-S(w)$ を分数の引き算で計算し、$w=\alpha$、$w=\beta$ を入れて割る。
段 1（差の公式）。$cz+d\ne0$、$cw+d\ne0$ のとき
$$ S(z)-S(w)=\frac{(az+b)(cw+d)-(aw+b)(cz+d)}{(cz+d)(cw+d)} $$
で、分子を展開すると
$$ aczw+adz+bcw+bd-aczw-bcz-adw-bd=(ad-bc)(z-w) $$
である。よって $S(z)-S(w)=\dfrac{(ad-bc)(z-w)}{(cz+d)(cw+d)}$ である。
段 2（$w=\alpha$、$w=\beta$）。$S(\alpha)=\alpha$、$S(\beta)=\beta$ なので
$$ S(z)-\alpha=\frac{(ad-bc)(z-\alpha)}{(cz+d)(c\alpha+d)},\qquad S(z)-\beta=\frac{(ad-bc)(z-\beta)}{(cz+d)(c\beta+d)} $$
である。$ad-bc\ne0$、$z\ne\beta$ なので $S(z)-\beta\ne0$ である。
段 3（割る）。段 2 の 2 つの式を割ると $(ad-bc)$ と $(cz+d)$ が約分されて
$$ \frac{S(z)-\alpha}{S(z)-\beta}=\frac{c\beta+d}{c\alpha+d}\cdot\frac{z-\alpha}{z-\beta}=\lambda\cdot\frac{z-\alpha}{z-\beta} $$
である。
段 4（円の行き先）。$z\in\Gamma_k$ なら、prop-apo-mobius-image により $\left|\dfrac{z-\alpha}{z-\beta}\right|=k$ なので、段 3 から $\left|\dfrac{S(z)-\alpha}{S(z)-\beta}\right|=|\lambda|k$ である。再び prop-apo-mobius-image により $S(z)\in\Gamma_{|\lambda|k}$ である。$\square$