余次元

同義語：共次元codimension

概要

前提知識: Krull次元, 既約空間, スキーム

何を数えるか

平面内の曲線は「1 次元だけ小さい」、曲線上の点はさらに「1 次元だけ小さい」。この差を表す言葉が余次元（codimension）である。ただし、図形全体の次元から部分の次元を機械的に引くことが定義ではない。代数幾何学では、既約な閉集合を何段たどれば周囲の図形の成分に達するかを数える。有限次元の線形代数や滑らかな複素多様体で使う同じ語との関係も、成立条件を分けて述べる。

既約閉集合の余次元

位相空間 $X$ の空でない既約閉集合 $Y$ に対し、$Y$ から始まる既約閉集合の真の包含の鎖
$$ Y=Y_0\subsetneq Y_1\subsetneq\cdots\subsetneq Y_e\subset X $$
の長さ $e$ の上限を、$X$ における $Y$ の余次元といい、$\operatorname{codim}_X Y$ または $\operatorname{codim}(Y,X)$ と書く。値は $0,1,2,\ldots$ または $\infty$ である。$e=0$ の鎖も含める。$Y$ が $X$ の既約成分なら余次元は $0$ である。

ここでいう「次元」は通常の距離や面積の次元ではなく、閉集合の包含の鎖による Krull次元である。$X$ が可約でも定義は意味をもつ。たとえば $X$ に大きさの異なる既約成分があれば、小さい方の成分も余次元 $0$ になる。定義と、開いた部分に制限しても余次元が変わらない性質は Stacks Tag 02I0 にある。

場面	余次元を数えるもの	必要な条件
代数幾何学の既約閉集合 $Y\subset X$	$Y$ を始点とする既約閉集合の鎖	$Y$ が空でない既約閉集合
スキームの $Y$	$Y$ の生成点での局所環の次元	上の条件と、$X$ がスキーム
有限次元ベクトル空間の部分空間 $W\subset V$	商空間 $V/W$ の次元	$W$ が線形部分空間
複素多様体の部分多様体 $N\subset M$	複素座標の減る個数	$N$ が複素部分多様体

鎖の向きと基本例

鎖は $Y$ から大きい閉集合へ向かう。$k$ を体とし、$X=\mathbb A_k^2=\operatorname{Spec}k[x,y]$ とする。閉集合 $D=V(x)$ は直線であり、$P=V(x,y)$ はその原点である。$P\subsetneq D\subsetneq X$ は長さ $2$ の鎖なので、$P$ の余次元は少なくとも $2$ である。実際に $\dim X=2$ だから $\operatorname{codim}_X P=2$、$\operatorname{codim}_X D=1$ である。$D$ の中で $P$ を見ると $\operatorname{codim}_D P=1$ になる。「点の余次元」は点だけで決まらず、どの空間の中で数えるかによって変わる。

座標で切り出した部分空間

$X=\mathbb A_k^n$ とし、$1\le r\le n$ に対して $Y=V(x_1,\ldots,x_r)$ とおく。$Y\cong\mathbb A_k^{n-r}$ は既約で、
$$ Y=V(x_1,\ldots,x_r)\subsetneq V(x_1,\ldots,x_{r-1})\subsetneq\cdots\subsetneq V(x_1)\subsetneq X $$
は長さ $r$ の鎖である。したがって余次元は少なくとも $r$。$X$ と $Y$ は体上有限型の既約スキームなので、後述の次元差の公式から、正確に $\operatorname{codim}_X Y=n-(n-r)=r$ と分かる。$r=0$ なら $Y=X$ と置き、余次元は $0$ である。特に座標超平面は余次元 $1$、原点は余次元 $n$ である。

この例の $r$ は、独立な方程式 $x_1=\cdots=x_r=0$ の個数でもある。しかし任意の $r$ 個の方程式が余次元 $r$ の集合を定めるわけではない。$x=0$ と $x^2=0$ は別々の式でも、$\mathbb A_k^2$ で共通の零点集合は $V(x)$ のままで余次元 $1$ である。余次元は式の記載数でなく、得られた閉集合の鎖を数える。

