内積空間

1 を示す。条件 2 と 1 により
$$ \langle x,ay+bz\rangle=\overline{\langle ay+bz,x\rangle}=\overline{a\langle y,x\rangle+b\langle z,x\rangle}=\bar a\,\overline{\langle y,x\rangle}+\bar b\,\overline{\langle z,x\rangle}=\bar a\langle x,y\rangle+\bar b\langle x,z\rangle $$
である。
2 を示す。条件 1 により $\langle0,x\rangle=\langle0\cdot0,x\rangle=0\cdot\langle0,x\rangle=0$ であり、条件 2 により $\langle x,0\rangle=\overline{\langle0,x\rangle}=0$ である。
3 を示す。条件 1 と 1 により $\langle ax,ax\rangle=a\bar a\langle x,x\rangle=|a|^2\|x\|^2$ であり、両辺の非負の平方根をとって $\|ax\|=|a|\|x\|$ である。$\|x\|\ge0$ は定義による。$\|x\|=0$ は $\langle x,x\rangle=0$ と同値であり、条件 4 により $x=0$ を導き、逆は 2 による。
5 を示す。条件 1 と 1 により
$$ \|x+y\|^2=\langle x+y,x+y\rangle=\langle x,x\rangle+\langle x,y\rangle+\langle y,x\rangle+\langle y,y\rangle $$
であり、条件 2 により $\langle y,x\rangle=\overline{\langle x,y\rangle}$ であるから中央の 2 項の和は $2\operatorname{Re}\langle x,y\rangle$ である。4 は 5 で $\langle x,y\rangle=0$ とおけばよい。$\square$

$y=0$ なら両辺とも $0$ であり、$x,y$ は線形従属である。$y\ne0$ とし、
$$ c:=\frac{\langle x,y\rangle}{\|y\|^2},\qquad z:=x-cy $$
とおく。$\langle z,y\rangle=\langle x,y\rangle-c\langle y,y\rangle=\langle x,y\rangle-\langle x,y\rangle=0$ であるから $z\perp y$、したがって $z\perp cy$ である（prop-inner-product-space-basicの 1）。$x=cy+z$ に三平方の定理（同 4）と同 3 を使うと
$$ \|x\|^2=\|cy\|^2+\|z\|^2=|c|^2\|y\|^2+\|z\|^2=\frac{|\langle x,y\rangle|^2}{\|y\|^2}+\|z\|^2\ge\frac{|\langle x,y\rangle|^2}{\|y\|^2} $$
である。両辺に $\|y\|^2$ を掛けて平方根をとれば不等式を得る。
等号は $\|z\|=0$、すなわち $z=0$、すなわち $x=cy$ のとき、かつそのときに限り成り立つ。逆に $x=ay$（$a\in F$）なら $|\langle x,y\rangle|=|a|\|y\|^2=\|x\|\|y\|$ であり、$y=ax$ の場合も同様である。よって等号成立は $x,y$ の線形従属性と同値である。$\square$

1 を示す。prop-inner-product-space-basicの 5、$\operatorname{Re}w\le|w|$、およびthm-inner-product-space-cauchy-schwarzにより
$$ \|x+y\|^2=\|x\|^2+2\operatorname{Re}\langle x,y\rangle+\|y\|^2\le\|x\|^2+2|\langle x,y\rangle|+\|y\|^2\le\|x\|^2+2\|x\|\|y\|+\|y\|^2=(\|x\|+\|y\|)^2 $$
であり、非負の平方根をとって三角不等式を得る。等号が成り立つのは 2 つの不等号がともに等号のとき、すなわち $\operatorname{Re}\langle x,y\rangle=|\langle x,y\rangle|=\|x\|\|y\|$ のときである。$y=0$ ならこれは成り立ち、$y=0\cdot x$ である。$y\ne0$ のとき、Cauchy–Schwarz の等号条件により $x=cy$ と書け、$\langle x,y\rangle=c\|y\|^2$ が非負実数であることから $c\ge0$ である。逆に $x=cy$（$c\ge0$）なら $\|x+y\|=(c+1)\|y\|=\|x\|+\|y\|$ である。
2 はprop-inner-product-space-basicの 3 と 1 をまとめたものである。
3 を示す。prop-inner-product-space-basicの 5 を $y$ と $-y$ について書くと
$$ \|x+y\|^2=\|x\|^2+2\operatorname{Re}\langle x,y\rangle+\|y\|^2,\qquad \|x-y\|^2=\|x\|^2-2\operatorname{Re}\langle x,y\rangle+\|y\|^2 $$
であり、辺々加えればよい。$\square$

1 を示す。$(v_i)$ を零ベクトルを含まない直交系とし、有限個の $v_1,\ldots,v_n$ について $\sum_ka_kv_k=0$ とする。両辺と $v_j$ の内積をとると、条件 1 と直交性により
$$ 0=\Bigl\langle\sum_ka_kv_k,v_j\Bigr\rangle=\sum_ka_k\langle v_k,v_j\rangle=a_j\|v_j\|^2 $$
であり、$v_j\ne0$ より $\|v_j\|^2\ne0$ であるから $a_j=0$ である。
2 を示す。$x=\sum_ka_ke_k$ と書けるとすると、$e_j$ との内積は $\langle x,e_j\rangle=\sum_ka_k\langle e_k,e_j\rangle=a_j$ である。よって第 1 式が成り立つ。第 2 式は、$\langle x,e_k\rangle e_k$ たちが互いに直交することから三平方の定理を繰り返し使い（$n$ についての帰納法）、$\|\langle x,e_k\rangle e_k\|^2=|\langle x,e_k\rangle|^2$ であることによる。
3 を示す。$p:=\sum_k\langle x,e_k\rangle e_k$、$z:=x-p$ とおく。各 $j$ について $\langle z,e_j\rangle=\langle x,e_j\rangle-\langle x,e_j\rangle=0$ であるから $z\perp p$ であり、三平方の定理と 2 により $\|x\|^2=\|p\|^2+\|z\|^2\ge\|p\|^2=\sum_k|\langle x,e_k\rangle|^2$ である。$\square$

