三角形分割可能な多様体

$K$ は局所有限なので、各単体を含む単体は有限個であり、その中で包含について極大なものがある。したがって、極大な単体（ほかの単体の真の面でないもの）の次元がすべて $n$ であることを示せばよい。$\sigma$ を極大な $k$ 単体とする。$\sigma$ を含む単体は $\sigma$ だけなので、$\sigma$ の頂点の開星状近傍の共通部分 $\bigcap_{v\in\sigma}\operatorname{st}v$（台が $\sigma$ のすべての頂点を含む点の全体）は $\sigma$ の内部 $\operatorname{int}\sigma$ に等しく、単体近似定理の補題「星状近傍の基本性質」の (i) により $|K|$ の開集合である。$\operatorname{int}\sigma$ は $\sigma$ の張る $k$ 次元アフィン空間 $\cong\mathbb{R}^k$ の空でない開集合である。一方、$h(\operatorname{int}\sigma)$ は $M$ の空でない開集合なので、その点のまわりの座標近傍と交わらせると、$\mathbb{R}^k$ の空でない開集合で $\mathbb{R}^n$ の空でない開集合と同相なものが得られる。領域不変性の定理「次元の一意性」により $k=n$ である。$\square$

$q\colon\Gamma\times[0,1]\to X$、$q(y,t):=(1-t)x+ty$ は連続な全射で、コンパクト空間から Hausdorff 空間への写像なので閉写像、したがって商写像である。錐の条件により、$q$ で同じ点に写る 2 点は $\Gamma\times\{0\}$ の点どうしに限る。$\Gamma\times(0,1]$ は $q$ で飽和した開集合なので、$q$ はそこから $X\setminus\{x\}$ への同相写像を与える。よって $X\setminus\{x\}\cong\Gamma\times(0,1]$ は $\Gamma\cong\Gamma\times\{1\}$ に強変位レトラクトし、ホモトピー同値なので $\tilde H_*(X\setminus\{x\})\cong\tilde H_*(\Gamma)$ である。また $H(z,s):=(1-s)z+sx$ は $X$ の中で $\mathrm{id}_X$ と定値写像を結ぶ（$z=(1-t)x+ty$ なら $H(z,s)=(1-(1-s)t)x+(1-s)ty\in X$）ので、$X$ は可縮空間である。被約ホモロジーの対の長完全列（相対ホモロジーと長完全列の記事の命題「被約ホモロジーの対の長完全列」）で $\tilde H_*(X)=0$ を使うと、$H_i(X,X\setminus\{x\})\cong\tilde H_{i-1}(X\setminus\{x\})\cong\tilde H_{i-1}(\Gamma)$ である。$\square$

$v$ は $M\cong|K|$ の点なので、座標近傍と切除定理の記事の定理「Euclid 空間の局所ホモロジーと次元の不変性」により $H_i(|K|,|K|\setminus\{v\})$ は $i=n$ で $\mathbb{Z}$、それ以外で $0$ である。上の注意と lem-tri-cone（$\Gamma=|\operatorname{Lk}(v,K)|$ は prop-tri-pure により空でない）により、これは $\tilde H_{i-1}(|\operatorname{Lk}(v,K)|)$ に等しい。$j=i-1$ とおけばよい。$\square$

$(K,h)$ を三角形分割とする。
$n=1$ の場合．prop-tri-pure により $K$ の単体は頂点と辺で、各頂点 $v$ のリンクは $v$ を端点とする辺の他方の端点の集合（有限集合）である。prop-tri-link-homology により $\tilde H_0(|\operatorname{Lk}(v,K)|)\cong\mathbb{Z}$ なので、リンクはちょうど 2 点からなる。2 点の集合は $\partial\Delta^1$ と PL 同相なので、$K$ は組合せ $1$ 次元多様体である。
$n=2$ の場合．prop-tri-pure により $K$ の極大な単体はすべて三角形である。
段 1（各辺はちょうど 2 つの三角形の面）．辺 $e=[a,b]$ を面にもつ三角形を $[a,b,c_1],\dots,[a,b,c_m]$（$m\ge1$）とし、$x$ を $e$ の中点とする。三角形 $[a,b,c_j]$ は 2 つの三角形 $[a,x,c_j]$ と $[x,b,c_j]$ の和で、それぞれ $x$ を頂点とする辺 $[a,c_j]$、$[c_j,b]$ 上の錐である。よって $|\operatorname{St}(e,K)|=\bigcup_j[a,b,c_j]$ は、$x$ を頂点とする
$$ \Gamma:=\bigcup_{j=1}^m\bigl([a,c_j]\cup[c_j,b]\bigr) $$
上の錐である（2 つの三角形は $e$ でしか交わらず、$e$ の点は $[x,a]$ か $[x,b]$ の上にあるので、表し方は一意である）。$e$ を含む単体の内部の和集合は $|K|$ の開集合で（$\operatorname{st}a\cap\operatorname{st}b$ に等しい）、$x$ の開近傍として $|\operatorname{St}(e,K)|$ に含まれるので、頂点の場合と同じく $H_2(|K|,|K|\setminus\{x\})\cong H_2(|\operatorname{St}(e,K)|,|\operatorname{St}(e,K)|\setminus\{x\})$ である。左辺は $\mathbb{Z}$ なので、lem-tri-cone により $\tilde H_1(\Gamma)\cong\mathbb{Z}$ である。$\Gamma$ は頂点 $m+2$ 個・辺 $2m$ 本の連結なグラフなので、Euler標数の記事の系「2 つの Euler 標数は一致する」により
$$ (m+2)-2m=\operatorname{rank}H_0(\Gamma)-\operatorname{rank}H_1(\Gamma)=1-1 $$
であり、$m=2$ である。
段 2（頂点のリンクは多角形）．頂点 $v$ のリンク $L:=\operatorname{Lk}(v,K)$ は、$v$ を含む三角形 $[v,a,b]$ の対辺 $[a,b]$ とその端点からなる $1$ 次元の単体複体（グラフ）である。$L$ の頂点 $a$ を端点とする $L$ の辺は、辺 $[v,a]$ を面にもつ三角形と一対一に対応するので、段 1 により $L$ の各頂点の次数は $2$ である。prop-tri-link-homology により $\tilde H_0(|L|)=0$、すなわち $|L|$ は連結である。連結な有限グラフで各頂点の次数が $2$ のものは 1 つの閉路である：頂点 $w_0$ から、直前に来た辺でない方の辺をたどって $w_0,w_1,w_2,\dots$ と進むと、有限なのでいつか既に通った頂点に戻り、$w_j$（$j\ge1$）の 2 本の辺はすでに使ったので、戻る先は $w_0$ である。こうして得た閉路の頂点はどれも 2 本の辺を使い切っているので、閉路は連結成分であり、$L$ 全体に等しい。単体複体には多重辺がないので閉路の長さ $k$ は $3$ 以上で、$L$ は $k$ 角形の単体複体 $C_k$ と同型である。PL多様体の例「多角形とトーラス」により $|L|$ は PL $1$ 球面である。よって $K$ は組合せ $2$ 次元多様体である。
最後の主張は、PL多様体の命題「多面体としての PL 多様体は PL 構造をもつ」と、同相写像 $h$ で PL アトラスを $M$ に移すことによる。$\square$