開いた部分で計算してよい

開集合への制限

$Y\subset X$ を空でない既約閉集合、$U\subset X$ を開集合とし、$Y\cap U\ne\emptyset$ とする。このとき $Y\cap U$ は $U$ の既約閉集合であり、
$$ \operatorname{codim}_X Y=\operatorname{codim}_U(Y\cap U) $$
である。

既約集合の空でない開部分は稠密で既約である。したがって $Y\cap U$ は $U$ で既約閉集合になる。$Y$ を含む既約閉集合 $T\subset X$ は必ず $U$ と交わる。この $T$ に $T\cap U$ を対応させると、$Y\cap U$ を含む $U$ の既約閉集合が得られる。
逆に、$Y\cap U$ を含む $U$ の既約閉集合 $S$ の $X$ における閉包 $\overline S$ は既約であり、$Y=\overline{Y\cap U}\subset\overline S$ を満たす。$T\cap U$ の $X$ における閉包は $T$ であり、$\overline S\cap U=S$ だから、これらの対応は互いに逆である。包含関係も真の包含関係も保つ。よって $Y$ から始まる鎖と $Y\cap U$ から始まる鎖は長さを保って対応し、その上限が等しい。$\square$

この定理は、スキーム上で $Y$ の生成点を含むアフィン開集合を選んで計算できる理由になる。$Y$ と交わらない開集合へ制限すれば左辺に対応する集合がないので、$Y\cap U\ne\emptyset$ という条件は欠かせない。

スキームでは局所環の次元になる

スキーム $X$ の既約閉集合 $Y$ はただ1つの生成点 $\xi$ をもつ。$Y=\overline{\{\xi\}}$ である。$\mathcal O_{X,\xi}$ は $\xi$ の近くで定義された関数の芽からなる局所環で、その Krull次元は素イデアルの鎖の長さの上限である。鎖による幾何学的な定義は、この局所環の計算へ移せる。

生成点での局所環

$X$ をスキーム、$Y\subset X$ を空でない既約閉集合、$\xi$ を $Y$ の生成点とする。このとき
$$ \boxed{\operatorname{codim}_X Y=\dim\mathcal O_{X,\xi}} $$
である。$X$ が Noether スキームである必要はない。

$\xi$ を含むアフィン開集合 $U=\operatorname{Spec}A$ を取る。thm-codim-open により余次元は $U$ で計算できる。$Y\cap U=V(\mathfrak p)$ と書くと、$\xi$ は素イデアル $\mathfrak p$ に対応し、$\mathcal O_{X,\xi}=A_{\mathfrak p}$ である。
$V(\mathfrak p)$ を含む $U$ の既約閉集合は $V(\mathfrak q)$、$\mathfrak q\subseteq\mathfrak p$ の形である。包含はイデアルの包含を逆にするので、$V(\mathfrak p)$ から始まる長さ $e$ の鎖は
$$ \mathfrak q_0\subsetneq\mathfrak q_1\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak q_e=\mathfrak p $$
という素イデアルの鎖に対応する。$A_{\mathfrak p}$ の素イデアルは、ちょうど $\mathfrak p$ に含まれる $A$ の素イデアルから得られる。ゆえに両者の鎖の長さの上限は等しい。$\square$

アフィンの場合には $\operatorname{codim}_{\operatorname{Spec}A}V(\mathfrak p)=\operatorname{ht}(\mathfrak p)$ とも書く。ここで $\operatorname{ht}(\mathfrak p)$ は $\mathfrak p$ の高さである。この同一視は Stacks Tag 04MS の Lemma 28.10.3 と一致する。たとえば素イデアル $(x)$ の高さは $1$、$(x,y)$ の高さは $2$ なので、先の平面の例を局所環でも確かめられる。
この式には、閉点と生成点を区別する利点もある。$\operatorname{Spec}k[x,y]$ の点 $(x,y)$ は閉点で、その閉包は原点だけであり、局所環 $k[x,y]_{(x,y)}$ の次元は $2$ である。一方、素イデアル $(0)$ に対応する点は空間全体の生成点で、その閉包は $X$、局所環 $k(x,y)$ は体なので次元 $0$ である。「点 $\xi$ の余次元」という略記は、通常その閉包 $\overline{\{\xi\}}$ の余次元を指す。点集合としてはどちらも1点でも、Zariski 位相での閉包が違う。
閉部分スキームの余次元を考えるとき、その台集合の既約成分に対して鎖を数える。たとえば $V(x)$ と $V(x^2)$ はスキーム構造が異なるが、台集合は同じ直線で、周囲の $\mathbb A_k^2$ における余次元はいずれも $1$ である。余次元だけから重複度や冪零元の有無は分からない。