$j$ についての帰納法で、「$w_j\ne0$、$e_1,\ldots,e_j$ は正規直交系、$\operatorname{span}\{e_1,\ldots,e_j\}=\operatorname{span}\{v_1,\ldots,v_j\}$」を示す。$j=1$ のとき、$v_1$ は線形独立な族の元なので $v_1\ne0$、$w_1=v_1\ne0$、$\|e_1\|=\|v_1\|/\|v_1\|=1$ であり、$\operatorname{span}\{e_1\}=\operatorname{span}\{v_1\}$ である。
$j\ge2$ とし、$j-1$ まで正しいと仮定する。$\sum_{k< j}\langle v_j,e_k\rangle e_k\in\operatorname{span}\{e_1,\ldots,e_{j-1}\}=\operatorname{span}\{v_1,\ldots,v_{j-1}\}$ であるから、もし $w_j=0$ なら $v_j\in\operatorname{span}\{v_1,\ldots,v_{j-1}\}$ となり、$v_1,\ldots,v_j$ の線形独立性（線形独立 の記事の定理「線形独立性の同値条件」の 2）に反する。よって $w_j\ne0$ で $e_j$ が定義でき、$\|e_j\|=1$ である。$i< j$ について、帰納法の仮定（$\langle e_k,e_i\rangle=\delta_{ki}$）により
$$ \langle w_j,e_i\rangle=\langle v_j,e_i\rangle-\sum_{k< j}\langle v_j,e_k\rangle\langle e_k,e_i\rangle=\langle v_j,e_i\rangle-\langle v_j,e_i\rangle=0 $$
であるから $e_j\perp e_i$ であり、$e_1,\ldots,e_j$ は正規直交系である。最後に、$e_j$ は $v_j$ と $e_1,\ldots,e_{j-1}$（したがって $v_1,\ldots,v_{j-1}$）の線形結合であるから $\operatorname{span}\{e_1,\ldots,e_j\}\subset\operatorname{span}\{v_1,\ldots,v_j\}$ であり、逆に $v_j=\|w_j\|e_j+\sum_{k< j}\langle v_j,e_k\rangle e_k$ は $e_1,\ldots,e_j$ の線形結合であるから逆の包含も成り立つ。
後半について。$V$ が有限次元なら基底 $v_1,\ldots,v_n$ をとり、上の手続きで得た正規直交系 $e_1,\ldots,e_n$ は $\operatorname{span}\{e_1,\ldots,e_n\}=V$ を満たし、prop-inner-product-space-orthonormalの 1 により線形独立であるから正規直交基底である。正規直交系 $e_1,\ldots,e_m$ が与えられたときは、これは線形独立であるから 線形代数学 の記事の補題「部分空間の基底と基底の延長」により $v_{m+1},\ldots,v_n$ を付け加えて $V$ の基底にでき、この基底に上の手続きを適用すると、最初の $m$ 個は（既に正規直交なので）$e_1,\ldots,e_m$ のまま変わらず、全体が正規直交基底になる。$\square$

1 を示す。$0\in W^{\perp}$ である（prop-inner-product-space-basicの 2）。$x,y\in W^{\perp}$、$a,b\in F$ なら、任意の $w\in W$ について $\langle ax+by,w\rangle=a\langle x,w\rangle+b\langle y,w\rangle=0$ であるから $ax+by\in W^{\perp}$ であり、ベクトル空間の記事の命題「部分空間の判定」により $W^{\perp}$ は部分空間である。$x\in W\cap W^{\perp}$ なら $\langle x,x\rangle=0$ であるから $x=0$ である。
2 を示す。$x\in V$ に対し $p:=\sum_k\langle x,e_k\rangle e_k\in W$、$z:=x-p$ とおく。各 $j$ について $\langle z,e_j\rangle=\langle x,e_j\rangle-\langle x,e_j\rangle=0$ であるから、$W$ の任意の元 $w=\sum_jb_je_j$ について $\langle z,w\rangle=\sum_j\overline{b_j}\langle z,e_j\rangle=0$ であり、$z\in W^{\perp}$ である。よって $x=p+z$ と分解できる。一意性は、$x=p+z=p'+z'$（$p,p'\in W$、$z,z'\in W^{\perp}$）なら $p-p'=z'-z\in W\cap W^{\perp}=\{0\}$ であることによる。
3 を示す。$w\in W$ に対し $x-w=(x-P_Wx)+(P_Wx-w)$ であり、$x-P_Wx\in W^{\perp}$、$P_Wx-w\in W$ であるから両者は直交し、三平方の定理により
$$ \|x-w\|^2=\|x-P_Wx\|^2+\|P_Wx-w\|^2\ge\|x-P_Wx\|^2 $$
である。等号は $\|P_Wx-w\|=0$、すなわち $w=P_Wx$ のときに限る。$\square$