$0< t\le1$ について $C_t:=\{(1-s)u_++sy\mid0\le s< t,\ y\in H\}$ とおく。lem-tri-cone の証明のとおり、$q(y,s):=(1-s)u_++sy$ は $H\times[0,1]$ から錐 $u_+H$ への商写像で、$H\times(0,1]$ の上で単射である。ジョインの点の表し方は一意なので $C_1=X\setminus u_-H$ であり、$u_-H$ はコンパクトなので $C_1$ は $X$ の開集合である。$q^{-1}(C_t)=H\times[0,t)$ は飽和した開集合なので $C_t$ は $u_+H$ の開集合で、$C_1$ に含まれるので $X$ の開集合でもあり、$C_t\setminus\{u_+\}$ は $H\times(0,t)$ と同相である。$C_t$ は $u_+$ を中心とする半径 $tD$（$D:=\max_{y\in H}\lvert y-u_+\rvert$）の球に含まれるので、$\{C_t\}$ は $u_+$ の近傍の基本系である。
$X$ が $m$ 次元位相多様体であると仮定する。$C_1\setminus\{u_+\}\cong H\times(0,1)$ は $X$ の空でない開集合で $(n+1)$ 次元多様体なので、領域不変性の系「位相多様体の次元の一意性」により $m=n+1$ である。$u_+$ のまわりの座標近傍 $g\colon W\to g(W)\subset\mathbb{R}^{n+1}$、$g(u_+)=0$ をとり、$C_t\subset W$ となる $t$、$g(C_t)$ に含まれる開球 $B$（中心 $0$）、$C_{t'}\subset g^{-1}(B)$ となる $t'< t$ を順にとる。$H$ の中の $0$ にホモトピックでない閉道 $\gamma_0$ をとり、$\gamma(\theta):=q(\gamma_0(\theta),t'/2)$ とおくと、$\gamma$ は $C_{t'}\setminus\{u_+\}\subset g^{-1}(B\setminus\{0\})$ の中の閉道である。$B\setminus\{0\}$ は球面 $S^n$ に強変位レトラクトし、$n\ge2$ なので $\pi_1(S^n)=0$（球面のホモトピー群の命題「消滅域と対角線」）であるから、$g\circ\gamma$ は $B\setminus\{0\}$ の中で $0$ にホモトピックである。$g^{-1}$ で戻すと、$\gamma$ は $g^{-1}(B\setminus\{0\})\subset C_t\setminus\{u_+\}\cong H\times(0,t)$ の中で $0$ にホモトピックであり、第 1 成分への射影を合成すると $\gamma_0$ は $H$ の中で $0$ にホモトピックになる。これは $\gamma_0$ の選び方に反する。$\square$

$|K|$ が $S^5$ と同相であることは Edwards–Cannon の二重懸垂定理（Bry02 Theorem 9.1：$n$ 次元の PL ホモロジー球面 $H$ と $k\ge1$ について $S^k*H$ は $S^{k+n+1}$ と同相）の $k=1$、$n=3$ の場合であり、この記事では証明しない。$\partial\Delta^2$ の頂点 $a$ のリンクは、ジョインのリンクの公式により $\operatorname{Lk}(a,\partial\Delta^2)*K_H=S^0*K_H$ である。prop-tri-suspension（$n=3$）により $|S^0*K_H|$ は位相多様体でなく、とくに $S^4$ と同相でないので PL $4$ 球面でない。よって $K$ は組合せ的でない。$\square$