次元の差として書ける条件

よく用いられる式 $\operatorname{codim}_X Y=\dim X-\dim Y$ には条件がある。$X$ が体 $k$ 上有限型かつ既約のスキームで、$Y$ がその既約閉集合ならこの式は成立する。ここで両方の次元は Krull 次元であり、有限な整数である。理由は、体上有限型のスキームでは既約閉集合の鎖が catenary で、$X$ の最大鎖がすべて $\dim X$ の長さになり、$Y$ 以下の最大鎖と $Y$ 以上の鎖の長さを足せるためである（Stacks Tag 0A21、Lemma 33.20.3 の 1 と 4）。この深い次元論の部分はここでは証明せず、鎖と局所環による定義を基礎にする。

体上の既約有限型スキームでの次元差

$k$ を体、$X$ を $k$ 上有限型の既約スキーム、$Y\subset X$ を空でない既約閉集合とする。このとき
$$ \operatorname{codim}_X Y=\dim X-\dim Y. $$
特に $Y$ が $X$ の中で余次元 $1$ であることは、$\dim Y=\dim X-1$ と同値である。

Stacks Tag 0A21 の Lemma 33.20.3 を基礎境界として使う。この補題により、$X$ の既約閉集合の任意の極大鎖は長さ $\dim X$ をもち、体上有限型の空間は catenary である。$Y$ から上へ伸ばした極大鎖の長さは $\operatorname{codim}_X Y$、$Y$ の中の極大鎖の長さは $\dim Y$ である。二つの鎖を $Y$ でつなぐと $X$ の極大鎖になり、その長さは和 $\dim Y+\operatorname{codim}_X Y$ となる。したがってこの和は $\dim X$ に等しい。$\square$

この証明では、体上有限型という仮定が鎖の長さをそろえている。一般の位相空間や任意のスキームでは、異なる極大鎖の長さが一致するとは限らず、$\dim X-\dim Y$ を定義の代わりにはできない。また $\dim X$ が無限なら、その差という書き方自体が意味を失うことがある。

中間の既約閉集合を通る

$X$ が既約かつ catenary で、$Y\subset Z\subset X$ が空でない既約閉集合なら、
$$ \operatorname{codim}_X Y =\operatorname{codim}_Z Y+\operatorname{codim}_X Z. $$
たとえば原点 $P\subset D=V(x)\subset\mathbb A_k^2$ では $2=1+1$ である。

$Y$ から $Z$ までの極大鎖と、$Z$ から $X$ までの極大鎖を取る。二つをつないだ鎖は $Y$ から $X$ までの極大鎖である。途中に集合を挿入できるなら、元の二つのどちらかも極大ではないからである。catenary 性により、各極大鎖の長さは対応する余次元に等しい。つないだ鎖の長さは二つの長さの和なので、式が従う。$\square$

catenary という条件は、二つの既約閉集合の間でどの極大鎖を選んでも長さがそろうことを保証する。$X$ が可約だと $Y$ を含む別の既約成分へ向かう鎖もあるので、この式のままでは扱えない。$X$ が既約でも catenary でなければ、二つの鎖をつなげることから右辺は左辺以下だが、等号は無条件には主張できない。体上有限型のスキームでは catenary 性が成り立つ（Stacks Tag 02I0、Lemma 5.11.6 と Tag 0A21）。

次元の差だけでは誤る例

$X=V(xy,xz)\subset\mathbb A_k^3$ とおく。集合として
$$ X=V(x)\cup V(y,z) $$
で、$V(x)$ は2次元の平面、$Y=V(y,z)$ は1次元の直線である。$Y$ は $X$ の既約成分だから $\operatorname{codim}_X Y=0$。一方、$\dim X=2$、$\dim Y=1$ なので $\dim X-\dim Y=1$ となる。$X$ が既約でないという条件の違いが、二つの値を分けている。

閉集合が可約なとき

def-codim-chain は既約閉集合に対するものなので、可約な閉集合 $Z$ に「余次元 $r$」と言う際には、何を意味するか確かめる必要がある。たとえば $Z$ の各既約成分がすべて余次元 $r$ であるなら、純余次元 $r$ と明記できる。成分によって余次元が異なるときは、成分ごとの値を列挙する方が明確である。
たとえば $\mathbb A_k^2$ の $Z=V(x)\cup V(x-1,y)$ は、直線 $V(x)$ とその外の1点 $V(x-1,y)$ の和である。前者は余次元 $1$、後者は余次元 $2$ であり、$Z$ は純余次元ではない。$Z$ 全体の余次元を単一の数とみなす流儀では、成分の余次元の最小値を使う場合などがあるが、ここではその流儀を既約閉集合の定義と混同しない。

線形代数と複素多様体での用法

有限次元ベクトル空間 $V$ の部分空間 $W$ については、$\dim(V/W)$ を $W$ の $V$ における余次元と呼ぶ。これはベクトルを $W$ の方向と、それ以外の独立な方向に分けたとき、後者が何個あるかを表す。$\dim V=n$、$\dim W=m$ なら $\operatorname{codim}_V W=n-m$ である。$W$ の中に取った基底を $V$ の基底へ拡張すると、追加した $n-m$ 本の像が $V/W$ の基底になるためである。

線形写像の核の余次元

有限次元ベクトル空間 $V,U$ と線形写像 $f\colon V\to U$ に対して、
$$ \operatorname{codim}_V(\ker f)=\dim\operatorname{im}f. $$
特に $f\colon V\to k$ が非零の線形形式なら、$\ker f$ は余次元 $1$ の超平面である。零写像の核は $V$ 全体で、余次元 $0$ である。

$\ker f$ の基底 $v_1,\ldots,v_r$ を $V$ の基底 $v_1,\ldots,v_r,w_1,\ldots,w_s$ に延長する。商空間 $V/\ker f$ では $w_1,\ldots,w_s$ の剰余類が基底なので、核の余次元は $s$ である。$f(w_1),\ldots,f(w_s)$ は $\operatorname{im}f$ を張る。もしこれらに線形関係があれば、その係数で作った $w_i$ の線形結合が核に入り、もとの基底の一次独立性に反する。したがって像の次元も $s$ である。$U=k$ のとき非零写像の像は $k$ なので $s=1$。$\square$

複素多様体 $M$ の複素次元が $d$、複素部分多様体 $N$ の複素次元が $d-r$ なら、$N$ の複素余次元は $r$ である。局所的には複素座標を取り直して $N$ を $z_1=\cdots=z_r=0$ の形にできる。これを実多様体として見ると、各複素座標は実座標2個なので実余次元は $2r$ になる。複素曲面内の複素曲線は複素余次元 $1$、実余次元 $2$ である。通常の Euclid 位相で既約閉集合の鎖を数えた値としてこの複素余次元を定義するのではない。

対象と周囲	余次元	数え方
$\mathbb A_k^3$ の $V(x)$	$1$	素イデアル $(x)$ の高さ
$\mathbb A_k^3$ の $V(x,y)$	$2$	$(0)\subsetneq(x)\subsetneq(x,y)$
$k^3$ の部分空間 $\{(0,0,z):z\in k\}$	$2$	商ベクトル空間の次元
$\mathbb C^2$ の複素直線 $z_1=0$	複素 $1$、実 $2$	局所複素座標と実座標

余次元1が現れる所

スキームで余次元 $1$ の既約閉集合は、因子の理論で基本的な役割をもつ。Weil因子は、そのような閉集合を整数係数で形式的に足したものである。体上有限型の既約な $X$ では、その部分集合が余次元 $1$ かどうかを prop-codim-difference で判定できる。一方、Cartier因子は局所的な方程式から出発する概念であり、任意のスキーム上でこの二つを無条件に同一視しない。
余次元 $2$ 以上の部分集合を除いた開集合から関数や幾何学的データを延長できるか、という問いにも余次元が現れる。ただし「余次元 $2$ 以上なら必ず延長できる」という主張は条件抜きには成り立たない。Riemannの拡張定理や純性の定理では、対象の正規性や局所的な性質をそれぞれの主張の仮定として確認する必要がある。

反例：仮定を外すと崩れること

余次元の計算公式は、それぞれ「既約」「体上有限型」「catenary」「有限次元」などの仮定の上に立つ。仮定を一つ外すと式が崩れる反例を並べる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
$X$ が既約（prop-codim-difference）	$X=V(xy,xz)\subset\mathbb A_k^3$、$Y=V(y,z)$	$\operatorname{codim}_XY=\dim X-\dim Y$
体上有限型（prop-codim-difference）	離散付値環 $R$ 上の $X=\operatorname{Spec}R[t]$、$Y=V(\pi t-1)$	$\operatorname{codim}_XY=\dim X-\dim Y$
catenary（prop-codim-add）	5 点の有限位相空間（下の構成）	$\operatorname{codim}_XY=\operatorname{codim}_ZY+\operatorname{codim}_XZ$
有限次元（線形代数の $n-m$）	$V=k[x]$、$W=xk[x]$	余次元 $=\dim V-\dim W$
方程式が「独立」	$\mathbb A_k^2$ の $x=0$ と $x^2=0$	$r$ 個の方程式の零点は余次元 $r$

各行の確認は次のとおりである。

既約を外す：ex-codim-reducible のとおり、$Y$ は $X$ の既約成分なので $\operatorname{codim}_XY=0$ だが、$\dim X-\dim Y=2-1=1$ である。
体上有限型を外す：$R$ を一意化元 $\pi$ と商体 $K$ をもつ離散付値環とする。$R[t]/(\pi t-1)\cong R[1/\pi]=K$ は体なので、$(\pi t-1)$ は極大イデアルで、$Y=V(\pi t-1)$ は一点からなり $\dim Y=0$ である。$\pi t-1$ は一次で係数 $\pi,-1$ の最大公約元が $1$ なので $R[t]$（UFD）の既約元、従って素元である。零でない単項素イデアルの高さは Krull の単項イデアル定理により $1$ なので、thm-codim-local から $\operatorname{codim}_XY=1$ である。他方 $R$ は Noether で $\dim R=1$ なので $\dim R[t]=2$。よって $\dim X-\dim Y=2\ne1$ となる。$R$ 上の閉点 $(\pi,t)$ は高さ $2$ で、同じ $X$ の中に高さの違う閉点が並ぶ。体上有限型なら閉点はすべて同じ高さ $\dim X$ をもつ、という性質がここで破れている。
catenary を外す：5 点の集合 $X=\{\eta,a,b,d,c\}$ に、点の閉包が
$\overline{\{c\}}=\{c\}$、$\overline{\{b\}}=\{b,c\}$、$\overline{\{a\}}=\{a,b,c\}$、$\overline{\{d\}}=\{d,c\}$、$\overline{\{\eta\}}=X$
となる位相を入れる（これらの閉包の和集合を閉集合とする）。有限 $T_0$ 空間の既約閉集合は一点の閉包なので、$X$ は既約である。$Y=\{c\}$、$Z=\overline{\{d\}}$ とすると、$Z$ と $X$ の間に既約閉集合はなく（$d$ を閉包に含む点は $d,\eta$ だけ）$\operatorname{codim}_XZ=1$、$\operatorname{codim}_ZY=1$ である。一方 $\{c\}\subsetneq\{b,c\}\subsetneq\{a,b,c\}\subsetneq X$ は長さ $3$ の鎖なので $\operatorname{codim}_XY=3\ne1+1$ である。$\{c\}$ から $X$ への極大鎖に長さ $2$ と $3$ のものがあり、catenary でない。
有限次元を外す：$W=xk[x]$（定数項が零の多項式）について $V/W\cong k$（定数項を取る写像の核が $W$）なので $\operatorname{codim}_VW=1$ だが、$\dim V=\dim W=\infty$ で差 $\infty-\infty$ は意味をもたない。有限次元の仮定は、基底の延長で「$n-m$」を数える段で使った。
方程式の独立性を外す：$x=0$ と $x^2=0$ の二式の零点は $V(x)$ で、余次元は $1$ であり $2$ ではない。Noether スキームでは、Krull の高さ定理から言えるのは「$r$ 個の式で定まる空でない閉集合の各既約成分の余次元は $r$ 以下」までである。